BAB 2 INTEGRAL LIPAT

2.1 Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang Telaah Ulang Integral Tentu Misalkan f terdefinisi pada selang [a,b]. Bagi [a,b] menjadi n selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/n dan pilih titik sampel Bentuk jumlah Riemann

maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

a Gambar 1

Volume dan Integral Lipat Dua Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutup Misal grafik f adalah permukaan z = f(x,y). Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yaitu Bagaimana mencari volume S ?

z z = f(x,y) o a c b d R y x Gambar 2

Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa segiempat bagian. Bagi interval [a,b] menjadi m interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/m, dan bagi [c,d] menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d – c)/n. Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian masing-masing dengan luas A = x y.

y Rij d                               yj   y         yj-1                     y1           c a x1 x2 xi-1 xi b x x Gambar 3

Jika dipilih titik sampel dalam setiap Rij, maka bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi- empat dengan alas Rij dan tinggi Volume kotak ini adalah Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh hampiran terhadap volume total S ; 1

z o a c b d x y Gambar 4

Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n besar, sehinga diharapkan 2 Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.

Definisi 3 Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalah jika limit ini ada. Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.

Jika maka volume V dari benda padat yang terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan z = f(x,y) adalah

CONTOH 1 Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur sangkar dan di bawah paraboloida elips Bagilah R menjadi empat bujur sangkar yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas dari setiap bujur sangkar Rij.

Perhatikan bujur sangkar berikut PENYELESAIAN Perhatikan bujur sangkar berikut y (1,2) (2,2) 2 R12 R22 1 (2,1) (1,1) R11 R21 1 2 x Gambar 5

Paraboloida adalah grafik dari dan luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2, diperoleh

CONTOH 2 Jika hitunglah integral PENYELESAIAN Karena integral dapat ditafsirkan sebagai volume Jika maka dan sehingga integral lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat

S yang terletak di bawah silinder lingkaran dan di atas segiempat R. Volume S adalah luas setengah lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi

Aturan Titik-Tengah Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua dengan titik-tengah dan titik-tengah

CONTOH 3 Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk menaksir nilai integral dengan PENYELESAIAN Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung

di pusat-pusat empat segiempat bagian. y (2,2) 2 3/2 1 1 2 x Gambar 6 Sehingga dan Luas setiap

segiempat bagian adalah A = ½. Jadi, Jadi,

Nilai Rata-rata Nilai rata-rata fungsi dua peubah f pada segiempat R dengan A(R) adalah luas R.

Sifat Integral Lipat-Dua