ALAT-ALAT MANAJEMEN (2) Statistik

Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi adalah tabel dimana data berupa nilai-nilai/angka-angka dari suatu variabel (tinggi badan, volume penjualan dsb) dikelompokkan ke dalam kelas-kelas dan banyaknya angka atau frekuensi angka dalam masing-masing kelompok atau kelas tersebut dicatat. Distribusi frekuensi dikelompokkan menurut angka (kuantitatif) dan distribusi menurut kategori (kualitatif).

Kelas Mengidentifikasi kelompok data yang mencakup angka dari suatu angka sampai ke angka lain dalam suatu interval secara konsisten. Misal kelas dari 50 – 59, 60 – 69 dsb.

Frekuensi Kelas (f ) Mengindikasikan banyaknya angka observasi di setiap kelas dalam suatu distribusi frekuensi

Batas Kelas Adalah angka-angka tertentu yang merupakan skala ukuran yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain.

Interval Kelas Mengindikasikan range (jarak tertentu) angka- angka yang tercakup dalam setiap kelas.

Titik tengah Kelas Merupakan angka yang membagi kelompok data dalam setiap kelas menjadi dua bagian yang simetris (sama banyak)

Tabel Distribusi Frekuensi Prosedur penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sbb : Menyusun array data dengan metode stem and leaf Pedoman untuk menentukan banyaknya kelas (dengan rumus Sturges) : K = 1 + 3,322 log n Dimana : K = banyaknya kelas n = banyaknya frekuensi/jumlah keseluruhan data i = interval kelas ( i = range / K) Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi Menghitung frekuensi masing-masing kelas Menyajikan data dalam bentuk grafik : histogram, polygon, distribusi frekuensi kumulatif, distribusi frekuensi relatif (dan kumulatifnya)

Contoh Berikut adalah data tentang banyaknya konsumen yang makan malam di suatu restoran kecil yang diambil dalam 50 hari yang dipilih secara random : 20 11 12 16 9 12 30 10 23 7 16 25 5 20 12 18 7 14 4 24 10 27 17 19 6 11 20 27 22 10 16 21 19 20 14 24 16 15 22 18 8 14 23 8 12 6 13

Contoh jika data tersebut disusun dengan metode stem and leaf, maka akan menjadi sebagai berikut : 1 2 3 6 7 8 5 4 8 6 9 7 2 6 8 0 4 5 1 0 1 6 2 0 4 6 8 2 6 7 9 6 2 4 9 6 4 3 0 4 3 5 4 2 7 0 1 3 0 7 2 0

Contoh jika data tersebut disusun ulang (diurutkan dari kecil ke besar), maka akan seperti berikut : 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 0 0 0 1 1 2 2 2 2 3 4 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6 7 8 8 9 9 0 0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 7 7

Contoh Jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, maka : Banyaknya kelas yang dibuat adalah : K = 1 + 3,322 log 50 banyaknya data = 1 + 3,322 (1,698970004) = 6,64 atau = 6 tidak harus persis (menurut Kenkel sebaiknya banyaknya kelas dalam suatu distribusi frekuensi paling sedikit 5 dan paling banyak 20 kelas) Interval kelasnya adalah : i = (30 – 4) / 6 = 4,5 atau = 5 dimana : 30 = angka terbesar 4 = angka terkecil 6 = banyaknya kelas

Tabel distribusi frekuensi Kelas (banyaknya konsumen) Frekuensi ( f ) Titik tengah kelas ( M ) 1 - 5 2 3 6 - 10 10 8 11 - 15 12 13 16 - 20 15 18 21 - 25 23 26 - 30 28

Histogram

Polygon

Pie Chart

Distribusi Frekuensi Relatif Adalah proporsi (%) dari masing-masing frekuensi tiap kelas yang dihitung dari frekuensi total (frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi seluruh kelas)

Distribusi Frekuensi Kumulatif Mengidentifikasi jumlah kumulatif observasi di bawah dari kelas yang berada di atasnya dari setiap kelas yang ada dalam sebuah distribusi frekuensi

Tabel Distribusi Frekuensi Kelas ( f ) (M) f x M Frek. Relatif Frek. Kumulatif   1 - 5 2 3 6 0.04 6 - 10 10 8 80 0.2 0.24 11 - 15 12 13 156 0.48 16 - 20 15 18 270 0.3 0.78 21 - 25 23 184 0.16 0.94 26 - 30 28 84 0.06 1 50 780

Nilai Sentral Nilai sentral adalah suatu data (angka) yang dapat mewakili suatu kumpulan data. Nilai sentral bisa juga disebut nilai tengah, harga tengah atau nilai pusat. Syarat agar suatu nilai dapat dijadikan nilai sentral : Nilai sentral harus mewakili suatu rangkaian data darimana dia diperoleh Penentuan nilai tengah harus obyektif Hanya ada satu nilai sentral dalam suatu rangkaian data Penentuan nilai sentral harus melibatkan semua data dalam suatu rangkaian data.

Jenis nilai tengah Nilai tengah, baik untuk data tidak berkelompok atau data berkelompok, dapat berupa : Rata-rata hitung atau mean Median atau nilai tengah Modus atau mode

Formula rata-rata hitung (mean) Data tidak berkelompok X = ( ∑Xi / N ) Dimana : X : harga rata-rata ∑Xi : X1 + X2 + X3 +…+ Xn N : Banyaknya (data) sampel

Formula rata-rata hitung (mean) Data berkelompok X = { ∑ ( Mi f i) / ∑ f i} Dimana : X : harga rata-rata Mi : Nilai tengah masing-masing kelas f i : Frekuensi masing-masing kelas

Formula rata-rata hitung (mean) Data berkelompok cara cepat X = X0 + i { ∑ ( Mi Ui) / ∑ f i} Dimana : X : harga rata-rata X0 : harga X pada skala 0 Mi : Nilai tengah masing-masing kelas U i : Skala baru distribusi frekuensi f i : frekuensi masing-masing kelas i : Interval kelas

Formula nilai tengah (median) Median adalah satu bilangan yang berada persis di tengah suatu rangkaian data. Ia mewakili setengah jumlah data yang nilainya lebih kecil dari atau sama dengannya dan setengah jumlah data yang nilainya lebih besar dari atau sama dengannya

Formula nilai tengah (median) Untuk data tidak berkelompok (data diurutkan dulu secara ascending atau descending) maka mediannya adalah data yang persis di tengah, dan jika rangkaian data tersebut berjumlah genap maka mediannya adalah rata-rata dari dua nilai yang berada persis di tengah dari rangkaian data tersebut.

Formula nilai tengah (median) Data berkelompok Pendekatan tepi bawah kelas Md = Tb + i {( n / 2 – F) / f Md} Dimana : Md : Median Tb : Nilai tepi bawah kelas dimana median berada i : interval kelas n : banyaknya data (observasi) F : frek. kumulatif s/d frekuensi kelas sbl median f Md : Frekuensi dari kelas median

Formula nilai tengah (median) Pendekatan tepi atas kelas Md = Ta - i {(F’ – n / 2) / f Md} Dimana : Md : Median Ta : Nilai tepi atas kelas dimana median berada i : interval kelas n : banyaknya data (observasi) F’ : frek. kumulatif s/d kelas dimana median berada f Md : Frekuensi dari kelas median

Formula Modus Modus adalah nilai dari suatu variabel atau observasi yang paling banyak muncul atau frekuensi kemunculannya paling tinggi. Dalam data tidak berkelompok mungkin ada satu, dua atau banyak modus.

Formula Modus Data berkelompok d1 Mo = Tbk Mo + i d1 + d2 Dimana : Mo : Modus Tbk Mo : Tepi bawah kelas modus i : interval kelas d1 : Selisih antara frekuensi kelas modus dgn frek. Kelas sebelum modus d2 : Selisih antara frekuensi kelas modus dgn frek. Kelas setelah modus

Keunggulan Modus Modus dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif Modus tidak terpengaruh data ekstrim Pada data berkelompok, modus dapat digunakan untuk kelas terbuka

Kelemahan Modus Modus tidak dapat dijadikan ukuran nilai pusat jika : Tidak ada data yang sering muncul Terdapat dua atau lebih data yang frekuensi kemunculannya sama besar Pada data berkelompok, modus sering tidak mencerminkan keadaan yang sebenarnya

Contoh Kelas ( f ) (M) f x M Frek. Kumulatif Frek. Relatif kurang dari   kurang dari 1 - 5 2 3 6 0.04 6 - 10 10 8 80 12 0.2 0.24 11 - 15 13 156 24 0.48 16 - 20 15 18 270 39 0.3 0.78 21 - 25 23 184 47 0.16 0.94 26 - 30 28 84 50 0.06 1 780

Catatan Median = 50 / 2 = 25 Kelas median = 16 – 20 Batas riil = 15,5 Frekuensi kelas median = 15 Frekuensi kelas kumulatif s/d sebelum kelas median = 24 Kelas median tidak harus selalu sama dengan kelas modus

Mean (rata-rata) X = { ∑ ( Mi f i) / ∑ f i} = 780 / 50 = 15,60

Median (nilai tengah) Pendekatan kelas bawah Md = Tb + i {( n / 2 – F) / f Md} = 15,5 + 5 {(50/2 – 24) / 15) = 15,83

Median (nilai tengah) Pendekatan kelas atas Md = Ta - i {(F’ – n / 2) / f Md} = 20,5 - 5 {(39 – 25) / 15} = 15,83

Modus d1 Mo = Tbk Mo + i d1 + d2 = 15,5 + 5 (3 / (3 + 7)) Dimana d1 = 15 – 12 = 3 d2 = 15 – 8 = 7 = 15,5 + 5 (3 / (3 + 7)) = 15,5 + 5 (3 / 10) = 17