PELUANG Choirudin, M.Pd Klik Tombol start untuk mulai belajar

Kaidah Pencacahan Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan.

Secara umum cara menemukan banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-pendekatan berikut. Kaidah perkalian Permutasi Kombinasi

Contoh : Seorang polisi ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?

Jawab : Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita pakai pengisian tempat kosong seperti terlihat pada bagan berikut. a b c d 5 4 3 2

Buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan terdiri atas 4 angka. Dalam hal ini : Kotak (a) dapat diisi angka 1,2,3,4, atau 5, sehingga ada 5 cara. Kotak (b) hanya dapat diisi dengan 5 – 1 = 4 cara, karena 1 angka sudah diisikan di kotak (a). Kotak (c) hanya dapat diisi dengan 5 – 2 = 3 cara, karena 2 angka sudah diisikan di kotak (a) dan (b). Kotak (d) hanya dapat diisi dengan 5 – 3 = 2 cara, karena 3 angka sudah diisikan di kotak (a), (b), dan (c).

Jadi, polisi itu dapat membuat plat nomor kendaraan sebanyak 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 plat nomor kendaraan.

b. Notasi Faktorial Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n dilambangkan dengan “n!” (dibaca “n faktorial”).

Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut. Definisi: n! = 1 × 2 × 3 ×…× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×…× 3 × 2 x 1 Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.

2. Permutasi Permutasi adalahsuatususunanunsur-unsurberbedadalamurutantertentu. Padapermutasiurutandiperhatikan, sehingga AB 𝐴𝐵≠𝐵𝐴.

Contoh: 1. Tentukannilaidari 𝑃 (8,3). Jawab : 𝑃 (8,3) = 8. 8−3. = 8. 5

2. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk menggunakan 4 angka yang diambil dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, apabila angka-angkanya tidak boleh diulang dalam setiap bilangan ?

Jawab : Banyaknyabilanganmerupakanfungsipermutasi, yaitu : 𝑃 (6,4) = 6

3. Untuk menjabat pengelola suatu perusahaan memerlukan 3 staf pengurus yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tersedia 7 calon. Banyaknya macam susunan staf pengurus yang mungkin adalah…

Pada soaldiketahuibahwaakandipilih 3 orang untukmenjadistafpengurusdari 7 calon yang tersedia. Iniberarti n = 7 dan r = 3. Dengandemikianbanyaknyasusunanpengurus yang mungkinadalah 𝑃 (7,3) = 7! 7−3 ! = 7! 4! = 7×6×5×4! 4! =210

b. PermutasidenganBeberapaUnsur yang Sama Banyaknyapermutasi n unsuryang memuatk, l, dan m unsuryang samadapatditentukandenganrumus: 𝑃 (𝑛,𝑘,𝑙,𝑚) = 𝑛! 𝑘!𝑙!𝑚!

Contoh : Berapabanyak kata yang dapatdisusundari kata MATEMATIKA Contoh : Berapabanyak kata yang dapatdisusundari kata MATEMATIKA ? Jawab : Banyakhuruf = 10 Banyaknya M = 2 Banyaknya A = 3 Banyaknya T = 2 𝑃= 𝑛! 𝑘!𝑙!𝑚! = 10! 2!3!2! =151200

c. PermutasiSiklis Permutasisiklisadalahpermutasi yang caramenyusunnyamelingkar, sehinggabanyaknyamenyusun n unsur yang berlainandalamlingkaranditulis : 𝑷 𝒔𝒊𝒌𝒍𝒊𝒔 = 𝒏−𝟏 !

Contoh : Berapa banyak cara 5 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar ? Jawab: Banyaknya susunan duduk 5 orang yang mengelilingi sebuah meja bundar adalah (5 – 1)! = 4! = 24

4. Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada Kombinasi berlaku AB = BA

NotasiKombinasi Banyakkombinasir unsurdari n unsur, yang dinotasikandengan 𝐶 (𝑛,𝑟) ditentukan olehrumus : 𝐶 (𝑛,𝑟) = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 !

Contoh 1. Hitunglahnilaidari 𝐶 (7,3). Jawab : 𝐶 (𝑛,𝑟) = 𝑛. 𝑟. 𝑛−𝑟

2. Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapa pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk : Ganda putra Ganda putri Ganda campuran

Penyelesaian : 𝐶 (10,2) = 10! 2! 10−2 ! = 10! 2!8! = 10×9×8! 2!8! =45 Karenabanyaknyapemainputraada 10 dandipilih 2, makabanyakcaraada 𝐶 (10,2) = 10! 2! 10−2 ! = 10! 2!8! = 10×9×8! 2!8! =45

b. Karenabanyaknyapemainputriada 8dandipilih 2, makabanyakcaraada 𝐶 (8,2) = 8! 2! 8−2 ! = 8! 2!6! = 8×7×6! 2!6! =28

c. Gandacampuranberarti 10 putradiambil 1 dan 8 putridiambil 1, maka : 𝐶 (10,1) × 𝐶 (8,1) = 10! 1! 10−1 ! × 8! 1! 8−1 ! = 10! 1!9! × 8! 1!7! =10×8=80

b. Binomial Newton

KESIMPULAN (𝑎+𝑏) 𝑛 = 𝑟=0 𝑛 𝐶 𝑛,𝑟 𝑎 𝑛−𝑟 𝑏 𝑟

Contoh

Ruang Sampel Suatu Percobaan Pengertian Percobaan Percobaan adalah tindakan atau kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan hasil. Contoh : Percobaan melempar sebuah dadu ke udara Percobaan mengambil satu kartu dari seperangkat kartu bridge Percobaan mengetos sekeping uang logam dan sebuah dadu ke udara.

Pengertian Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Dinyatakan dengan n(s). Contoh : Jika melempar sekeping uang logam maka banyaknya ruang sampel atau ruang kejadian adalah 2 yaitu munculnya angka atau gambar .

Tentukan banyaknya ruang sampel pada seperangkat kartu Bridge SOLUSINYA : Pada seperangkat kartu Bridge terdapat 4 jenis kartu yaitu : Kartu Harten (Hati), Kartu Klaver (Keriting), Kartu Skop (Daun), dan Kartu Riten (Wajik). Masing-masing jenis kartu terdiri dari 13 buah kartu, sehingga banyaknya ruang sampel adalah 4 x 13 = 52

Contoh : Tuliskan ruang sampel dari kejadian berikut : Pelambungan Sebuah dadu Pelambungan Dua buah dadu Pelambungan Dua keping uang logam Pelambungan Tiga keping uang logam

Jawab : Pelambungan sebuah dadu Ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6} no. 2, 3 dan 4 (latihan)

Pengertian Titik Sampel Titik sampel disebut juga titik kejadian atau anggota ruang sampel pada suatu percobaan. Contoh : Tentukan banyaknya titik sampel pada: 1. Sebuah Dadu 2. Sekeping uang logam 3. Dua keping uang logam

Jawab : 1. 1, 2, 3, 4, 5, 6 ada 6. 2. Titik sampelnya 2 yaitu : Gambar dan angka 3. Titik sampelnya 4 yaitu : Gambar, gambar Gambar, angka Angka, gambar Angka, angka

Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya Pengertian Peluang Suatu Kejadian Peluang atau nilai kemungkinan adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan muncul dengan banyaknya kejadian yang mungkin muncul.

Bilabanyakkejadian yang diharapkanmunculdinotasikandengann(A), danbanyaknyakejadianyang mungkinmuncul(ruangsampel = S) dinotasikandengann(S) maka: Peluangkejadian A ditulis P A = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

Contoh : Peluangmunculmukadadunomor5 daripelemparansebuahdadusatu kali adalah…. Jawab : n(5) = 1 dan n(S) = 6  yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jadi, P 5 = 𝑛(5) 𝑛 𝑆 = 1 6

Kisaran NilaiPeluang Jikakejadian A dalamruangsampel S selaluterjadi, maka n(A) = n(S), sehinggapeluangkejadian A adalah P A = 𝑛(𝐴) 𝑛 𝑆 =1

Contoh : Dalampelemparansebuahdadu, berapakahpeluangmunculnyaangka-angka di bawah 10? Jawab : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n (S) = 6 A = munculnyaangka-angka di bawah 10 {1, 2, 3, 4, 5, 6}→ n (A) = 6 P A = 𝑛(𝐴) 𝑛 𝑆 = 6 6 =1

Frekuensi HarapanSuatuKejadian Frekuensiharapansuatukejadiandidefinisikansebagaihasil kali banyakpercobaan(n) denganpeluangkejadian. Frekuensiharapandirumuskansebagai : 𝐹 𝐴 =𝑛×𝑃(𝐴)

Contoh : Padapercobaanmelemparsebuahuanglogamsebanyak 300 kali, frekuensiharapanmunculnyamukagambaradalah … Jawab : n = 300 kali, n(A) = 1, n(S) = 2 P A = 𝑛(𝐴) 𝑛 𝑆 = 1 2 Jadi, F (A) = n x P(A) = 300 x 1 2 = 150

Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya : Nomor prima Bukan nomor prima

b. Bukannomor prima = 𝐴 𝑐 , makapeluangnya = P( 𝐴 𝑐 ). 𝑃(𝐴 𝐶 )=1−𝑃 𝐴 Jawab : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10 Misalmunculnyanomor prima adalah A, maka 𝐴= 2, 3, 5, 7 →𝑛 𝐴 =4 𝑃 𝐴 = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 4 10 =0,4 b. Bukannomor prima = 𝐴 𝑐 , makapeluangnya = P( 𝐴 𝑐 ). 𝑃(𝐴 𝐶 )=1−𝑃 𝐴 =1−0,4=0,6

Peluang GabunganDuaKejadian Untuksetiapkejadian A dan B berlaku: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) Catatan : 𝑃 𝐴∪𝐵 dibaca “peluangkejadian A atau B” 𝑃 𝐴∩𝐵 dibaca “peluangkejadian A dan B”

Contoh : Dalam melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima, tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima !

Jawab : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 𝐴∩𝐵= 3, 5 →𝑃 𝐴∩𝐵 = 2 6 A = Bilanganganjil : {1, 3, 5} →𝑃 𝐴 = 3 6 B = Bilanganprima : {2, 3, 5}→𝑃 𝐵 = 3 6 𝐴∩𝐵= 3, 5 →𝑃 𝐴∩𝐵 = 2 6 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) = 3 6 + 3 6 − 2 6 = 4 6 = 2 3 Jadi, peluangkejadianmunculnyabilanganganjilatau prima adalah 2 3

Untuksetiapkejadian A dan B berlaku: PeluangKejadian yang SalingLepas Untuksetiapkejadian A dan B berlaku: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 Jika𝐴∩𝐵=∅ , maka𝑃 𝐴∩𝐵 =0, sehingga : 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 Dalamkasusini A dan B disebutduakejadiansalinglepas.

Contoh : Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan. Sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak. Misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil : Selidiki apakah kejadian A dan B saling lepas Tentukan peluang kejadian A atau B

Jawab : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10 A = {2, 4, 6, 8, 10} →𝑃 𝐴 = 5 10 B = {3, 5, 7} →𝑃 𝐵 = 3 10 a. 𝐴∩𝐵={ }maka A dan B salinglepas. b. 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 = 5 10 + 3 10 = 8 10 = 4 5

Kejadian Bersyarat Peluangmunculnyakejadian A dengansyaratkejadian B telahmunculadalah : 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) b. Peluangmunculnyakejadian BdengansyaratkejadianA telahmunculadalah: 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴)

Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dari kotak berturut-turut sebanyak 2 kali tanpa pengembalian, tentukan peluang yang terambil keduanya bola merah.

Jawab : 𝑃 𝐴 = 6 10 ;𝑃 𝐵 𝐴 = 5 9 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 ×𝑃 𝐵 𝐴 = 6 10 × 5 9 = 30 90 = 1 3 Jadi, peluang yang terambilkedua-duanya bola merahtanpapengembalianadalah 1 3

Kejadian SalingBebas Jikaduakejadian A dan B salingbebasstokastik, makapeluangterjadinyakeduakejadiantersebutsecarabersamaanadalah yang dinyatakanoleh𝑃(𝐴∩𝐵), adalah : 𝑃 𝐴∩𝐵 =P A ×𝑃(𝐵)

Contoh : Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11 Contoh : Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola bernomor bilangan kelipatan 4 dan nomor 9 !

Jawab : n(S) = 11 A = Kelipatan 4 = {4, 8} →𝑃 𝐴 = 2 11 B = bola bernomor 9→𝑃 𝐵 = 1 11 𝑃 𝐴∩𝐵 =P A ×𝑃(𝐵) = 2 11 × 1 11 = 2 121

LATIHAN Dari lima buah angka 2, 3, 5, 7, dan 9 akan disusun menjadi suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika : Angka-angka boleh berulang Angka-angka tidak boleh berulang 2. Bila kita perhatikan nomor rumah yang terdiri atas dua angka, tanpa angka nol, maka banyak rumah yang dimaksud dengan nomor ganjil ialah….

3. Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah… 4. Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda?

8. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 6 soal ulangan tetapi soal nomor 1 harus dipilih. Banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah… 9. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah …

10. Dua dadu dilambungkan bersama-sama 10. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 5 adalah…. 11. Sebuah kotak berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Diambil 2 bola sekaligus dari kotak itu. Peluang terambilnya 2 bola hitam adalah… 12. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas suatu huruf dan diikuti dua buah angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor undian ada…

Pada suatu perlombaan renang, peluang A akan menang adalah 2 : 3 dan peluang B akan menang adalah 1 : 4. Tentukan peluang A menang tetapi B kalah ! 14. Jika sebuah dadu dan sekeping uang logam ditos sekali, maka peluang tidak muncul angka dan mata dadu bukan 4 adalah… 15. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Peluang terambilnya karti As atau kartu warna merah adalah…