TEOREMA HARGA ANTARA SERTA IMAGE DAN INVERSE PERTEMUAN 5 TEOREMA HARGA ANTARA SERTA IMAGE DAN INVERSE
Sasaran Pengkajian mengenai Teorema Harga antara serta Image dan Inverse. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Teorema Harga antara serta Image dan Inverse Pokok Bahasan Teorema Harga antara serta Image dan Inverse
Teorema Misalkan fungsi f: [a,b] R kontinu dan f(a)<0 dan f(b)>0. Maka terdapat titik x0 dalam interval terbuka (a,b) dimana f(x0)=0.
Teorema (Teorema Harga Antara) Diberikan fungsi f: [a,b] R yang kontinu dan c bilangan real di mana f(a) < c < f(b) atau f(b) < c < f(a). Maka terdapat x0 dalam interval terbuka (a,b) di mana f(x0) = c.
Gambar
Gambar
Contoh Pandang persamaan x5 + x + 1 = 0, x dalam R. Ambil h: R R, h(x)=x5 + x + 1. Karena h(-1)<0 dan h(0)>0, dengan Teorema Harga Antara terdapat x0 dalam (-1,0) yang merupakan akar dari persamaan di atas.
Teorema Misalkan I suatu interval dan fungsi f: I R kontinu. Maka f(I) juga suatu interval.
Definisi Fungsi f: D R disebut satu-ke-satu (injektif) bila untuk setiap y dalam image f(D), terdapat tepat satu x dalam D sedemikian sehingga f(x)=y. Bila fungsi f: D R adalah satu-ke-satu, maka dapat didefinisikan fungsi invers dari f, yaitu f-1(y)=x bila f(x)=y.
Definisi Fungsi f: D R disebut naik tajam bila f(v)>f(u) untuk semua u dan v dalam D dengan v>u. Fungsi f: D R disebut turun tajam bila f(v)<f(u) untuk semua u dan v dalam D dengan v>u. Fungsi yang naik tajam atau turun tajam disebut monoton tajam.
Proposisi Bila fungsi f: D R adalah monoton tajam, maka f satu-ke-satu dan f-1: f(D) R juga monoton tajam.
Teorema Misalkan I suatu interval dan fungsi f: I R adalah monoton tajam. Maka fungsi invers f-1: f(I) R kontinu.
Teorema Misalkan I suatu interval dan fungsi f I R adalah monoton tajam. Maka fungsi f: I R kontinu bila dan hanya bila image f(I) merupakan interval.
Proposisi Untuk setiap bilangan alam n, ambil f(x)=xn untuk semua x 0. Maka fungsi f: [0,) R adalah naik tajam dan kontinu, dan imagenya adalah [ 0 , ) . Fungsi inverse f-1: [0,) R juga kontinu.