SEBARAN GAMMA DAN KHI-KUADRAT

Jika  > 1 maka ()=(-1) = (-1) (-1) Dalam calculus Bentuk Integral Ada nilainya untuk  > 0 dan positif integral tersebut kita sebut Fungsi Gamma dari  dan ditulis sebagai berikut : =1 Jika = 1  maka (1) = Jika  > 1 maka ()=(-1) = (-1) (-1)

Diintegralkan secara parsial Untuk  >1 dan bilangan bulat positif maka () = (-1)(-2)(-3)…… 3.2.1 () = (-1)! dengan (1)= 1 dan 0!= 1,() = (-1)! Misalkan terdapat peubah baru maka () = atau 1 =

Untuk  > 0 ;  > 0, dan () > 0 kita tahu bahwa Jika x ~ Gamma (,)  ; o< x< ~ f(x) = f(x) merupakan fkp sebaran Gamma (,)

Fungsi Pembangkit Momen Sebaran Gamma M(t) = Mis y = atau x = M(t) = M(t) =

Jika diturunkan terhadap t maka didapat Ml(t) = (-) (1- t) --1 (-) dan Mll(t) = (-) (--1) (1-t) --2 (-)2 Untuk sebaran Gamma diatas, dengan mensubsitusi nilai t = 0 diperoleh rata-rata dan ragam (variansi)nya sebagai berikut : Rata-rata =  = Ml(0) =   Ragam 2 = Mll(0) -2 = (+1) 2-22 2 =  2

Hubungan Antara Sebaran Gamma dan Sebaran Poisson Misalkan Peubah Acak W merupakan waktu tunggu dengan fungsi sebaran G(w) = Pr (W w) = 1 – Pr (W>w) W>w untuk w>0 dan k dalam interval w untuk W ~ poisson dengan rata-rata ( w) maka Pr (W>w) = untuk w>0 untuk w>0 G(w) = 1 -

dan untuk w0 G(w)=0 Jika peubah acak dalam G(w) diganti z = y maka G(w) = = 0 untuk selainnya sehingga fungsi kepekatan peluang (fkp) W adalah g(w) = Gl(w) = = 0 untuk selainnya W ~ Gamma dengan =k dan  =

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah SEBARAN EKSPONENSIAL Jika w merupakan waktu tunggu sam-pai kesempatan pertama, berarti k=1 maka fkp bagi w adalah g(w) = e-w , o < w < ~ = 0 untuk selainnya W ~ Eksponensial dan dan

SEBARAN KHI-KUADRAT dan Hal khusus untuk sebaran Gamma adalah sebaran khi-kuadrat dimana  =r/2 (r bilangan bulat positif) dan =2 sehingga fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu X tersebut adalah f(x) = dan ; t < = 0 untuk selainnya dan 2 = r dan variansi/ragamnya adalah Var (X) Var(X) = x2 =  2 = 22= 2r

dan Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak x yang menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r adalah Mx(t) = (1-2t)- Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah ; t < Nilai tengah atau rata-rata untuk X adalah E(X) E(X) = x = = 2 = r dan variansi/ragamnya adalah Var (X) Var(X) = x2 =  2 = dan 22= 2r