LINGKARAN By Gisoesilo Abudi, S.Pd Powerpoint Templates

UNSUR-UNSUR LINGKARAN Perhatikan gambar ! O : pusat lingkaran OA,OB,OD : jari-jari AD, BC, AB : tali busur AB : diameter OE : apotema Daerah BFC : tembereng Daerah OAC = juring AC, BFC, AD, BD : Busur lingkaran A F E D C B O • 6/9/2018

Keliling Lingkaran K = 2r atau K = d •  = 3,14 atau 22/7 O r A d 6/9/2018

Luas Lingkaran L = r2 atau L = 1/4d2 •  = 3,14 atau 22/7 O r A d 6/9/2018

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING O C D B A   Perhatikan Gambar Besar  AOB = Pjg. busur AB L. juring OAB Besar  COD Pjg. busur CD L. juring OCD 6/9/2018

Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan besar seluruh sudut pusatnya ( 3600), maka : O B A  Besar  AOB = Pjg. busur AB L. juring OAB 3600 Kel. lingkaran L. lingkaran 6/9/2018

Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan besar seluruh sudut pusatnya ( 3600), maka : O B A  Besar  AOB = Pjg. busur AB L. juring OAB 3600 2r r2 6/9/2018

Contoh -1 Dua buah lingkaran diketahui diameternya masing-masing 14 cm dan 20 cm. Tentukan keliling dan luas dari masing-masing lingkaran. 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : d1 = 14 cm r1 = 7 cm K1  = 2r1 atau K1  = d1 = 2. 22/7 . 7 cm = 2 . 22 cm = 44 cm 6/9/2018

Pembahasan Diketahui : d2 = 20 cm. r2 = 10 cm K2  = 2r1 atau K2  = d2 = 2. 3,14 . 10 cm = 2 . 31,4 cm = 62,8 cm 6/9/2018

Contoh -3 O D C A B 500 800 Pada gambar disamping, panjang usur AB = 40 cm, AOB = 500, dan AOB = 800. Hitunglah panjang busur CD. 6/9/2018

Pembahasan Diketahui : AB = 40 cm, AOB = 500, dan AOB = 800 Besar  AOB = Pjg. busur AB Besar  COD Pjg. busur CD 500 = 40 cm 800 X cm X = ( 40 x 80 ) : 50 = 64 cm. 6/9/2018

Contoh -3 Pada gambar disamping, panjang jari-jari = 20 cm, AOB = 540. Hitunglah: L.juring OAB b. Pj. Busur AB O A B 540 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : AOB = 540, dan jari-jari = 20 cm 540 = x Besar  AOB = L. Juring OAB 3600 L. Lingkaran 540 = x 3600 r2 3 = x 20 3,14 x 202 X = ( 3 x 1256 ) : 20 = 188,4 cm2. Jadi L. Juring OAB = 188,4 cm2. 6/9/2018

AOB = 540, dan jari-jari = 20 cm Diketahui : AOB = 540, dan jari-jari = 20 cm Besar  AOB = Pj. Busur AB 3600 K. Lingkaran 540 = x 3600 2r 3 = x 20 2x3,14 x 20 X = ( 3 x 125,6 ) : 20 = 18,84 cm. Jadi Pj. Busur AB = 18,84 cm. 6/9/2018

Latihan Soal 6/9/2018

Soal - 1 O A C 1200 400 B Pada gambar disamping, luas juring OAB =60 cm2, AOB = 400 dan BOC = 120o Hitunglah Luas juring OBC. 6/9/2018

Pembahasan : 400 = 60 1200 x 1 = 60 3 x X = 3 x 60 = 180 cm2. Diketahui : AOB = 400 dan BOC = 1200 L. Juring OAB = 60 cm2 Besar  AOB = L. Juring OAB Besar  BOC L. Juring OBC 400 = 60 1200 x 1 = 60 3 x X = 3 x 60 = 180 cm2. Jadi L. Juring OBC = 180 cm2. 6/9/2018

Soal - 2 Pada gambar disamping, pjg. busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm dan POQ = 450 . Hitunglah besar QOR. O P R 450 Q 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : Panjang busur PQ = 50 cm Panjang busur QR = 75 cm POQ = 450 Besar  POQ = Pj. busur PQ Besar  QOR Pj. busur QR 45 = 50 x 75 45 = 2 x 3 X = ( 3 x 45) : 2 = 135 : 2 = 67,50 Jadi, besar  QOR adalah : 67,50. 6/9/2018

Soal - 3 Panjang jari-jari sebuah lingkaran yang berpusat di titik O adalah 30 cm. Titik P dan Q terletak pada keliling lingkaran sehingga luas juring OPQ = 565,2 cm2. Hitunglah panjang busur PQ. 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : Panjang jari-jari = 30 cm Luas juring OPQ = 565,2 cm2 L. Juring OPQ = Pj. busur PQ L. Lingkaran K. Lingkaran 565,2 = x r2 2r 565,2 = x  x 30 x 30 2 x  x 30 X = ( 565,2) : 15 = 37,68 Jadi, panjang busur PQ adalah : 37,68 cm 6/9/2018

Soal - 4 Pada gambar disamping, besar COD = 600,panjang OA = 12 cm da AC = 12 cm. Hitunglah luas bangun yang diarsir! O C D B A 600 12 cm 6/9/2018

L. Juring OAB = 60/360 x Luas lingkaran = 1/6 x 3,14 x 12 x 12 Pembahasan : Diketahui : Jari -jari (1) = 12 cm Jari- jari (2) = 24 cm. AOB = 600 L. Juring OAB = 60/360 x Luas lingkaran = 1/6 x 3,14 x 12 x 12 = 3,14 x 24 = 75,36 cm2 6/9/2018

L. Juring OCD = 60/360 x Luas lingkaran = 1/6 x 3,14 x 24 x 24 Pembahasan : Diketahui : Jari -jari (1) = 12 cm Jari- jari (2) = 24 cm. AOB = 600 L. Juring OCD = 60/360 x Luas lingkaran = 1/6 x 3,14 x 24 x 24 = 3,14 x 96 = 301,44 cm2 6/9/2018

= Luas juring OCD - Luas juring OAB = 301,44 cm2 - 75,36 cm2 Pembahasan : Luas yang diarsir : = Luas juring OCD - Luas juring OAB = 301,44 cm2 - 75,36 cm2 = 225,08 cm2. 6/9/2018

Soal - 5 Panjang jari-jari sebuah roda 28 cm. Berapakah panjang lintasannya jika roda itu berputar atau menggelinding sebanyak 400 kali. 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : Panjang jari-jari = 28 cm Jumlah putaran = 400 kali Keliling roda = 2  r = 2 x 22/7 x 28 = 2 x 88 = 176 cm. Panjang lintasannya = 400 x 176 cm = 70.400 cm = 704 meter. 6/9/2018

Soal - 6 Sebuah roda berputar sebanyak 500 kali untuk melintasi jalan sepanjanmg 628 meter. Hitunglah : Keliling roda Jari-jari roda 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : Panjang lintasan = 628 meter Jumlah putaran = 500 kali Keliling roda = Pjg. lintasan : jlh putaran = (628 x 100 )cm : 500 = 125,6 cm. Jari-jari roda = Keliling : 2 = 125,6 : 2 x 3,14 = 125,6 : 6,28 = 20 cm. 6/9/2018

Soal - 7 Sebuah kolam berbentuk lingkaran berjari-jari 40 meter. Di sekeliling tepi kola dibuat jalan meleingkar selebar 5 meter. Jika biaya untuk membuat jalan tiap 1 m2 adalah Rp 15.000,00, hitunglah seluruh biaya untuk membuat jalan tersebut ! 6/9/2018

Pembahasan : Diketahui : Jari-jari kolam OA = 40 meter Jari-jari kolam OB = 45 meter O B A Luas lingkaran OA L1 =  r2 = 3,14 x 40 x 40 = 5024 m2 6/9/2018

Luas jalan = Luas (L2) - Luas ( L1 ) = 6358,3 m2 - 5024 m2 O B A Luas lingkaran OB L2 =  r2 = 3,14 x 45 x 45 = 6358,5 m2 Luas jalan = Luas (L2) - Luas ( L1 ) = 6358,3 m2 - 5024 m2 = 1.334,5 m2 Biayanya = 1.334,5 m2 x Rp 15.000,00 = Rp 20.017.500,00 6/9/2018

Soal - 8 42 cm Hitunglah luas daerah yang diarsir ! 6/9/2018

Pembahasan : Luas lingkaran yang diarsir : L = ½  r2 42 cm Luas lingkaran yang diarsir : L = ½  r2 = ½ x 22/7 x 21 x 21 = ½ x 22 x 63 = 11 x 63 = 693 cm2 Lingkaran kecil diarsir = lingkaran kecil tdk diarsir. 6/9/2018

Soal - 9 14 cm Hitunglah luas daerah yang diarsir ! 6/9/2018

Pembahasan : Luas lingkaran yang diarsir : Lb =  r2 = 22/7 x 7 x 7 = 154 cm2 Lk =  r2 = 22/7 x 3,5 x 3,5 = 38,5 cm2 14 cm Luas yg diarsir = 154 cm2 - 38,5 cm2 = 115,5 cm2 6/9/2018

MATERI  Garis singgung lingkaran a. Garis singgung persekutuan di dalam b. Garis singgung persekutuan di luar  Lingkaran dalam dan luar segitiga a. Lingkaran dalam segitiga b. Lingkaran luar segitiga

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN  Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, sehingga jari-jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, maka panjang OA dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

B A O • OA2 = OB2 + AB2 AB2 = OA2 - OB2 OB2 = OA2 - OA2

Garis Singgung Persekutuan dalam B AB = Garis singgung persekutuan dalam MN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan dalam. AB = CN AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

Garis Singgung Persekutuan Luar M   N A B AB = Garis singgung persekutuan luar MN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan luar. AB = CN M   N A B C r1 r2 AB adalah garis singgung persekutuan luar. AB = CN AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

Lingkaran Dalam & Lingkaran Luar

Lingkaran Dalam segitiga O D E F C B r a c b

A O D E F C B r a c b Titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan garis bagi sudut sudut segitiga. Keliling ∆ ABC = a + b + c = 2s Jadi, keliling segitiga = 2s atau s = ½ ( a + b + c ).

Luas segitiga = ½ alas x tinggi , atau =  s(s – a )(s – b)(s – c ) Jika jari-jari lingkaran dalam adalah r, maka : r = Luas : ½ keliling atau r = L/s AF = AE = s - a BF = BD = s - b CE = CD = s - c

Lingkaran Luar segitiga C A O R B 

Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong garis sumbu sisi-sisi segitiga OA = OB=OC = jari-jari lingkaran luar. Jika jari-jari lingkaran luar adalah R, maka : R = abc / 4L atau , R = abc : 4L

Latihan Soal

Soal 1 Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. B A O •

Pembahasan : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB2 = OA2 - OB2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 AB = √ 144 = 12 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

Soal 2 Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN = 15 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 + r2 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 225 – 81 = 144 AB = √ 144 = 12 cm

Soal 3 Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 625 – 49 = 576 AB = √ 576 = 16 cm

Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm. Soal 4 Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari OU. P Q R T U S O •

Pembahasan : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR2 = QR2 - PQ2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR =  81 = 9 cm

Pembahasan : PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9 cm Rd = Luas ABC : ½ keliling = ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR + QS ) = ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15 ) = 54 : 18 = 3 cm. Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

Cara cepat : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR2 = QR2 - PQ2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR =  81 = 9 cm Rd = ½ ( PQ + PR – QR ) = ½ ( 12 + 9 – 15 ) = 3 cm.

Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Soal 5 P Q R O • Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Hitunglah panjang jari-jari OP.

Pembahasan : PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cm RS2 = PR2 - PS2 = 132 - 52 O • S PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cm RS2 = PR2 - PS2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 PR =  144 = 12 cm

Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm. P Q O • S RL = ( abc ) : 4 L = ( 10 x 13 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12 ) = 1690 : 240 = 7,04 cm Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm.

Soal 6 Pada gambar di samping, panjang PQ =8 cm, PR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar.

Pembahasan : PQ = 8 cm dan PR = 15 cm QR2 = PQ2 + PR2 = 152 + 82 O • PQ = 8 cm dan PR = 15 cm QR2 = PQ2 + PR2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 QR =  289 = 17 cm

Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm. PQ = 8 cm, PR = 15 cm dan QR = 17 cm Rd = ½ QR = ½ x 17 = 8,5 cm. Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm. P Q R O •

Soal 7 Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24 cm Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm. Pembahasan : M   N A B MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2 = 242 + ( 7 + 3 )2 = 576 + 100 = 676 MN = √ 676 = 26 cm Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.

Soal 8 Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2 = 102 - ( 4 - 2 )2 = 100 – 4 = 96 = 102 - ( 4 - 2 )2 = 100 – 4 = 96 AB = √ 96 = 9,79 Jadi, panjang AB = 9,79 cm.

Soal 9 Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24 cm Tentukan panjang jari-jari BN.

Pembahasan : MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2 262 = 242 + ( 7 + r )2 Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.

Soal 10 Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN = 13 cm Tentukan panjang AM.

Pembahasan : ( r1 - r2 )2 = MN2 - AB2 ( r1 - 2 )2 = 132 - 122 ( r1 - 2 )2 = 169 - 144 = 25 ( r1 - 2 ) =  25 r1 - 2 = 5 r1 = 5 + 2 = 7 Jadi, panjang jari-jari AM = 7 cm.

Catatan  Jika AB garis singgung persekutuan dalam. maka : AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2  Jika AB garis singgung persekutuan luar. maka : AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

Terima kasih 6/9/2018