BAB 4 FUNGSI KONTINU Definisi 4.1.1 Misalkan A  , f : A  , c  A. Fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika diberikan sebarang  > 0 terdapat  = (,c) > 0 sehingga untuk setiap x  A dengan |x – c| <  berlaku | f (x) – f(c)| < . Jika f tidak kontinu di titik c, maka dikatakan f diskontinu di c.

Contoh 4.1.2 (a) f (x) = x2 + 3x, x   kontinu disetiap titik dari . (b) diskontinu di x = 3. (c) diskontinu di x = 3. (d) diskontinu di x = 3.

Teorema 4.1.3 Misalkan f : A   dan c adalah titik limit dari A. f kontinu di c  Contoh 4.1.4 (a) diskontinu di setiap titik dari . (b) Misalkan f :    kontinu pada , dan S = {x   ; f (x) = 0 }. Jika (xn)  S, dengan xn  x0, buktikan x0  S. (c) Misalkan f :    kontinu pada , dan f (r) = 0 untuk semua bilangan rasional r, buktikan bahwa f (x) = 0 untuk setiap x  . (d) Misalkan g(x) = 3x untuk x bilangan rasional dan g(x) = 3 + x untuk x bilangan irrasional. Tentukan titik kekontinuan dari g.

4.2 Kombinasi Fungsi Kontinu Teorema 4.2.1 Jika f dan g kontinu di c titik limit A, maka (a) f kontinu di c. . (c) f g kontinu di c. (b) f + g kontinu di c. (d) f /g kontinu di c, asalkan g(c)  0. Teorema 4.2.2 Misalkan A, B  , f : A   dan g : B  , dan f (A)  B. Jika f kontinu di c dan g kontinu di f (c), maka g◦f kontinu di c.

4.3 Fungsi Kontinu pada Interval Teorema 4.3.2 Jika I = [a,b] dan f kontinu pada I, maka f terbatas pada I. Definisi 4.3.3 Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum pada A, jika terdapat x* A sehingga f(x*)  f(x) untuk semua x A. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum pada A, jika terdapat x* A sehingga f(x*) ≤ f(x) untuk semua x A.

Teorema 4.3.4 (Teorema Maksimum-Minimum) Jika f kontinu pada I = [a,b], maka f mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I. Teorema 4.3.5 (Teorema Akar) Jika f kontinu pada I = [a,b] dan ada , I sehingga f()f() < 0, maka terdapat c I sehingga f (c) = 0.  c  f(c)=0

Teorema 4.3.6 (Teorema Nilai Antara Bolzano) Jika f kontinu pada I dan ada , I, k  sehingga f()< k < f() , maka terdapat c I sehingga f (c) = k. Akibat 4.3.7 Misalkan f kontinu pada I = [a,b]. Jika k memenuhi inf f(I)< k < sup f(I) , maka terdapat c I sehingga f (c) = k. Teorema 4.3.8 Jika f kontinu pada I = [a,b], maka himpunan f(I) = { f(x) | x  I } merupakan interval tertutup terbatas.

4.4 Kontinu Seragam Perhatikan dua fungsi berikut: Fungsi f (x) = 1/x kontinu pada interval (0, ). Diberikan sembarang c > 0 dan  > 0. Untuk |x – c | <c/2 berlaku Pilih ( bergantung kepada c dan ). Jika |x – c| <  berlaku

Fungsi g (x) = 4x untuk x   , kontinu pada . Untuk sembarang  > 0, dapat dipilih  = /4 ( hanya bergantung sehingga untuk setiap x,y  dengan |x – y | <  berlaku kepada ) Definisi 4.4.1 Misalkan A  , f : A  . Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A jika diberikan sembarang  > 0 terdapat  = () > 0 (hanya bergantung  ) sehingga untuk setiap x, y  A dengan |x – y| <  berlaku | f (x) – f(y)| < .

Jelas bahwa jika f kontinu seragam pada A maka f kontinu pada A, tetapi fungsi yang kontinu pada A tidak perlu kontinu seragam pada A. Teorema 4.4.2 (Kriteria Kekontinuan Tak Seragam) Ketiga pernyataan berikut ekuivalen. (a) f kontinu tak seragam pada A (b) Terdapat 0 > 0 sehingga untuk setiap  > 0 terdapat x,, y  A dgn | x – y | <  tetapi | f (x) – f(y)|  0. (c) Terdapat 0 > 0 dan dua barisan (xn) dan (yn) di dalam A sehingga xn – yn  0 tetapi | f (xn) – f(yn)|  0.

| f (x) – f(y)| < K|x – y| Contoh 4.4.3 Tunjukkan bahwa fungsi f (x) = 1/x kontinu tak seragam pada (0, ). Teorema 4.4.4 (Teorema Kekontinuan Seragam) Jika I interval tertutup terbatas dan f : I   kontinu pada I, maka f kontinu seragam pada I. Definisi 4.4.5 Misalkan A  , f : A  . Fungsi f disebut fungsi Lipschitz pada A jika terdapat K > 0 sehingga | f (x) – f(y)| < K|x – y| untuk setiap x, y  A.

Teorema 4.4.6 Jika f : A   fungsi Lipschitz pada A, maka f kontinu seragam pada A. Contoh 4.4.7 Fungsi f (x) = x2 kontinu seragam pada interval (0, 8). Tidak semua fungsi kontinu seragam adalah fungsi Lipschitz, contoh x  [0,1] (c) Fungsi kontinu seragam pada [0,).

Fungsi f (x) = 1/x kontinu tak seragam pada interval (0, 8). Teorema 4.4.8 Jika f : A   kontinu seragam pada A dan (xn) barisan Cauchy dalam A, maka (f (xn)) barisan Cauchy. Teorema 4.4.9 Fungsi f kontinu seragam pada interval (a,b) jika dan hanya jika f dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada [a,b]. Contoh 4.4.10 Fungsi f (x) = 1/x kontinu tak seragam pada interval (0, 8). Fungsi g(x) = x sin(1/x) kontinu seragam pada (0, b).