PROBABILITAS VARIABEL KONTINYU BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL KONTINYU

Pengantar: Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian panjang umur (life testing) dan sebagianya Disini setiap distribusi tersebut diatas telah dibuat grafiknya menggunakan software R. Selain digunakan membuat grafik fungsi, nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel, disini diberikan cara penggunaan program R dalam menenukan distribusi probabilitasnya.

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi Probabilitas Kontinu secara benar. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan dengan distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

Luas Daerah dibawah Kurva Normal Distribusi Gamma dan Eksponensial Daftar Isi Materi: Distribusi Normal Luas Daerah dibawah Kurva Normal Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Chi-kuadrat Distribusi Weibull

6.1 Distribusi Normal Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter dinyatakan Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda.

Ganbar 6.1 Kurva normal

Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama

Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama

Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata dan variansi dinyatakan sebagai: Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan. Misal: maka ordinat dengan mudah dapat dihitung. Sifat-sifat Kurva Normal 1. Modus (nilai x maksimun) terletak di 2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui 3. Mempunyai titik belok pada 4. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis. 5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1

6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb: a b Ganbar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir

Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral. Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal dengan  Caranya menggunakan transformasi dengan rumus Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1. Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika X bernilai dan maka perubah acak Z akan bernilai dan kemudian dinyatakan sebagai:

Ganbar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda

Definisi (6.1) Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku x1 x2 z1 z2 Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

Contoh 6.1 Jawab: Diketahui suatu distribusi normal dengan dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62 Jawab: Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah dan Jadi: Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh: Dengan R > pnorm(-0.5) [1] 0.3085375 > pnorm(1.2) [1] 0.8849303 Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09 : -0.5 0.3085 1.2 0.8849

6.3 Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). Distribusi Eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi gamma. Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas. Definisi (6.2): Fungsi gamma didefinisikan sebagai: Untuk Jadi

Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh

Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

Sifat penting fungsi Gamma adalah Bukti: Dari definisi Untuk Menggunakan substitusi: Diperoleh: Dengan merubah sistem koordinatnya ke polar koordinat dengan persamaan diatas menjadi:

Jadi

Definisi (6.3): Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk: Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk beberapa nilai parameter dan Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial, dan grafik distribusi gamma dengan dan beberapa nilai dipelihatkan pada gambar 6.9

Gmbar 6.8 Distribusi Gamma

Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan )

Definisi (6.4): Teorema 6.1: Akibat (1): Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk: Teorema 6.1: Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah Akibat (1): Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah

Contoh 6.2 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab: Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah:

Contoh 6.3 Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tadi Jawab: Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poisson memenui distribusi gamma dengan parameter Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:

6.4 Distribusi Chi-kuadrat Hal khusus lainya yang sangat penting dari distribusi gamma adalah dengan mengambil Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat, dan v disebut derajad bebas Definisi (6.4): Perubah acak kontinu X terdistribusi chi-kuadrat dengan derajad bebas v, jika fungsi padatnya berbentuk: Akibat (2): Rata-rata dan variansi distribusi chi-kuadrat adalah

Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat

6.5 Distribusi Weibull Definisi (6.5): Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibll untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar 6.11 Definisi (6.5): Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial. Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.

Gambar 6.11 Distribusi Weibull

Teorema .6.2: Rata-rata dan variansi distribusi Weibull adalah Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur seperti waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.