MATRIKS DAN APLIKASINYA Resista Vikaliana, S.Si. MM Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

KONSEP MATRIKS Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Contoh : a b c d Kolom ke 1 A = Kolom ke 2 Resista Vikaliana,S.Si. MM baris ke 1 baris ke 2 14/09/2013

NOTASI DAN ORDO a b c d e f g h i j k l = 3 x 4 a b c d e f g h i j k l = Notasi Matriks dengan huruf besar Unsur matriks dengan huruf kecil atau angka Ordo : banyaknya unsur matriks dengan perkalian banyak baris dengan banyak kolom Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3 KESAMAAN MATRIKS Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B. Contoh : Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3 Definisi: Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika : a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama. b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama. a b c d e f a b c d e f A = B = dan Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Macam-Macam Matriks A = C = D = B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = C = D = B = a b c d Matriks Kolom (ordo 4x1) Matriks Baris (ordo 1x5) Matriks Bujur sangkar (ordo 3x3) Matriks Identitas (ordo 3x3) Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Beberapa macam bentuk matriks Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n 4 1 7 7 1 2 3 4 5 1 4 1 b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji 4 x 4 B = 1 0 7 7 0 5 4 3 7 4 2 5 7 3 5 1 4 X 4 Matematika Ekonomi

Matriks diagonal D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j D = 3 0 0 0 5 0 0 0 7 0 5 0 0 0 7 e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di-bawah diagonal uta-ma bernilai nol. G = 9 9 3 0 1 3 0 0 2 d. Matriks identitas I4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Diagonal utama Jika semua unsur di-atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah. Matematika Ekonomi

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contoh : H2X3 = 1 4 5 MATRIKS MENDATAR Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K3x2 = 1 -8 4 9 MATRIKS TEGAK Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

OPERASI MATRIKS Operasi penjumlahan Operasi pengurangan Operasi perkalian matriks dengan bilangan real/ skalar Operasi perkalian 2 matriks Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Penjumlahan dan pengurangan Ordo kedua matriks yang Syarat dalam Operasi Penjumlahan dan pengurangan Ordo kedua matriks yang dijumlahkan/ dikurangkan harus sama Setiap unsur yang letaknya bersesuaian dijumlahkan/ dikurangkan. Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

CONTOH Jika A = , dan B = Maka A + B = = A - B = = 3 2 1 5 4 6 7 5 -3 -2 1 10 7 -2 3 5 6 3+7 2+5 1+(-3) 5+(-2) 4+1 6+0 3-7 2-5 1-(-3) 5-(-2) 4-1 6-0 -4 -3 4 7 3 6 Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS 1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif) 2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif) 3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah) Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Jadi, jika A = , maka : kA = Contoh : Misal A = , maka 3A = 3 = = a11 a12 a21 a22 ka11 ka12 ka21 ka22 7 5 -3 -2 1 7 5 -3 -2 1 3.7 3.5 3.(-3) 3.(-2) 3.1 3.0 21 15 -9 -6 3 Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL Jika a dan b bilangan real, maka : ( a + b )A = aA + bA a ( A + B ) = aA + aB a( bA ) = (ab)A SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Perkalian 2 Matriks Syarat 2 matriks bisa dikalikan jika banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua : Anxm . Bmxp = (AB)nxp 2 3 4 1 AB = 1 2 3 3 5 2.1 + 3.3 + 4.5 31 AB = 1.1 + 2.3 + 3.5 = 22 14/09/2013 Resista Vikaliana,S.Si. MM

Determinan matriks 𝐴 di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks dinotasikan dengan det 𝐴 atau |𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. DETERMINAN MATRIKS Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2 Barisan bilangan yang di tulis di antara dua garis tegak 4 3 2 Det.A = = 1.2 – 4.3 = – 10 a b c d RUMUS : Det.A = = ad – bc DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2 Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 Untuk mencari determinan matriks berordo 3x3 dapat digunakan dua metode, sebagai berikut: Metode Sarrus Metode Cramer DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Cara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3. Cara sarrus : i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga. ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan. METODE SARRUS Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

p q r s t u v w x Jika Matriks B = maka det (B) = |B| = = ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi. p q r s t u v w x p q s t v w Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0. METODE CRAMER Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Contoh APLIKASI BISNIS DAN MANAJEMEN PT Cantik Sehat memproduksi tiga jenis suplemen untuk wanita. Ketiga jenis suplemen tersebut mengandung vitamin C, D, E. Kandungan vitamin dari ketiga jenis suplemen wanita tersebut disajikan pada tabel berikut ini Jenis Suplemen Vitamin C Vitamin D Vitamin E X 3 2 4 Y 1 5 Z 6 Contoh APLIKASI BISNIS DAN MANAJEMEN Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

Saat ini ketersediaan bahan baku untuk membuat suplemen wanita tersebut terbatas. Perusahaan hanya memiliki ketersediaan vitamin C=170mg, vitamin D=430mg dan vitamin E=140 mg. Dengan keterbatasan bahan baku yang tersedia, tentukanlah jenis suplemen X, Y dan Z yang dapat diproduksi perusahaan! Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013

3. Hitung determinan dengan menggunakan Metode Sarrus 1. Buat persamaan 2. Buat matriknya 3. Hitung determinan dengan menggunakan Metode Sarrus 4. Mencari nilai variabel (x, y, z) dengan Metode Cramer Resista Vikaliana,S.Si. MM 14/09/2013