Gelombang EM

Review Singkat Calculus Vector

Daftar Isi A. Berbagai Bentuk Perumusan Persamaan Maxwell dalam Berbagai Situasi: Dalam vakum Dalam vakum bebas sumber Dalam Medium Dalam Medium Non Konduktif/Dielektrik Bebas sumber Dalam Medium Konduktif B. Persamaan Gelombang dalam Berbagai Situasi dan Solusinya C. Polarisasi D. Persamaan Kontinuitas & Hukum Kekekalan Muatan E. Gelombang DI Perbatasan Medium F. Gelombang di Medium Konduktif

Persamaan Maxwell dalam Vakum Terjadinya gelombang EM: Muatan listrik dipercepat/diperlambat Perpindahan orbital elektron Persamaan Maxwell untuk medan listrik dan magnet (sistem SI, ruang hampa): Hukum Gauss, ρ : rapat muatan Hukum Faraday-Lenz Tidak ada monopol (Hukum Gauss Magnetik) Hukum Ampere – Maxwell, J rapat arus

Persamaan Maxwell dalam Vakum dan Bebas Sumber Jikalau tak ada sumber muatan ρ=0 atau arus J=0, maka : Hukum Gauss, tanpa sumber muatan Hukum Faraday-Lenz Tidak ada monopol (Hukum Gauss Magnetik) Hukum Ampere – Maxwell, tanpa sumber arus J

Persamaan Maxwell Dalam Bahan Di dalam bahan, maka pers. Maxwell tsb dilengkapi dengan hubungan konstitutif : D : medan perpindahan, P : polarisasi (momen dipol listrik/volum), untuk bahan linear maka: Sehingga : Dengan ε=(1+ χe ) ε0 permitivitas bahan. Untuk medan magnet B dikaitkan dengan magnetisasi M melalui :

Persamaan Maxwell dalam Bahan Untuk bahan linear isotropis maka: Sehingga dengan µ=(1+ χm ) µ0 permeabilitas bahan, maka Pers. Maxwell dalam medium/bahan: Suku ∂D/ ∂t :arus perpindahan J : arus bebas

Persamaan Kontinuitas dan Kekekalan Muatan Tinjau suatu volume V, yang dibatasi permukaan tertutup S. Suatu saat mengandung total muatan listrik Q di dalamnya. Jika rapat arus per satuan luas yang menembus keluar S adalah J, maka jika dalam volum V tak ada sumber muatan atau sumur muatan: Permukaan:S J: rapat arus Muatan:Q Volume:V Laju pengurangan muatan Q dalam volume V persatuan waktu Laju muatan yang keluar dari permukaan S persatuan waktu = Dengan rapat muatan/volum ρ, maka: dan dengan teorema Gauss: dikenal sbg pers. Kontinuitas

Persamaan Gelombang EM di Vakum Tanpa Sumber Persamaan gelombang EM dalam vakum, diperoleh sbb: Memakai identitas : Maka: Dalam vakum (tak ada muatan dan arus bebas):

Persamaan Gelombang EM di Vakum Tanpa Sumber Sehingga dengan c2 =1/µ0ε0 Dengan cara analog diperoleh bagi medan B persamaan yg serupa:

Pers. Gelombang EM dalam Bahan Non Konduktif (dielektrik) Dalam bahan non konduktif maka sumber arus bebas tak ada, tetapi muatan bebas masih mungkin: Memakai persamaan Maxwell: Jikalau : tak ada muatan bebas ρ=0, dan medium homogen ε = konstan, tak ada arus bebas (non konduktif) J=0, serta medium homogen µ=konstan, maka pers Maxwell di atas dapat ditulis ulang:

Pers. Gelombang EM dalam Bahan Non Konduktif/dielektrik Bebas Sumber Pers. Gelombang EM dalam medium non Konduktif homogen (secara listrik dan magnet): Dengan v2 = 1/µε. Salah satu dari pers. Di dapat solusinya maka solusi bagi medan yg lainnya langsung diperoleh melalui hubungan di pers. Maxwell. Misal, E diperoleh, maka H di dapat dari:

Solusi Pers. Gel. EM Tanpa Sumber di Ruang Hampa Solusi umum yang berupa gelombang datar (plane wave) dapat diungkapkan sbb: E(r,t)= E0 f(ωt-k.r) B(r,t)= B0 f(ωt-k.r) Dengan f(r,t) tsb adalah fungsi yang memiliki turunan hingga order 2 thd r dan t, serta berkelakuan “baik”. Salah satu contoh paling sederhana dari solusi tersebut adalah : gel datar monokromatis dg amplitudo tetap: E(r,t)= E0 sin(ωt-k.r) B(r,t)= B0 sin(ωt-k.r), atau E(r,t)= E0 cos(ωt-k.r) B(r,t)= B0 cos(ωt-k.r), atau E(r,t)= E0 exp i(ωt-k.r) B(r,t)= B0 exp i(ωt-k.r)

Muka Gelombang Datar/ Plane Wave Dengan E0 dan B0 adalah amplitudo berupa vektor konstan, k: vektor propagasi gelombang. Muka gelombang suatu -saat diberikan oleh k.r, jika k.r= konstan maka posisi r akan berada di bidang datar tegak lurus k. k r k.r

Hubungan E dan B serta k Misal kita pakai : E(r,t)= E0 exp i(ωt-k.r) dan B(r,t)= B0 exp i(ωt-k.r) Hubungan E dan B dapat diperoleh dari pers. Maxwell: dengan dan Maka: atau atau Dengan ω= kc (perhatikan hubungan arah k,B dan E.

Hubungan E,B dan k Ungkapan terakhir dapat dibuktikan Dari identitas vector triple product: Maka dapat diolah berbagai ungkapan: ambil k x (…..) akan diperoleh

Hubungan E dan B Dari pers Maxwell (tanpa sumber) Maka diperoleh hubungan : Sehingga E ortogonal ke k. Bisa dibuktikan juga dalam kasus ini B juga ortogonal ke k, sehingga E, B dan k saling ortogonal. Dari hubungan Dan identitas ax(bxc)= b(a.c)-c(a.b), diperoleh

Hubungan arah-arah E,B dan k Hubungan arah-arah E,B dan k mengikuti kaidah tangan kanan k B

Polarisasi Gelombang Transversal Bentuk Umum Transversally Polarized Harmonic Plane Wave yg menjalar ke arah x3: Besaran E01 dan E01 adalah real, arah jalar x3. Karakteristik polarisasi ditentukan oleh : Perbandingan amplitudo E01/E02 Selisih fase antara kedua amplitudo tsb : = 2-1 Kasus 1: Polarisasi Linear Jika =0 atau ±π, E02/E01 sembarang, maka amplitudo gelombang:

Polarisasi Linear Kasus 1: Polarisasi Linear Medan B diperoleh dari hubungan: x3 E02 x2 E01 x1 α Tanα=E02/E01

Polarisasi Lingkaran Kasus 2: Polarisasi Lingkaran Jika = ±π/2, E02=E01 =E0, maka amplitudonya menjadi: Ungkapan lengkap fungsi gelombangnya: Untuk mempelajari pola osilasinya, ambil bagian realnya, misal untuk x3=0 fasor berotasi counterclockwise fasor berotasi clockwise

Polarisasi Lingkaran t x2 x1 E+ E-

Polarisasi Elliptik Jika , E1 dan E2 sembarang. Maka akan dihasilkan polarisasi eliptik. Misal x3=0, maka: Dengan Dapat diperoleh:

Polarisasi Elliptik Persamaan ini adalah pers. Ellips dengan sumbunya miring! E1 E01 -E02 -E01 α E2 E02

Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers. Gelombang EM dalam Bahan Non Konduktif Analog dengan solusi umum per gel EM di vakum, untuk bahan non konduktif tanpa sumber, solusinya serupa. Solusi umum yang berupa gelombang datar (plane wave) dapat diungkapkan sbb: E(r,t)= E0 f(ωt-k.r) H(r,t)= H0 f(ωt-k.r) Dengan f(r,t) tsb adalah fungsi yang memiliki turunan kedua dan berkelakuan baik. Hubungan yg kita turunkan untuk E dan B juga berlaku untuk E dan H dalam kasus ini:

Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers. Gelombang EM dalam Bahan Non Konduktif Misal solusi plane wave monokromatis yg kita pakai: E(r,t)= E0 expi(ωt-k.r) dan H(r,t)= H0 expi(ωt-k.r) Maka: Spt sebelumnya: Dan Sehingga: Tetapi dlm hal ini berlaku juga ω=kv, where v=1/√µε, sehingga: , sehin

Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers Solusi Gelombang Datar Harmonis Bagi Pers. Gelombang EM dalam Bahan Non Konduktif Dalam bahan non konduktif ( ε,µ≠0 , σ=0) , misal solusinya berupa monochromatic plane wave yg menjalar arah Z. Berarti medan E dan H bukan fungsi x dan y, jadi E=E(z,t) dan H=H(z,t) serta k arah Z. Misalkan polarisasi gel E adalah arah x , maka: Ey dan Ez =0. Ungkapan bagi medan H dapat diperoleh dari dapat langsung diperoleh dari :

Rapat Arus Energi dan Vektor Poynting Dari pelajaran EM telah dijelaskan dalam medan setiap ruang yang mengandung medan E dan B maka akan terdapat rapat energi medan EM persatuan volume sebesar: Untuk medium linear isotropis akan menjadi: Dan bilamana gel. Berupa gel. Datar harmonis dalam medium linear isotropis maka ada hubungan sederhana antara B dan E:

Rapat Arus Energi dan Vektor Poynting Dalam ruang bebas sumber,laju perubahan kerapatan energinya diberikan oleh: Dengan bantuan pers Maxwell dpt ditulis ulang menjadi: Besaran ExH didefinisikan sebagai vektor Poynting N = ExH, yang menyatakan rapat arus energi persatuan luas yang menembus permukaan persatuan waktu. Sehingga diperoleh hubungan yg dikenal sebagai pers. Kontinuitas:

Rapat Arus Energi dan Vektor Poynting Arti fisis N menjadi lebih jelas dalam bentuk integralnya: Telah dipakai teorema div. Gauss, dan U menyatakan total energi dalam volum V. Ruas kiri menyatakan laju perubahan energi total dalam volum V, sedangkan ruas kanan menyatakan (-) total energi yang keluar per satuan waktu melalui permukaan S yang menyelubungi V. Jadi vektor Poynting N adalah rapat arus energi persatuan luas yang lewat titik tertentu.

Rapat Arus Energi dan Vektor Poynting Bagi gelombang datar harmonis, maka ungkapan N dapat disederhanakan menjadi : Seringkali kita lebih tertarik pada nilai rata-rata thd waktu, yg diberikan oleh Dengan H* adalah komplek konjugate dari H. Untuk gel. Datar harmonis ungkapan rata-rata di atas dapat disederhanakan menjadi: Perhatikan hilangnya tanda <> di ruas kanan! Bahkan kalau gel non monokromatispun, bentuk rata-rata ini masih berlaku baik.

Impedansi Gelombang Mengambil analogi di rangkaian listrik dan analisa dimensionalitas, kita tahu dimensi [E ]= volt/m dan [H] = amp/m. Sehingga impedansi karakteristik gel. EM (Z) dapat didefinisikan menurut : Untuk ruang hampa, impedansinya η0 ≈ 377 ohm.

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium Hukum Arah Pembiasan dan Pemantulan. Tinjau gel. Datar monokromatis terpolarisasi linear yang datang dari satu medium dielektrik homogen (µ1 ε1 ) ke medium yang lain (µ2 ε2) o E1 H1 k1 E’1 H’1 k’1 E2 H2 k2 µ2 ε2 µ1 ε1 Θ’1 θ1 θ2

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium Misal Gel. Datang adalah gel datar, Maka gel. Pantul dan biasnya berbentuk serupa: Di perbatasan haruslah dipenuhi syarat kontinuitas di setiap titik dan tiap saat.

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium Di perbatasan medium: medan incidence + medan reflected= medan transmitted 1. Kontinuitas thd waktu (t) akan mengharuskan : ω1 = ω’1 = ω2 = ω 2. Kontinuitas di tiap titik berarti untuk tiap titik di perbatasan r, berlaku: Pers. Ini berarti : (i) Bidang datang = bidang pantul = bidang bias (ii) k1 sin θ1 = k’1 sin θ’1 = k2 sin θ2 (lihat gbr sblmnya) Konsekuensinya dengan kn = ω/vn dan definisi indeks bisa medium n = c/vn maka a. k1 = k’1 maka θ1 = θ’1  sudut datang = sudut pantul b. k1 sin θ1 = k2 sin θ2  n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (hukum Snell)

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium Di perbatasan medium: medan incidence + medan reflected= medan transmitted 1. Kontinuitas thd waktu (t) akan mengharuskan : ω1 = ω’1 = ω2 = ω 2. Kontinuitas di tiap titik berarti untuk tiap titik di perbatasan r, berlaku: Pers. Ini berarti : (i) Bidang datang = bidang pantul = bidang bias (ii) k1 sin θ1 = k’1 sin θ’1 = k2 sin θ2 (lihat gbr sblmnya) Konsekuensinya dengan kn = ω/vn dan definisi indeks bisa medium n = c/vn maka a. k1 = k’1 maka θ1 = θ’1  sudut datang = sudut pantul k1 sin θ1 = k2 sin θ2  n1 sin θ1 = n2 sin θ2  (hukum Snell)

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium 2. Hubungan Antar Medan di Perbatasan Diperbatasan : Komponen tangensial medan datang + medan pantul = medan bias Tinjau kasus TM (Transverse Magnetik) yaitu medan H tegak lurus bidang datang (lih gbr sblmnya). Maka: H1 + H’1 = H2 (E1 - E’1 )cosθ1 = E2 cosθ2 Pers. (i) dapat diubah ke E sebab H= √(ε/µ)E, kemudian dengan pertolongan hukum Snell, menjadi : (ia) ε1 (E1 + E’1 ) sin θ1 = ε2 sin θ2 Pers (ii) dan (ia) ini memberikan hubungan antara amplitudo medan-medan di perbatasan. ‘

Koefisien Refleksi dan TRansmisi Koefisien refleksi didefinisikan sbg: (eliminasi E2 ): Koefisien transmisi didefinisikan sbg: (eliminasi E’1 ): Untuk bahan dielektrik non magnetik µ1 ≈ µ2 ≈ µ0, sehingga dengan bantuan hukum Snell : sin θ1 /sin θ2 = √ε2 / √ε1 Bentuk rTM dan tTM di atas dapat disederhanakan:

Koefisien Refleksi dan TRansmisi Koefisien transmisi menjadi: Sedang koefisien refleksi menjadi: Alternative lain menuliskan hasil terakhir ini adalah dengan bantuan hukum Snell : n1 sinθ1 = n2 sinθ2 dapat dituliskan sbb:

Refleksi dan Transmisi di Perbatasan Medium Kasus TE Tinjau gel. Datar monokromatis terpolarisasi linear yang datang dari satu medium dielektrik homogen (µ1 ε1 ) ke medium yang lain (µ2 ε2) o H1 E1 k1 E’1 H’1 k’1 E2 H2 k2 µ2 ε2 µ1 ε1 Θ’1 θ1 θ2

Koefisien Refleksi dan TRansmisi Untuk kasus bahan dielektrik non magnetik koefisien transmisi dan refleksi dapat didekati oleh: Bagaimanakah bentuk koefisien refleksi dan transmisi untuk medan H? Bagaimanakah bila gel datang tidak TE maupun TM, tetapi terpolarisasi linear arah sembarang? Bilamana gel. Datang bukan TE ataupun TM, maka gel. Tsb di uraikan menjadi Menjadi komponen TE dan TM selanjutnya diterapkan koefisien refleksi dan transmisi tsb di atas untuk mendapatkan E’1 , E2 dan memungkinkan menghitung koefisien refleksi dan transmsisi totalnya.

Koefisien Refleksi dan Transmisi: Kasus Normal Incidece Jikalau gel datang tegak lurus bidang batas, maka θ1 =θ’1 = θ2 = 0, sehingga bentuk koefisien refleksi dan transmisi menjadi lebih sederhana lagi. Dapat dibuktikan dalam hal ini berlaku hubungan : tTE = 1+ rTE tTM = 1+ (-rTM )

Rapat Arus Energi di Perbatasan Sebelumnya telah ditunjukkan untuk gel datar berlaku nilai rata-rata rapat arus energi diberikan oleh: Atau dengan mengingat hubungan medan E da H dalam gel. Datar: Secara umum vektor k membentuk sudut thd bidang batas, sehingga harga rata-rata rapat arus energi yg menembus bidang batas diberikan oleh komponen normalnya N = E.n sehingga diperoleh:

Rapat Arus Energi di Perbatasan Memakai hal ini dapat didefinisikan koefisien reflektansi (R )dan transmitansi (T) : Pada langkah terakhir untuk definisi T telah dipakai aproksimasi bahan dielektrik non magnetik. Rumus R dan T tsb di atas harus diterapkan terpisah untuk masing-masing komponen TE dan TM sesuai dengan nilai r dan t terkait. Untuk masing-masing kasus tsb dipenuhi hub. Kekekalan energi: R + T =1

Kasus-Kasus Istimewa : Pemantulan Internal Total Jika n1 > n2 medium 1 lebih rapat dibandingkan yang pertama, maka pembiasan dengan sudut θ2 = π/2 akan terjadi pada sudut datag kritis Pada kondisi ini, jelas berlaku rTM = rTE =1 sehingga R=1 dan T=0 baik untuk TE maupun TM. Apa yg terjadi jika sudut datang θ1 >θc ? Kita definisikan n=n2 /n1 < 1. Maka koefisien refleksi dapat dituliskan menjadi:

Kasus-Kasus Istimewa : Pemantulan Internal Total Karena θ1 > θc maka sin θ1 >n sehingga, koefisien refleksi menjadi bilangan kompleks, sehingga bisa ditulis ulang: -  Z1 Z2

Kasus-Kasus Istimewa : Pemantulan Internal Total Dengan perubahan fase krn pantulan ϕ adalah: Terlihat bahwa secara umum berlaku R=|r|2 =1, jadi T=0 tidak ada energi yang diteruskan, maka disebut pemantualn internal total.

Kasus-Kasus Istimewa : Pemantulan Internal Total Analisa lebih detail akan menunjukkan dalam kasus pemantulan internal total, terjadi gelombang evanescent di perbatasan. Hal lain adalah komponen TE dan TM mengalami pergeseran fase yg berbeda, sehingga terjadi selisih fase antara kedua komponen tsb sebesar: Jadi selisih pergeseran fase bisa diatur melalui n dan θ1 sehingga melalui peristiwa ini dapat mengubah polarisasi gel datang. Pelajari : Fresnel Rhomb.

Kasus-Kasus Istimewa : Pemantulan Internal Total Selisih perubahan fase selalu terjadi pada pemantulan eksternal (n1 < n2 dan: rTE < 0 rTM >0, untuk θ1 < θB = tan-1 (n2 /n1) , berarti δϕ = π rTE <0 rTM <0, θ1 > θB berarti δϕ = 0 Tetapi berbeda dg kasus pemantulan internal, pemantulan eksternal tidak pernah bersifat total dan δϕ tak bergantung n2 /n1

Gelombang Datar Di Dalam Medium Konduktif Di dalam medium konduktif yang bebas sumber muatan maka ρ=0, tetapi arus J masih bisa terjadi bilamana ada medan E eskternal. Maka persamaan gelombangnya sedikit berbeda: Jikalau medium bersifat ohmik, maka berlaku J = σE Dimana σ adalah kondutivitas listrik medium. Sehingga pers gelombangnya menjadi:

Kasus-Kasus Istimewa : Sudut Brewster Dari rumus rTM terlihat bahwa untuk gelombang TM, rTM=0, jikalau 1+ 2=π/2 Rumus Snellius memberikan, kondisi ini berarti: Syarat rTM=0 adalah tan (1)=n, sudut ini disebut sudut Brewster. Contoh: Medium 1 udara, n1=1, dan medium kedua adalah gelas, n2=1,5. Maka sudut Brewster B= arctan(1,5)=57 Jadi jika gelombang polarisasi campuran dari udara masuk ke gelas ini dengan sudut 57, maka gelombang pantulnya tidak mengandung komponen TM. Akibatnya gelombang pantul mengalami penurunan intensitas yg drastis.

Contoh Memanfaatkan Sudut Brewster ETM ETE n1 n2

Gelombang Datar Di Dalam Medium Konduktif Tinjau solusi gel. Datar : Substitusi ke pers. Gel. Menghasilkan hubungan: Dengan k2 = ω2 µε = ω2 /v2 Besaran K yg bersifat kompleks dapat dituliskan sbg: K = α+iβ, sehingga: Sehingga nilai α dan β dapat dipecahkan:

Gelombang Datar Di Dalam Medium Konduktif Pada frekuensi rendah (<< frek optik), komponen arus konduktif >> arus perpindahan. Atau σ/ωε>>1, maka aproksimasi dapat dilakukan: Sehingga dalam hal ini: Konstanta δ yg memiliki dimensi panjang disebut skin depth yg menyatakan kedalaman karakteristik penetrasi ke konduktor. Untuk perak σ=6x107 mho/m, untuk gel dg frek ω=2π1010 hz maka δ≈ 0,6 µm.

Gelombang Datar Di Dalam Medium Konduktif Misal gel. Transversal yg merambat arah z Atau: Dan Terlihat amplitudo gel merambat arah Z mengalami atenuasi dengan panjang karakteristik δ. Adanya faktor pengali kompleks (1-i) di ungkapan B di atas menyatakan bahwa ada selisih fasa antara E dan B. Implikasinya vektor Poyntingnya menjadi: unt kasus σ/ωε>>1 menjadi

Pemantulan Di Dalam Medium Konduktif Serupa dg dielektrik, gel. Datar di medium konduktif dpt diuangkapkan sbg: Yaitu real k berubah menjadi vektor kompleks κ. Memakai hubungan k2 =(ω/v)2 = n2 (ω/c)2 , kita dpt mendefinisikan indeks bias kompleks dg cara serupa: dengan hubungan yg harus dipenuhi adalah: Dapat diturunkan hubungan n, n’ dengan α dan β: Dan pers. Gelombangnya dpt dituliskan sbb: