Variabel Acak Kontinu dan Distribusi Probabilitas

Tujuan Determine probabilities from probability density functions. Determine probabilities from cumulative distribution functions and cumulative distribution functions from probability density functions, and the reverse. Calculate means and variances for continuous random variables. Understand the assumptions for each of the continuous probability distributions presented. Select an appropriate continuous probability distribution to calculate probabilities in specific applications. Calculate probabilities, determine means and variances for each of the continuous probability distributions presented. Standardize normal random variables. Use the table for the cumulative distribution function of a standard normal distribution to calculate probabilities. Approximate probabilities for some binomial and Poisson distributions.

Probability Density Function Sebuah fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) f(x) dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas dari sebuah variable acak kontinu X.

Contoh Misalkan variable acak kontinu X melambangkan arus yang diukur dalam sebuah kabel tembaga dalam miliamper. Asumsikan rentang nilai X adalah [0, 20 mA], dan asumsikan bahwa probability density function (pdf) dari X adalah untuk Berapakan probabilitas bahwa sebuah pengukuran arus adalah kurang dari 10 mA. Jawab:

Contoh 2 Misalkan variable acak kontinu X melambangkan diameter dari sebuah hasil pengeboran lubang pada sebuah lempeng logam. Target diameter adalah 12,5 mm. Gangguan pada proses pengeboran menghasilkan lubang berdiameter lebih besar. Data historis menunjukkan bahwa distribusi X dapat dimodelkan dengan a fungsi kepadatan probabilitas (pdf) Jika lempeng dengan diameter lubang lebih besar dari 12.60 dibuang, berapa bagian yang dibuang? Jawab:

Cumulative Distribution Function Untuk

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk arus pada tembaga, fungsi distribusi kumulatif untuk variable acak kontinu X terdiri dari tiga bagian: Sehingga

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk lubang pengeboran pada lempeng logam, fungsi distribusi kumulatif untuk variable acak kontinu X terdiri dari dua bagian: Sehingga

Hubungan antara probability density function dan cumulative distribution function Sehingga

Contoh Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah reaksi kimia didekati dengan sebuah fungsi distribusi kumulatif Tentukan probability density function (pdf) dari X. Berapa bagian reaksi yang selesai dalam waktu kurang dari 200 ms. Jawab: Pdf adalah turunan pertama dari CDF sehingga: Probabilitas bahwa sebuah reaksi akan selesai kurang dari 200 milliseconds adalah

Rata-rata dan varians dari suatu variable acak kontinu Standar deviasi:

Contoh Misalkan variable acak kontinu X melambangkan arus yang diukur dalam sebuah kabel tembaga dalam miliamper. Asumsikan rentang nilai X adalah [0, 20 mA], dan asumsikan bahwa probability density function (pdf) dari X adalah untuk Berapakan probabilitas bahwa sebuah pengukuran arus adalah kurang dari 10 mA. Jawab:

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk arus pada tembaga, fungsi distribusi kumulatif untuk variable acak kontinu X terdiri dari tiga bagian: Sehingga

Contoh Pada contoh sebelumnya untuk arus pada tembaga, harga-harga rata-rata dan variansnya adalah: Rata-rata: Varians:

Distribusi Seragam Kontinu Sebuah variable acak kontinu X dengan fungsi kepadatan probabilitas Adalah sebuah variable acak seragam kontinu Harga rata-ratanya Harga variansnya

Contoh Misalkan variable acak kontinu X menyatakan arus yang diukur pada sebuah kawat tembaga tipis dalam miliamper. Asumsikan rentang nilai X adalah [0, 20 mA], dan asumsikan fungsi kepadatan probabilitasnya adalah Berapakah probabilitas pengukuran adalah antara 5 dan 10 miliampere? Rumus-rumus harga rata-rata, varians, dan standar deviasi diterapkan pada a=0 dan b=20 Standar deviasinya adalah

Cumulatif Distribution Function Variable acak Seragam Kontinu Jika CDF didapatkan dengan melakukan integrasi PDF

Distribusi Normal Adalah variable acak normal dengan parameter-parameter dimana dan Untuk menyatakan distribusi digunakan notasi

Contoh Asumsikan bahwa pengukuran arus pada sepotong kabel mengikuti sebuah distribusi normal dengan rata-rata 10 mA dan variansi 4 mA. Berapakah probabilitas bahwa sebuah pengukuran melampaui 13 mA. Probabilitas yg diminta dapat dinyatakan Untuk menghitung integral dari pdf harus menggunakan cara numerik atau bisa ditemukan dari tabel.