Matematika Komputasi Lanjut (02_ Sistem Koordinat, Grafik Persamaan) Hurriyatul Fitriyah

1_ Sistem Koordinat

The Rectangular Coordinate System Terdiri dari sumbu x (horizontal) dan sumbu y (vertical) Kedua sumbu koordinat bersilang di titik 0 yang disebut origin sumbu koordinat membagi bidang menjadi 4 bagian yang disebut kuadrant, yakni kuadran I, II, III dan IV

Koordinat Kartesian Koordinat kartesian titik P adalah (a,b) a menunjukkan leatk titik P pada sumbu x b menunjukkan letak titik P pada sumbu y

Jarak antar Titik Untuk mengukur jarak antar titik digunakan rumus pythagoras Sehingga didapatkan jarak antara titik 𝑃( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dan Q( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) adalah

Example 1 Tentukan jarak antara titik P dan Q di bawah ini 𝑃 −2,3 dan 𝑄 4,−1 𝑑 𝑃,𝑄 = (4− −2 ) 2 + (−1−3) 2 = 52 ≈7.21

Persamaan Lingkaran (standard equation of a acircle) Lingkaran pada dasarnya adalah kumpulan titik-titik yang berada pada jarak yang sama (disebut jari-jari, radius) dari sebuah titik pusat Contoh sebuah lingkaran dengan radius 3 dan titik pusat pada (-1,2), sehingga rumus jarak menjadi Dikuadratkan kedua sisinya: Sehingga lingkaran dengan radius r dan titik pusat (h,k) dapat dirumuskan

Example 2 Sebuah lingkaran memiliki radius 5 dan titik pusat di (1,-5); tentukan koordinat y dari 2 buah titik di dalam lingkaran pada koordinat x adalah 2 Rumus lingkaran subtitusikan x=2, sehingga koordinat-koordinat y berada pada

Bentuk Lain Persamaan Lingkaran Dengan menjabarkan rumus Dan menggabungkan semua konstan-nya, maka bentuk lain persamaan lingkaran adalah

Example 3 Show that the equation represents a circle, and find its centre and radius -- complete the quadratic form, Hence centre is (1,-3) and radius 2

Rumus Titik Tengah (The Midpoint Formula) Untuk mencari koordinat titik tengah antara dua titik 𝑃( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dan Q( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) adalah dengan menambahkan 1 2 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ) pada 𝑥 1 dan menambahkan 1 2 ( 𝑦 1 , 𝑦 2 ) pada 𝑦 1 Sehingga koordinat titik tengah adalah

Example 4 Tentukan persamaan lingkaran dengan diameter adalah antara titik (1,3) dan (7,11) -- Koordinat titik pusat 1+7 2 , 3+11 2 =(4,7) Panjang diameter didapat dari rumus jarak Sehingga radius adalah 5, dan persamaan lingkarannya adalah

Garis (Line) Slope, m adalah perubahan nilai pada koordinat y (rise) terhadap perubahan nilai pada koordinat x (run), Slope adalah fungsi absolute jarak, tidak tergantung dari posisi titik Slope adalah ukuran steepness

Line of Various Slope Note, slope of a vertical line is undefined

The Point-Slope Form Consider a line which: Passess through (3,2) and Has slope 2/5 Hence the slope formula is Or The point-slope form shows a line passing through a fixed point ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) with slope m

Example 5 Find an equation of the line through (-4,2) and (6,-1) -- The slope is 𝑚= −1−2 6+4 =− 3 10 Thus, using (-4,2) as a fixed point, we obtain the line equation

The Slope-Intercept Form Suppose that we are given the slope m for a line and the y-intercept b at (0,b), thus we get Thus can be written as the slope-intercept form

Example 6 Consider an equation If we solve for y, we can get It is the equation of a line with slope 3/2 and y-intercept 2

Equation of a Vertical Line Seperti pemahaman sebelumnya, bahwa persamaan untuk garis vertikal menggunakan konsep slope adalah tidak terdefinisikan Persamaan untuk garis vertikal pada gambar disamping dapat dengan mudah ditulis sebagai 𝑥= 5 2

General Line Equation Jika garis vertikal memiliki persamaan Maka dapat ditulis menggunakan general line equation

Garis Paralel Dua garis yang tidak pernah memiliki titik yang sama, namun memiliki slope yang sama disebut garis paralel, misal 𝑦=2𝑥+2 dan 𝑦=2𝑥+5

Example 7 Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui (6,8) yang paralel terhadap persamaan garis 3𝑥−5𝑦=11 -- Rubah persamaan ke dalam bentuk persamaan slope, 𝑦= 3 5 𝑥− 11 5 Sehingga diketahui slope adalah 3 5 Dan persamaan garis dapat ditulis sebagai 𝑦−8= 3 5 (𝑥−6) atau 𝑦= 3 5 𝑥+ 22 5 Keduanya merupakan garis paralel karena memiliki slope yang sama namun memotong sumbu y di angka yang berbeda

Garis Tegak Lurus (Perpendicular Line) Dua garis dinyatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika slope dari keduanya bersifat negative reciprocal 𝑚 2 = −1 𝑚 1

Example 7 Temukan persamaan garis yang melewati persimpangan (titik temu) dari garis-garis 3𝑥+4𝑦=8 dan 6𝑥−10𝑦=7 yang juga tegak lurus terhadap garis pertama -- Untuk menemukan titik temu dari kedua garis, maka kita subtitusi persamaan 1 dan 2, Sehingga didapat 𝑦= 1 2 dan 𝑥=2 Karena tegak lurus dengan garis pertama, maka slope garis tersebut adalah −1 −3/4 = 4 3 Sehingga persamaan garis nya adalah (𝑦− 1 2 )= 4 3 (𝑥−2)

2_Grafik persamaan (Graph of equation)

The Graphing Procedure Bagaimana menggambar sebuah persamaan (equation) dalam koordinat x dan y Ikuti prosedur 3-langkah di bawah ini: Obtain the coordinates of a few points that satisfy the equation (create table of values) Plot these points in the plane Connect the points with a smooth curve

Example 1 Gambar kurva dari persamaan 𝑦= 𝑥 2 −3 Semakin banyak komponen dalam table of values, semakin mudah anda membuat gambar atau kurva nya

Symmetry of Graph Grafik untuk persamaan 𝑦= 𝑥 2 −3 terlihat simetris dimana setiap titik koordinat (−𝑥,𝑦) selalu simetris dengan titik koordinat (𝑥,𝑦) ; simetris pada sumbu y Selain simteris pada sumbu y, terdapat juga grafik yang simetris pada sumbu x dimana setiap titip (𝑥,−𝑦) selalu simetris dengan (𝑥,𝑦)

Test the Symmetry of a Graph Simetris terhadap sumbu y adalah jika mengganti komponen 𝑥 dengan −𝑥 akan memberikan hasil 𝑦 yang sama, misal 𝑦= 𝑥 2 Simetris terhadap sumbu x adalah jika mengganti komponen 𝑦 dengan −𝑦 akan memberikan hasil 𝑦 yang sama, misal 𝑥= 𝑦 2 +1 Simetris terhadap titik 0 (origin) adalah jika mengganti komponen 𝑥 dengan −𝑥 dan 𝑦 dengan −𝑦 akan memberikan hasil yang sama, misal 𝑦= 𝑥 3 yang akan memberikan hasil sama dengan −𝑦= (−𝑥) 3

Example 3 Gambar grafik untuk 𝑦= 𝑥 3

Intercept The points where the graph of an equation crosses the coordinate axis x or y When 𝑥=0, it is called y-intercept When 𝑦=0, it is called x-intercept

Example 3 Temukan semua intercept grafik dari persamaan 𝑦 2 −𝑥+𝑦−6=0 -- Dengan 𝑦=0, maka x-intercept adalah -6 Dengan 𝑥=0, sehingga 𝑦 2 −𝑦−6=0, 𝑦+3 + 𝑦−2 =0 , maka y-intercept adalah -3 dan 2

Grafik Dasar dari Persamaan Quadratic dan Cubic

Grafik Parabola Grafik parabola adalah jika persamaannya dalam bentuk 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 atau 𝑥=𝑎 𝑦 2 +𝑏𝑦+𝑐 dimana 𝑎≠0 Pada persamaan pertama, Grafik parabola terbuka keatas jika 𝑎>0 dan terbuka kebawah jika 𝑎<0 Pada persamaan kedua, Grafik parabola terbuka ke kanan jika 𝑎>0 dan terbuka ke kiri jika 𝑎<0

Intersection of Graph

Example 4 Find the points of intersection of the line 𝑦=−2𝑥+2 dan parabola 𝑦=2 𝑥 2 −4𝑥−2 -- Lakukan subtitusi pada kedua persamaan, Dan nilai y adalah 4 dan -2, sehingga intersection points berada pada titik (-1,4) dan (2,-2)