Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub I Irisan Kerucut (kurva-kurva) Lingkaran : bidang yang tegak lurus kepada sumbu kerucut. Elips : bidang yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu kerucut. Parabola : bidang yang sejajar dengan sisi kerucut. Hiperbola : bidang yang sejajar dengan sumbu kerucut.

Definisi: Himpunan titik-titik P dimana rasio antara jarak |PF| dari fokus dengan jarak |PL| dari garis l merupakan sebuah konstanta e positif. e = eksentrisitas disebut irisan kerucut Parabola mempunyai satu titik puncak sedangkan elips dan hiperbola mempunyai dua titik puncak.

Parabola (e = 1) Definisi : himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis l dan fokus F, maka : sumbu koordinat pada sumbu x dan fokus pada (p,0) dan direktris (garis l ) pada persamaan x=-p maka berdsarkan rumus jarak maka :

Persamaan standar: dimana p adalah jarak dari fokus ke titik puncak Persamaan standar: dimana p adalah jarak dari fokus ke titik puncak. Parabola yang lain :

Contoh soal: Tentukan fokus dan direktris (garis tetap) dari parabola yang mempunyai persamaan Peny: F(p,0) maka fokus di (3,0) dan direktriks (l ) x=-p maka x=-3 Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris pada parabola dibawah ini:

Peny: Parabolanya vertikal dan terbuka ke bawah pada F(0,-4) dan persamaan direktrisnya y=4. Tentukan persamaan parabola yang verteksnya (titik puncak) di titik asal melalui (-2,4) dan terbuka ke kiri. Titik puncaknya (0,0), terbuka ke kiri dan melalui (-2,4) maka:

Maka persamaan parabolanya: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari parabola dibawah ini Peny: Titik singgung: pada (1,-4)

Maka persamaan garis singgungnya: Garis normal merupakan garis yang tegak lurus pada garis singgung, syaratnya:

Elips ( 0 < e < 1 ) Apabila |PF|= e |PL| dimana 0 < e < 1 maka akan membentuk elips. Fokusnya F(c,0), direktrisnya x=k dan verteksnya A’ (-a,0) dan A (a,0) maka :

Dari persamaan sebelumnya didapat nilai c dan k : Dari gambar diatas dengan syarat |PF|= e |PL| maka:

Persamaan standar elips: maka Pada elips syarat a > b

Contoh soal: Sketsalah grafik dan tentukan fokus dan eksentrisitasnya. Peny: Berdasarkan pers maka a = 6 dan b =2 maka dari per fokusnya (±c,0) =

Bentuk grafik dari persamaan diatas: Tentukan fokus dan eksentrisitas dari persamaan berikut: Peny: dimana a=5 dan b =4 dan c=3 maka : fokusnya(0,±3)

Hiperbola (e > 1 ) Seperti yang terlihat pada gambar diatas dimana e > 1 maka: supaya e2 - 1 bernilai positif maka

maka persamaan hiperbola horizontal menjadi: dimana c=ae maka c2=a2+b2 persamaan disamping untuk hiperbola horizontal. Sedangkan hiperbola vertikal adalah: verteksnya (0,±a) fokusnya (0,±c) Dari gambar diatas diagonalnya merupakan asimtotnya :

Contoh soal: Sketsalah grafik dan tunjukkan asimtot-asimtotnya, bagaimana persamaan asimtotnya dan berapa fokusnya dari persamaan berikut: Peny: a =3 dan b=4 dimana a kaki horizontal dan b kaki vertikal Asimtot dan Fokusnya

Fokusnya (±c,0) F (±5,0) Fokusnya (0,±3,61) Tentukan fokus dari persamaan berikut: dari pers diatas kurvanya merupakan hiperbola vertikal dimana a =3 dan b =2 maka : Fokusnya (0,±3,61)

Bentuk grafik dari hiperbola vertikal adalah: Jarak maksimum bumi dari matahari 94,56 juta mil dan jarak minimumnya 91,45 juta mil. Bagaimana eksentrisitas dari orbitnya dan bagaimana diametermayor dan minornya.

Peny: Sesuai gambar diatas maka: _ Maka

Diameter mayor dan minornya dalam juta mil adalah: Mayor = 2 a = 2 (93,01) =186,02 Minor =2 b dimana a2 = b2 + c2 maka = 2 Translasi Sumbu Definisi: kedudukan dimana sumbu mayor tidak berada di salah satu sumbu koordinat dan pusatnya tidak berada di titik asal. ex:

Diskusi: Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris dan gambar sketsanya: dan Tentukan persamaan standar dari info berikut dan asumsikan verteksnya berada di titik asal. Direktrisnya adalah x= 3 Fokusnya adalah Sketsa grafik dan tentukan verteks, fokus dan asimtot apabila hiperbola:

Dari pers diatas grafiknya: Secara umum bentuk grafiknya: Penggunaan sumbu-sumbu baru tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah kurva.

Dari gambar diatas : (x,y) = koordinat lama (u,v) = koordinat baru (h,k) = titik asal yang baru Hubungan dari koordinat yang lama terhadap koordinat yang baru: Contoh soal: Tentukan koordinat baru dari P (-6,5) setelah translasi sumbu-sumbu ke titik asal baru di (2,-4) Peeny:

Titik asal baru (2,-4) ; maka P (-6,5) u = x – h v = y – k = -6-2 = 5 – (-4) u = -8 v = 9 Koordinat yang baru (-8,9) Diketehui persamaan Tentukan persamaan dari grafiknya setelah proses translasi dengan titik asal baru (-5,1). Peny: maka didapat :

Sesuai persamaan diatas : Persamaan Elips Melengkapi kuadrat bertujuan menghilangkan suku-suku berderajat satu dalam persamaan :

Contoh: 1. Buatlah sebuah translasi yang akan menghilangkan suku-suku berderajat satu. dan gambar grafiknya. Peny: Translasi: dan

Kurva berbentuk elips horizontal. Namailah irisan kerucut yang ditunjukkan oleh persaman berikut: Peny: Kurvanya adalah parabola yang terbuka ke kanan.

Maka gambar grafiknya: Tulislah persamaan sebuah hiperbola dengan fokus di (1,1) dan (1,11) dan verteks-verteksnya di (1,3) dan (1,9). Peny: Verteksnya (1,3) dan (1,9) maka titik sumbunya (1,6) Pertengahan dari keduanya.maka a= 3 dan c=5 maka

Ringkasan : 1. 2. 3.

Tugas: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kemudian sketsalah parabola, garis singgung dan garis normal dari pers berikut: dan Tentukan persamaan dari irisan kerucut dan sketsa grafiknya: Elips dengan fokus di (6,0) dan eksentrisnya Hiperbola dengan fokus di (5,0) dan verteks (4,0) Namailah irisan kerucut yang dipresentasikan oleh persamaan berikut: Sketsa grafik dari persamaan-persamaan berikut: