BARISAN DAN DERET DAN PENERAPANNYA

PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan adalah susunan bilangan yang di bentuk menurut suatu aturan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya. Dari segi pola perubahannya barisan dibedakan menjadi baris hitung dan baris ukur. a. Baris hitung adalah barisan bilangan dimana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat di peroleh dari selisih antara suatu suku dengan suku sebelumnya. b. Baris ukur adalah barisan bilangan dimana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat di peroleh dari perbandingan antara suatu suku dengan suku sebelumnya.

Deret adalah rangkaian bilangan-bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. a. Deret hitung adalah deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya dan seterusnya. b. Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

B. RUMUS BARISAN DAN DERET a. Baris hitung Un= a + (n-1)b b. Baris ukur Un= arn-1 Rumus deret a. Deret hitung Sn= n/2{a + Un} b. deret ukur Sn= a(1 - rn)/(1 – r) ,r<1 atau Sn= a(rn - 1)/(r – 1) ,r>1

C. PENERAPAN BARISAN DAN DERET DALAM EKONOM I DAN BISNIS Teori baris dan deret dipergunakan dalam beberapa permasalah ekonomi di antaranya: a. masalah pertumbuhan penduduk b. masalah perkembangan usaha c. teori nilai uang

a. Masalah perkembangan penduduk Deret ukur di pergunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu. Rumus Pt= P1 Rt – 1 ,R=1 + r Ket: Pt : jumlah penduduk pada tahun ke-t P1 : jumlah penduduk pada tahun dasar r : persentase pertumbuhan penduduk pertahun t : indeks waktu dalam tahun

b. Masalah perkembangan usaha Perkembangan variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal berpola seperti Deret hitung. Rumus Sn= n/2(a + Un)

c. Teori nilai uang Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam-meminjam serta masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang besarnya di asumsikan tetap dari waktu ke waktu. Rumus Pn= Po (1 + r/m)mn Ket: m : periode per tahun r : tingkat suku bunga per tahun Pn : modal pada tahun ke-n (di masa akan datang) Po : modal pada saat sekarang, saat t= 0 n : tahun ke

D. CONTOH SOAL a.Pertumbuhan Penduduk 1.Penduduk di Kota Bandung berjumlah 1.000.000 jiwa, pada tahun 1992 tingkat pertumbuhannya 4% per tahun, hitung jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2007, jika mulai 2007 pertumbuhan menurun menjadi 2,5%, berapa jumlah penduduk pada 11 tahun kemudian?

Jawab Dik : P1 = 1.000.000 Pt = 16, r1= 0,04, r2 = 0,025, R1 = 1,04, t= 15, R2= 1,025 Dit :pP16 peny: Pt = P1 Rt – 1 P16 = 1.000.000(1,04)15 = 1.800.943 jiwa P11 = 1.800.943(1,025)10 = 2.305.359 jiwa

2. Penduduk kota Yogya tahun 1998 berjumlah 2 juta jiwa dengan tingkat pertumbuhan 2.5 % pertahun. a. Berapakah jumlah penduduk kota yogya pada tahun 2010? b. Seandainya pada tahun 2010 jumlah penduduk kota yogya mencapai 3 juta jiwa, berapakah tingkat pertumbuhannya (r) ?

Jawab a. Dik : P0 = 2.000.000 r = 0,025 n = 12 R = 1.025 Dit : P12 = …? Peny: P12= P0 Rt-1 = 2.000.000 (1,025) 11 = 2.624.173 jiwa

b. Pn = po(1 + r)n 3.000.000= 2.000.000(1+r)12 (1+r)12 = 3.000.000/2.000.000 (1+r)12 = 1,5 1+r = 1,03437 r = 0,03437 = 3,437%

b. Perkembangan usaha 1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja,maka jumlah produk yang di hasilkan juga dapat di tingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan,berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke-12? Berapa buah jumlah keramik yang telah di hasilkannya selama satu tahun pertama produksinya?

Jawab Dik : a = 5.000, n= 12, b= 300 Dit : U12 = …? S12= …? Penye: Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke-12 U12 = a + (n – 1)b = 5.000 + (12 – 1)300 = 8.300 Jumlah keramik yang dihasilkannya selama 1 tahun pertama S12 = n/2( a + U12) = 12/2(5.000 + 8.300) = 79.800

c. Teori nilai uang 1. Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp.10.000.000 dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang di asumsikan konstan sebesar 11% per tahun. Bantulah nasabah untuk menghitung berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun ke-5 jika di depositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali?

Jawab Dik : P0 = 10.000.000 r = 0,11 m = 2 n = 5 Dit : P5 = …? Peny: Pn = P0(1 + r/m)mn = 10.000.000(1 + 0,11/2)10 = 17.081.444,58

2. Dani meminjam uang dari BRI sebanyak Rp. 5.000.000 untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat dilunasi jika bunga perhitungan pembayarannya bukan setiap tahun melainkan setiap 1 semester, maka berapa jumlah yang harus dikembalikan oleh Dani?

Jawab Dik : Po = 5.000.000 n = 3 r = 0,02 m = 2 Dit : P3 = …? Penye: P3 = P0 ( 1 + r/m) mn = 5.000.000 ( 1 + 0,02/2) 6 = 5.307.600 ,-