DegenerasY KASUS KHUSUS PROGRAM LINEAR Choirudin, M.Pd Materi 8

KASUS KHUSUS PROGRAM LINEAR (1). SOLUSI OPTIMUM GANDA Jika fungsi tujuan sejajar dengan fungsi kendala, maka akan terjadi nilai optimum yang sama pada lebih dari satu titik solusi. Keadaan ini dinamakan “Optimum Ganda” atau “Optimum Alternatif”. Contoh: 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2 X1 + 4 X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. X1 + 2 X2  5 2.2. X1 + X2  4 X1 , X2  0

Penyelesaian : 1. Metode Grafik X2 X1 + 2 X2  5 A X1 + X2  4 B O C X1 ZC ZA dan ZB

b). Titik A(0,5/2): ZA = 2(0) + 4(5/2) = 10 a). Titik O(0,0) : ZA = 0 b). Titik A(0,5/2): ZA = 2(0) + 4(5/2) = 10 c). Titik B(3,1) : ZB = 2(3) + 4(1) = 10 d). Titik C(5,0) : ZC = 2(4) + 4(0) = 8 2. Metode Simpleks : ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Variabel X1 X2 S1 S2 NK Indeks Dasar ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Z -2 -4 0 0 0 S1 1 2 1 0 5 5/2 S2 1 1 0 1 4 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Variabel X1 X2 S1 S2 NK Indeks Dasar ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Z 0 0 2 0 10 X2 1/2 1 1/2 0 5/2 5 S2 1/2 0 -1/2 1 3/2 3 X2 0 1 1 0 1 X1 1 0 -1 2 3 Alternatif Optimal : 1). X1 = 0; X2 = 5/2; Zmaks.= 10. 2). X1 = 3; X2 = 1; Zmaks.= 10

(2). SOLUSI TAK TERBATAS Pada beberapa model PL, nilai variabel mungkin bertambah tak terbatas tanpa menyimpang dari kendala, berarti bahwa ruang solusi menjadi tak terbatas sekurang-kurangnya pada satu arah. Akibatnya, nilai fungsi tujuan dapat bertambah tanpa pernah mencapai batas fungsi kendala. Dalam keada- an ini dikatakan bahwa baik ruang solusi maupun nilai tujuan optimum adalah tak terbatas. Contoh : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2X1 + X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. X1 - X2  10 2.2. 2X1  40 X1 , X2 0

Penyelesaian : 1. Metode Grafik : X2 Ruang Solusi Tak Terbatas X1 – X2 10 2X1 40 X1

Variabel X1 X2 S1 S2 NK Indeks (2). Metode Simpleks : _______________________________________________________________________ Variabel X1 X2 S1 S2 NK Indeks Dasar ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Z -2 -1 0 0 0 S2 1 -1 1 0 10 10 S2 2 0 0 1 40 20 Z 0 0 2 0 20 X1 0 -1 1 0 10 - S1 1 1 -1 1 30 30 Z 3 0 1 3 110 X1 0 0 0 1 30 - X2 1 1 -1 1 30 -

(3). DEGENERASI Dalam penerapan feasibility condition, jika terdapat rasio minimum kembar, maka pemilihan leaving variabel dilaku- kan secara sembarang. Jika ini terjadi, satu atau lebih variabel dasar akan sama dengan nol pada iterasi berikutnya Dalam kasus ini, solusi mengalami “DEGENERASI”. Berdasarkan pengalaman, degenerasi muncul jika model memiliki sekurang-kurangnya sebuah kendala yang berlebih- an. Celakanya, tidak ada teknik untuk mengalokasikan secara langsung dari fungsi kendala mana yang berlebih.

Contoh 1 : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3 X1 + 9 X2 2 Contoh 1 : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3 X1 + 9 X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. X1 + 4X2  8 2.2. X1 + 2X2  4 X1 X2  0 X1 3 X1 + 9 X2 Penyelesaian : (1). Metode Grafik X1 + 4X2  8 X1 + 2X2  4 X2

____________________________________________________________________ (2). Metode Simpleks : ____________________________________________________________________ Variabel X1 X2 S1 S2 NK Indeks Dasar ------------------------------------------------------------------------------------------------- Z -3 -9 0 0 0 S1 1 4 1 0 8 2 S2 1 2 0 1 4 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------- Z -3/4 0 9/4 0 18 X2 1/4 1 1/4 0 2 8 S2 1/2 0 -1/2 1 0 0 Z 0 0 3/2 3/2 18 X2 0 1 1/2 -1/2 2 X1 1 0 -1 2 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Degenerasi memiliki dua pengaruh : (1) Degenerasi memiliki dua pengaruh : (1). Peristiwa cycling, yaitu tidak terjadi perbaikan nilai solusi meskipun iterasi terus terjadi. (2). Dalam iterasi 1 dan 2, meskipun klasifikasi var. dasar dan non dasar berbeda, akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang sama. Berdasarkan gagasan ini timbul kemungkinan untuk menghentikan perhitungan pada iterasi 1 (ketika gene- rasi pertama muncul), bahkan meskipun pada iterasi itu belum optimum. Kita akan membantah gagasan ini dengan melihat contoh berikut ini.

Contoh 2 : (1). Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3 X1 + 2 X2 (2) Contoh 2 : (1). Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3 X1 + 2 X2 (2). Fungsi Kendala : 2.1. 4 X1 + 3 X2  12 2.2. 4 X1 + X2  8 2.3. 4 X1 - X2  8 X1 , X2  0

Penyelesaian : (1). Metode Grafik X2 4X1- X2  8 4X1+X2  8 4X1+3X2 12 Z=3X1+2X2 X1

(2). Metode Simpleks : --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Z -3 -2 0 0 0 0 S1 4 3 1 0 0 12 3 S2 4 1 0 1 0 8 2 S3 4 -1 0 0 1 8 2 Z 0 -5/4 0 3/4 0 6 S1 0 2 1 -1 0 4 2 X2 1 1/4 0 1/4 0 2 8 S3 0 -2 0 -1 1 0 - Z 0 0 5/8 1/8 0 17/2 X2 0 1 1/2 -1/2 0 2 X2 1 0 -1/8 3/8 0 3/2

Pada contoh 2 ini, degenerasi muncul pada iterasi 1 Pada contoh 2 ini, degenerasi muncul pada iterasi 1. Perhatikan bahwa pada iterasi kedua, degenerasi tidak terlihat dan nilai fungsi tujuan berubah dari 6 menjadi 17/2. Kesimpulan dari kedua contoh ini adalah bhw iterasi simpleks harus diteruskan sampai iterasi terakhir yang memenuhi optimality condition. Disamping NK minimum kembar, dapat pula terjadi koefisien pada persamaan Z yang kembar dalam apli- kasi optimality condition. Dlm hal ini entering var. dipilih secara sembarang di antara nilai kembar itu. Tidak ada pilihan yg salah, meskipun pemilihan adalah satu var dapat mengakibatkan iterasi yg lebih banyak.

Latihan 1 : (1). Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 5 X1 + 8 X2 (2) Latihan 1 : (1). Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 5 X1 + 8 X2 (2). Fungsi Kendala : 2.1. 4 X1 + 6 X2  24 2.2. 2 X1 + X2  18 2.3. 3 X1 + 9 X2  36 X1 , X2  0 Tentukan bahwa fungsi tersebut adalah Degeneracy!

PENAFSIRAN TABEL SIMPLEKS Banyak masalah-maslah dlm praktek yg dirumuskan sebagai PL menggunakan ratusan kendala dan ribuan variabel keputusan. Menjadi tidak perlu menyelesaikan masalah PL itu dengan perhitungan tangan, sebagai gantinya digunakan komputer. Dalam penyelesaian model PL, akan terasa bahwa banyak waktu yg diper- lukan utk pembentukan model, pengumpulan data dan menyiapkan input utk dicocokan dengan kode kompu- ter. Jika ini telah dilakukan, komputer akan mengambil alih dan memberikan solusi optimal.

Tabel simplek optimum bukan sekedar suatu daftar variabel dan nilai optimumnya, tetapi ia dipenuhi dgn informasi-informasi, termasuk nilai optimum variabel- variabel. Informasi yang dapat diperoleh dari Tabel simpleks baik secara langsung maupun dgn tambahan perhitungan sederhana adalah : (1). Solusi Optimum. (2). Keadaan Sumberdaya. (3). Sumbangan per unit Sumberdaya. (4). Kepekaan solusi optimum terhadap perubahan tersedianya sumberdaya, koefisien fungsi tujuan, dan konsumsi sumberdaya oleh setiap kegiatan.

(1). SOLUSI OPTIMUM 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Profit : Z = 3X1 + 2X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. Tenaga Kerja : X1 + X2  15 2.2. Kayu : 2X1 + X2  28 2.3. Paku : X1 + 2X2  20 X1 , X2  0 dimana : X1 , X2 adalah jumlah produksi kursi dan meja.

Tabel Simpleks Optimum : --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 0 0 1 1 0 43 X2 0 1 2 -1 0 2 X1 1 0 -1 1 0 13 S3 0 0 -3 1 1 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Var. Keputusan Nilai Optimum Keputusan X1 13 Kursi = 13 X2 2 Meja = 2 Z 43 Profit = 43

(2). Keadaan Sumberdaya : Kendala digolongkan dua, yaitu langka dan ber- lebihan, tergantung solusi optimal mengkonsumsi seluruh ketersediaan (kapasitas) sumberdaya yang bersangkutan. Berbicara sumberdaya secara tidak langsung menyatakan bahwa ada suatu pembatas maksimum ketersediaannya yang berarti bahwa kendala harus berjenis, sehingga kendala jenis bukan menunjukkan suatu pembatas sumberdaya, tetapi mereka lebih menyatakan bahwa solusi hrs memenuhi kebutuhan tertentu, seperti kepuasan minimum dan permintaan minimum.

Keadaan sumberdaya (langka atau berlebihan) pada setiap model PL dapat ditentukan secara langsung dari Tabel Optimum dengan mengamati nilai variabel slack, sebagai berikut : Sumberdaya Slack Var. Keadaan Sumberdaya Tenaga Kerja S1= 0 Langka Kayu S2= 0 Langka Paku S3= 1 Berlebih Suatu slack var positif berarti sumberdaya tdk diguna- kan seluruhnya (berlebih), sedangan slack var = 0 me- nunjukkan seluruh jlh sumberdaya dikonsumsi oleh kegiatan-kegiatan dalam model.

Dari hasil solusi optimum menunjukkan sumberdaya ketiga (S3), yaitu paku berlebih, artinya penambahan paku hanya membuat paku makin berlebihan tanpa memperbaiki solusi optimum. Peningkatan jumlah tenaga kerja dan kayu akan memperbaiki solusi opti- mum karena masih langka. (3). Sumbangan per Unit Sumberdaya Sumbangan sumberdaya per unit adalah tingkat per- baikan dalam nilai optimum sebagai akibat kenaikan jumlah ketersediaan sumberdaya tersebut. Hal ini dpt dilihat dari koefisien persamaan Z dibawah var dasar awal (S1, S2, dan S3) seperti berikut ini.

Koefisien sebesar 1, artinya jika sumberdaya ditambah -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Z 0 0 1 1 0 43 Koefisien sebesar 1, artinya jika sumberdaya ditambah 1 unit maka nilai fungsi tujuan bertambah 1. Koefisien sebesar 0, artinya jika sumberdaya ditambah maka nilai fungsi tujuan tidak akan berubah (karena sumber- daya yang digunakan berlebih). Nilai-nilai tersebut di- sebut dengan “Shadow Price”. Shadow Price adalah sumbangan dari perubahan satu unit sumberdaya ter- hadap fungsi tujuan.