2 Unit Matriks Determinan dan Invers matriks Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Matematika untuk kelas XI SMA Kelompok Peminatan

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang melibatkan pengoptimalan, seperti meminimumkan ongkos atau memaksimalkan laba. Bersama teman sebangkumu, carilah satu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan pengoptimalan. Kemudian, selesaikan dengan menggunakan program linear, dan presentasikan hasilnya di depan kelas. Diskusi

Bersyukurlah kepada Tuhan dengan adanya ilmu fisika dan matematika yang dapat dikolaborasikan untuk menyelesaikan suatu permasalahan

A. Determinan dan Invers Matriks 1. Determinan Matriks Persegi Misalkan 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 , maka determinan Matriks A adalah 𝐴 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 = 𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎 12 Definisi Determinan Matriks Persegi Ordo 2 Bangkit Karakter Determinan suatu matriks diperoleh dengan mengalikan elemen elemennya, kemudian mengurangkannya. Agar lebih mudah Anda harus hafal skema determinan matriks tersebut. Coba Anda nyatakan dengan kalimat sendiri determinan matriks persegi ordo 2.

Contoh Soal Soal Determinan Matriks Persegi Berordo 2 1. Tentukan determinan A jika −2 3 −5 −4 2. Tentukan k jika 2 3 4 𝑘 =12 Penyelesaian: 1. 𝐴 = −2 3 −5 −4 = −2 −4 − −5 3 =8+15=23 2. 2 3 4 𝑘 =12 2 𝑘 − 4 3 =12⟹2𝑘−12=12 ⟹2𝑘=24⟹𝑘=12

Menghitung Determinan Matriks Persegi Ordo 3 dengan Metode Sarrus Tentukan determinan matriks persegi ordo 3 berikut, dengan metode Sarrus. 𝐴= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut. Langkah 1. Salin dua kolom pertama dari determinan disebelah tanda pisah (Gambar 2.1 Halaman 28). Langkah 2. Buat diagonal utama matriks (garis panah ke bawah pada Gambar 2.1) dan dua garis yang sejajar diagonal utama. Kalikan ketiga elemen yang dilalui oleh diagonal utama dan kedua garis yang sejajar diagonal utama, beri nama hasilnya 𝐷 𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 , kemudian jumlahkan. 𝐷 𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 = 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 12

Untuk Langkah 4 ada di Halaman 29. Langkah 3. Buat diagonal sekunder matriks (garis panah ke atas) yang melalui tiga buah elemen matriks. Buat juga dua garis yang sejajar diagonal sekunder (Gambar 2.2) 𝐷 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 = 𝑎 31 𝑎 22 𝑎 13 + 𝑎 32 𝑎 23 𝑎 11 + 𝑎 33 𝑎 21 𝑎 12 Langkah 4. Nilai determinan matriks ordo 3, yaitu D, adalah selisih antara 𝐷 𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 dan 𝐷 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 . Jadi 𝐷= 𝐷 𝑢𝑡𝑎𝑚𝑎 −𝐷 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 Contoh Soal Tentukan determinan dari matriks . Penyelesaian: Langkah 1. Salin dua kolom pertama di sebelah kanan tanda terpisah. Langkah 2 dan Langkah 3. Buat diagonal utama dan dua garis lain yang sejajar diagonal utama. Buat juga diagonal sekunder dan 2 garis lain sejajar diagonal sekunder. Untuk Langkah 4 ada di Halaman 29.

2. Invers Matriks Persegi Ordo 2 Definisi Invers Matriks Persegi Ordo 2 Jika A adalah matriks persegi ordo 2 dan 𝐴 −1 adalah invers dari matriks A, maka A 𝐴 −1 = 𝐴 −1 𝐴= 𝐼 2 ...(2) Dengan 𝐼 2 adalah matriks satuan ordo 2. Contoh Soal Periksa apakah matriks B = merupakan invers dari matriks A = Untuk memeriksa apakah B merupakan invers dari A, Anda tentukan nilai AB. Jika AB = 𝐼 2 maka B adalah invers dari A. Oleh karena AB = 𝐼 2 maka jelas B adalah invers dari A atau dapat Anda tulis B = 𝐴 −1 . Pada kasus ini berlaku pula BA = 𝐼 2 .

C. Nilai Stasioner a. Rumus Invers Matriks Ordo 2 × 2 Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 Jika A = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 maka invers dari matriks A, ditulis 𝐴 −1 adalah 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 dengan det A ≠0 Sifat Invers Matriks Jika A, B, dan AB dianggap memiliki matriks invers maka berlaku sifat berikut. (𝐴𝐵) −1 = 𝐵 −1 . 𝐴 −1 (𝐵𝐴) −1 = 𝐴 −1 . 𝐵 −1 Perhatikan (𝐴𝐵) −1 ≠ (𝐵𝐴) −1 (antikomunikatif) b. Matriks Singular dan Nonsingular Definisi Matriks Singular dan Matriks Nonsingular Sebuah matriks persegi A dikatakan sebagai matriks singular (matriks yang tidak memiliki invers) jika determinan dari matriks persegi itu sama dengan nol atau jika det A = 0 maka A matriks singular; jika det A ≠ 0 maka A matriks nonsingular

Contoh Soal Soal Carilah bilangan x sehingga matriks A – xI adalah matriks singular. Penyelesian: Diketahui matriks A = Syarat A – xI singular adalah det[A – xI] = 0, Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5 atau x = –1.

Soal Latihan Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut. a. 4 −3 1 2 b. 𝑥 𝑦 1 −2 −2 1 1 5 1 2. Tentukan nilai b agar matriks 𝑎+𝑏 𝑎 𝑎 +𝑏 tidak mempunyai invers. 3. Tunjukan bahwa persamaan garis melalui titik-titik ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dan ( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) dapat diperoleh oleh det 𝑥 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2 1 𝑦 1 𝑦 2 1 Kegiatan Kerjakan Uji Materi 2.1 halaman 34, buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib.

B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear 1. Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Invers Matriks Penyelesaian Persamaan Matriks AX = B dan XA = B Misalkan, matriks A adalah matriks persegi ordo n dan invers 𝐴 −1 ada (artinya det A ≠ 0). Jika AX = B maka X = 𝐴 −1 B (kedua ruas dikalikan dengan 𝐴 −1 dari kiri) ...(4) Jika XA = B maka X = B 𝐴 −1 (kedua ruas dikalikan dengan 𝐴 −1 dari kanan) ...(5) Contoh Soal Tentukan penyelesaian SPL berikut dengan matriks 2x – y = 5 3x + 2y = 4

Untuk Langkah 4 dan Langkah 5 ada pada Halaman 36 Langkah 1. Tidak perlu dilakukan karena SPL sudah dalam bentuk umum. Langkah 2. Ubah SPL ke bentuk persamaan matriks AX = B. Langkah 3. Tentukan matriks invers A–1 dengan rumus invers matriks ord 2 × 2 Untuk Langkah 4 dan Langkah 5 ada pada Halaman 36

2. Aplikasi Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Invers Matriks Salah satu keuntungan besar menggunakan invers matriks dalam penyelesaian SPL adalah memudahkan Anda menyelesaikan SPL lain yang dibentuk hanya dengan mengubah tetapan-tetapan SPL (tidak mengubah koefisien-koefisien dari SPL). Contoh Soal Analisis Rangkaian Listrik. Ada dua arus loop 𝐼 1 dan 𝐼 2 (diukur dalam ampere) yang dapat dibuat dalam rangkaian listrik, seperti pada Gambar 2.3. Menurut Hukum II Kirchhoff, arus-arus loop ini memenuhi sistem persamaan (coba Anda buktikan hal ini). 3 𝐼 1 – 𝐼 2 = V – 𝐼 1 + 2 𝐼 2 = 0 Tentukan nilai kedua arus loop 𝐼 1 dan 𝐼 2 jika a. V = 6 b. V = 12 Penyelesaian ada pada Halaman 37

Jawaban selanjutnya ada pada Halaman 40 3. Penyelesaian SPL dengan Determinan Penyelesaian SPL Dua Variabel dengan Determinan 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝐷 dan 𝑦= 𝐷 𝑦 𝐷 dengan: x dan y menyatakan variabel-variabel dari SPL D = determinan dari matriks koefisien SPL 𝐷 𝑥 = determinan yang diperoleh dari D dengan mengganti kolom variabel x (kolom ke-1) dengan tetapan-tetapan SPL 𝐷 𝑦 = determinan yang diperoleh dari D dengan mengganti kolom variabel y (kolom ke-2) dengan tetapan-tetapan SPL Materi tentang matriks dapat dilihat pada situs http://www.edhelper.com/ Matrices.htm http://home.scarlet. be/~ping1339/matr.htm Contoh Soal Tentukan penyelesaian 2𝑥−𝑦=5 3𝑥+2𝑦=4 Penyelesaian: SPL telah disusun sesuai dengan bentuk umum yang diinginkan sehingga Anda dapat langsung menentukan determinan dari matriks koefisien, yaitu 𝐷 𝑥 diperoleh dari kolom D dengan mengganti kolom variabel x (kolom 1) dengan tetapan-tetapan SPL, yaitu 5 dan 4. Jawaban selanjutnya ada pada Halaman 40

4. Penyelesaian SPL 3 Variabel dengan Determinan (*) Langkah-Langkah Penyelesaian SPL Tiga Variabel dengan Metode Determinan 1. Misalkan, SPL tiga peubah dalam bentuk matriks adalah dengan A adalah matriks koefisien dari SPL dan B matriks tetapan dari SPL. 4. Bentuk matriks Y' dengan cara mengganti kolom 2 matriks A dengan matriks kolom B, kemudian tentukan determinan Y'. 5. Bentuk matriks Z' dengan cara mengganti kolom 3 matriks A dengan matriks kolom B, kemudian tentukan determinan Z'. 2. Tentukan determinan matriks A. 3. Bentuk matriks X' dengan cara mengganti kolom ke-1 matriks A dengan matriks kolom B (tetapan SPL), kemudian tentukan determinan X’. 6. Jika D ≠ 0 maka penyelesaian SPL tiga peubah adalah

Contoh Soal Selesaikan SPL berikut x + y + z = 5; 2x – 4y – 3z = –5; x – y = 4 Penyelesaian: Anda dapat menyatakan SPL tersebut ke dalam persamaan matriks berikut Tentukan determinan dari matriks koefisien adalah Oleh karena D ≠ 0 maka SPL memiliki penyelesaian tunggal. Mari, lanjutkan dengan menentukan 𝐷 𝑥 ’ dan 𝐷 𝑦 '. [Cara untuk menghitung 𝐷 𝑥 ’ dan 𝐷 𝑦 '. Dengan metode Sarrus diberikan kepada Anda sebagai latihan]. Dengan demikian,

Soal Latihan Lena meminjam Rp80.000.000,00 dalam tiga kategori pinjaman berbeda untuk memulai menjalankan bisnisnya. Ia meminjam dari dua bank sejumlah Rp70.000.000,00 masing-masing dengan bunga 11% dan 10%. Sisa lainnya dipinjam dari lembaga keuangan dengan bunga 13%. Berapa besar pinjaman Lena pada setiap kategori jika bunga tahunan yang harus dibayarnya adalah Rp8.500.000,00? Jika matriks tidak mempunyai invers, tentukan nilai 2y + 1. Kegiatan Kerjakan Uji Materi 2.2 halaman 43 buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib.

Kesimpulan Kemukakanlah pertanyaan atau pendapat Anda tentang materi pembelajaran unit ini.

Kuis Kegiatan 1. Diberikan sistem persamaan 𝑥 1 – 3 𝑥 2 = 𝑘 1 𝑥 1 – 3 𝑥 2 = 𝑘 1 2 𝑥 1 – 5 𝑥 2 = 𝑘 2 Ubah sistem persamaan ke bentuk matriks AX = B. Tentukan invers matriks koefisien A Gunakan 𝐴 −1 untuk menentukan penyelesaian jika 𝑘 1 = –2 dan 𝑘 2 = 1 Gunakan 𝐴 −1 untuk menentukan penyelesaian untuk 𝑘 1 = 1 dan 𝑘 2 = –2 2. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan S = 4 𝑡 2 + 2 (s dalam meter dan t dalam sekon). Jika ditentukan oleh berapa kecepatan partikel tersebut setelah bergerak t sekon? Kegiatan Kerjakan Uji Kompetensi Unit 2 halaman 44 buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib.

Terima Kasih Rahasia sukses dalam hidup itu adalah menemukan suatu takdirnya dan kemudian melakukannya. -Henry Ford-.

referensi www.photo.dhakasite.com www.smamarsudirinimtl.com

Created by: Fitriana Suci Rahayu