GEOMETRI M. IKHSAN Oleh: Program Studi Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Universitas Syiah Kuala Darussalam - Banda Aceh 2011 GEOMETRI

Postulat Kesejajaran Euclides GEOMETRI

Postulat Kesejajaran Euclides Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari dua sudut siku, apabila kedua garis tersebut diperpanjang tak terbatas, maka akan berpoto ngan di pihak dimana jumlah kedua sudut dalam sepihaknya kurang dari dua siku. GEOMETRI

Misalkan diketahui garis m, n dan l Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak P1 dan Q2 dimana P1 + Q2 < 180. Apabila m dan n diperpanjang tak terbatas maka m berpotongan dengan n. GEOMETRI

Illustrasi: m n GEOMETRI

l Illustrasi: m n GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1 n 2  Q GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1 n 2  Q GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1  n 2  Q GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1  R n 2  Q GEOMETRI

Teorema Sudut Dalam Berseberangan Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan yang kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar. Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Akan dibuktikan bahwa m // n. GEOMETRI

Illustrasi: m n GEOMETRI

l Illustrasi: m n GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1 n 2  Q GEOMETRI

l Illustrasi: P m  1 n 2  Q GEOMETRI

BUKTI: Andaikan m // n , berarti m berpotongan dengan n. Berdasarkan teorema dalam geometri insiden maka m dan n berpotongan di satu titik misalkan titik R. Perhatikan ΔPQR, Q2 adalah sudut luarnya. Berdasarkan teorema sudut luar, maka mQ2 > mP1 (kontradiksi dengan hipotesis). Oleh karena itu m // n. Terbukti. GEOMETRI

Teorema: (Konvers TSDB) Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis trans- versal, maka sudut dlm berseberangan kongruen. Illustrasi: Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Akan dibuktikan bahwa P1 ≅ Q2. GEOMETRI

m n GEOMETRI

l P m  n  Q GEOMETRI

l P m  1 n 2  Q GEOMETRI

l P m  1  R k n 2  Q GEOMETRI

l P m  1  R k n 2  Q GEOMETRI

BUKTI: Andaikan P1 ≅ Q2, berarti P1 > Q2 atau P1 < Q2. Tanpa mengurangi keumuman bukti, misalkanP1 > Q2. Berdasarkan postulat mengkonstruksi sudut maka terdapat titik R pada daerah P1 sehingga QPR ≅ Q2 (misalkan garis yang melalui titik P dan R adalah k). Berdasarkan teorema sudut dlm berseberangan, maka garis k // n. Karena k ≠ m, maka melalui titik P di luar garis n terdapat dua garis yang sejajar dengan n (kontradiksi dengan Postulat Kesejajaran Euclides). Haruslah  P1 ≅  Q2. Terbukti. GEOMETRI

GEOMETRI 24

Diketahui garis m, n dan l dengan m // n Diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Buktikan bahwa P1 ≅ Q2. l   P m  1  R k n 2  Q GEOMETRI 25

GEOMETRI 26

GEOMETRI 27

2. Geometri Transformasi 28

Geometri Transformasi Geometri Euclides Geometri Analitik Fungsi (Injektif , Surjektif & Bijektif) Pengertian transformasi Pencerminan & Isometri Hasilkali Transformasi Transformasi Balikan Translasi & Rotasi Dila(ta)si GEOMETRI 29

GEOMETRI 30

GEOMETRI 31

SEKIAN TERIMA KASIH GEOMETRI 32