PRE UTS Matematika dan Statistik (Ilmu dan Teknologi Lingkungan) Pertemuan 1 Matematika dan Statistik (Ilmu dan Teknologi Lingkungan) Pertemuan 2 Pertemuan 3 Pertemuan 4 Pertemuan 5 Purcell E.J., Varberg D., 2003, KALKULUS, edisi V, Erlangga, Jakarta. Stewart, J., 1998, KALKULUS, edisi IV, Erlangga, Jakarta. Vandermeer, J., 1981, Elementary Mathematical Ecology, Willey, New York. Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika, edisi III, Gramedia, Jakarta. Pertemuan 6 Pertemuan 7

Pertemuan I CLICK Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak CLICK Pertemuan I

Bilangan Riil dan Sifat-sifatnya Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Bilangan Riil dan Sifat-sifatnya Bilangan riil adalah bilangan rasional dan tak rasional yang dapat mengukur panjang, bersama-sama negatifnya dan nol Pertemuan I 1 2 3 4

Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Bilangan –bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar π -3/ 2 1/ 2 7/ 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 N= {1,2,3,4,5,6,…} Himpunan bilangan natural /asli Z= {…,-2,-1,0,1,2,…} Himpunan bilangan bulat Q= Himpunan bilangan rasional R= Himpunan bilangan riil R Q Z N Pertemuan I 1 2 3 4

Pertemuan I Sifat sifat Medan Komutatif x+y=y+x dan xy=yx Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Sifat sifat Medan Komutatif x+y=y+x dan xy=yx Asosiatif x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z Distributif x(y+z)=xy+xz Elemen identitas (terhadap operasi penjumlahan dan terhadap operasi perkalian Invers (terhadap penjumlahan dan terhadap perkalian) Pertemuan I 1 2 3 4

Pertemuan I Sifat sifat Urutan Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Sifat sifat Urutan Trikotomi jika x dan y adalah bilangan bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x<y atau x=y atau x>y Ketransitifan x<y dan y<z → x<z Penambahan x<y ↔ x+z<y+z Perkalian Bilangan z positif , x<y ↔ xz<yz, Jika z negatif, x<y ↔ xz>yz Pertemuan I 1 2 3 4

Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang mengandung < atau >, ≤ atau ≥, atau ≠. Berbeda dengan persamaan, dimana himpunan penyelesaiannya biasanya terdiri dari satu bilangan atau sejumlah bilangan berhingga, Himpunan penyelesaian suatu Pertidaksamaan adalah kumpulan bilangan yang jumlahnya tak hingga yang disebut selang. Pertemuan I 1 2 3 4

Pertemuan I Jenis Selang Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Jenis Selang Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik {x:a<x<b} {x:a≤x≤b} {x:a≤x<b} {x:a<x≤b} {x:x≤b} {x:x<b} {x:x≥a} (a,b) [a,b] [a,b) (a,b] (-∞,b] (-∞,b) [a,∞) Pertemuan I 1 2 3 4

Pertemuan I Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik {x:x>a} R Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik {x:x>a} R (a,∞) (-∞,∞) Pertemuan I 1 2 3 4

Penyelesaian Pertidaksamaan Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Penyelesaian Pertidaksamaan Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu tanpa mengubah pemecahan atau himpunan penyelesaiannya. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas Mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan positif yang sama Mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif yang sama, tetapi kemudian kita harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan Pertemuan I 1 2 3 4

Sifat sifat Nilai Mutlak Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan oleh |x|, didefinisikan sebagai : |x|= x jika x ≥ 0 |x|= -x jika x < 0 Sifat sifat Nilai Mutlak |ab|=|a||b| |a/b| = |a|/|b| |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥|a|-|b| Pertemuan I 1 2 3

Pertidaksamaan yang menyangkut Nilai Mutlak Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak Pertidaksamaan yang menyangkut Nilai Mutlak |x| < a ↔ -a < x < a |x| > a ↔ x < -a atau x > a Pertemuan I 1 2 3

Pertemuan I berasal dari sifat |a||b|=|ab|, maka didapatkan: |x| = x Kontrak perkuliahan Sistem bilangan Pertidaksamaan Nilai mutlak berasal dari sifat |a||b|=|ab|, maka didapatkan: |x| = x 2 2 |x| < |y| ↔ x < y 2 2 Pertemuan I 1 2 3