Sistem Persamaan Aljabar Linear

Materi Pelajaran sebelumnya: - menentukan harga x yang memenuhi persamaan tunggal f(x)=0 Yang akan kita pelajari: - menentukan harga x1, x2, x3,….,xn yang secara simultan memenuhi sekumpulan persamaan: f1(x1,x2,x3,….xn)=0 f2(x1,x2,x3,…,xn)=0

Persamaan Aljabar Linear Bentuk umum persamaan aljabar linear: a1x1 + a2x2 + … + anxn = c dimana : a: koefisien konstanta c: konstanta n: jumlah persamaan Untuk persamaan linear dengan n <=3, penyelesaiannya dapat dengan: - metode grafik - aturan Cramer - metode eliminasi

Metode Grafik

Metode Grafik Sistem kondisi timpang (ill-conditioned)

Determinan dan Aturan Cramer [A] : koefisien matriks D : Determinan dari matriks A

Menghitung Determinan

Eliminasi Gauss Pecahkan Ax = b Terdiri dari langkah: Eliminasi ke depan Substitusi ke belakang mengurangi pers. Ax = b menjadi sebuah sistem triangular atas Tx = b’ Substitusi ke belakang kemudian dapat memecahkan Tx = b’ untuk x Eliminasi Ke depan Substitusi Ke belakang

Gaussian Elimination Eliminasi ke depan x1 - x2 + x3 = 6 -(3/1) -(3/7) -(2/1) x1 - x2 + x3 = 6 0 7x2 - x3 = -9 0 0 -(4/7)x3=-(8/7) Pecahkan menggunakan substitusi ke belakang: x3 = 2 x2=-1 x1 =3

Substitusi ke belakang 1x0 +1x1 –1x2 +4x3 = 8 – 2x1 –3x2 +1x3 = 5 2x2 – 3x3 = 2x3 = 4 x3 = 2

Substitusi ke belakang 1x0 +1x1 –1x2 = – 2x1 –3x2 = 3 2x2 = 6 x2 = 3

Substitusi ke belakang 1x0 +1x1 = 3 – 2x1 = 12 x1 = –6

Substitusi ke belakang 1x0 = 9 x0 = 9

Jebakan Pada Metode Eliminasi Pembagian oleh nol Contoh: 2x2 + 3x3 = 8 0 2 3 4x1 + 6x2 + 7x3 = -3 A = 4 6 7 2x1 + x2 + 6x3 = 5 2 1 6 Penyelesaian: pivoting

Jebakan Pada Metode Eliminasi Kesalahan pembulatan - kesalahan pembulatan menjadi penting pada penanganan persamaan yang berjumlah besar (100 persamaan lebih) Solusi: Gunakan angka signifikan yang lebih banyak

Jebakan Pada Metode Eliminasi Sistem kondisi timpang -Sistem kondisi timpang adalah sistem dimana perubahan kecil dalam koefisien menghasilkan perubahan yang besar dalam solusi Sistem kondisi baik adalah sistem dimana sejumlah kecil dalam satu atau lebih koefisien akan menghasilkan perubahan kecil pada solusi. Contoh: x1 + 2x2 = 10 1.1x1 + 2x2 = 10.4 1.05x1 + 2x2 = 10.4 x1 + 2x2 = 10 8+2(1) = 10 (sama!) 1.1x1 + 2x2 = 10.4 1.1(8)+2(1)=10.8 (mendekati!)

Jebakan Pada Metode Eliminasi Sistem kondisi timpang: Adalah Sistem dengan suatu determinan mendekati nol . Jika determinan=0 maka solusi tidak terhingga (sitem singular) Penskalaan : mengalikan dengan faktor skala Penskalaan tidak akan mengubah solusi tapi akan mempengaruhi besarnya determinan