Mata Kuliah :Teori Bilangan Nama /NIM : Fitri Aisyah (14144100097) Hari Wantoro (14144100095) Siam Tri Khasanah (14144100122) Ambar Retno Mutia (14144100150)

BLOK 1 Induksi Matematika Teorema Binomial

Salah satu metode pembuktian absah dalam matematika INDUKSI MATEMATIKA Salah satu metode pembuktian absah dalam matematika Banyak digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku untuk semua bil.bulat khususnya setiap bil.asli

Langkah Pembuktian Induksi Matematika Misalkan p(n) adalah proporsi / teorema yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli. Tunjukkan bahwa p(1) benar Asumsikan p(n) benar untuk suatu bil.asli n dan tunjukkan p(n + 1) benar Langkah 1 (basis/dasar) Langkah Pembuktian Induksi Matematika Langkah 2 (langkah induktif) Jika Langkah 1 & 2 telah benar dilakukan ,maka dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bil.asli n

Contoh 1 Diketahui 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n+1) Buktikan bahwa kesamaan ini selalu benar untuk setiap bilangan asli n. Jawab : Misalkan p(n) menyatakan 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n+1) Langkah 1 (Basis) : Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar. Untuk n = 1 akan diperoleh : p (1) = (1)(1+1) = 2 Terbukti bahwa p(1) benar. Langkah 2 (Induksi) : Asumsikan bahwa p(n) benar Yaitu 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n+1) benar. Akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu 2 + 4 + 6 + .... + 2n + 2(n+1)= (n+1)(n+2) Ditunjukkan sebagai berikut : 2 + 4 + 6 + .... + 2n + 2(n+1)= (2 + 4 + 6 + .... + 2n ) + (2(n+1) = n(n + 1) + 2(n+1) = n² + n + 2n + 2 = n² + 3n + 2 = (n+1)(n+2) Dari langkah 1 dan 2 disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2 Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) kesamaan ini selalu benar untuk setiap bilangan asli n. Jawab : Misalkan p(n) adalah proporsi / teorema yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli. Langkah 1 (Basis) : Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar. Untuk n = 1 akan diperoleh : p (1) = ½ 1 . (1+1) maka 1 Terbukti p(1) benar. Langkah 2 (Induksi) : Asumsikan bahwa p(n) benar Yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) Akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu : 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = ½(n+1)(n+2) Ditunjukkan sebagai berikut : 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n+1) = ½ n(n+1) + (n+1) = ½ n² + ½ n + n+1 = ½ n² + 1½ n +1 = ½(n+1)(n+2) Dari langkah 1 dan 2 disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Basis untuk induksi tidak harus diambil untuk n = 1, tetapi diambil sesuai dengan permintaan pada proporsi yang ingin dibuktikan. Misalkan ingin dikbuktikan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n≥ k, maka langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematik adalah sebagai berikut : Langkah 1 : ditunjukkan bahwa p(n) benar Langkah 2 : diasumsikan bahwa p(n) benar untuk suatu bilangan asli n≥ k dan ditujukan bahwa p(n+1) benar Selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n≥ k .

Teorema Binomial Teori binomial adalah memberikan bentuk ekspansi dari Kombinasi r objek yang diambil dari n objek diimbalkan dengan C(n,r) atau dan dirumuskan sebagai :

Teorema Binomial Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.

Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a + b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan ilustrasi berikut.

Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)4 Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)4. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan tanda panah. Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor suku-suku ekspansi binomial, maka akan ada 24 = 16 suku ekspansi (a + b)4.

Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4) suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa. Sehingga koefisien dari suku a2b2 adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien dari suku-suku ekspansi (a + b)4 lainnya. Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat tidak negatif.

Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0. Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2n = (1 + 1)n. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh                                                                                                                                Karena 1n – k = 1 dan 1k = 1. Akibatnya,                                                                                                                                                      

Sifat-sifat Koefisien Binomial

TEOREMA PENDUKUNG PENGGUNAA N TEOREMA BINOMIAL :