Irisan Kerucut E L I P S by Gisoesilo Abudi

Irisan Kerucut E L I P S L I N G K A R A N P A R A B O L A 1 L I N G K A R A N 2 P A R A B O L A 3 E L I P S 4 H I P E R B O L A

Elips Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan). Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F1 dan F2), jarak (F1 dan F2) adalah 2c, dan jumlah jarak tetap 2a (a > 0)

Elips Perhatikan gambar K D B1 T P B2 E L (0, b) A1 (-a, 0) A2 (a, 0) (- c, 0) F1 P (c, 0) F2 B2 E L (0, - b)

Elips Keterangan (F1 dan F2) disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) panjang lactus rectum DE = KL = 2𝑏 2 𝑎

Elips Keterangan Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor Titik puncak elips yaitu A1 ,A2 ,B1 , dan B2

Elips Persamaan Elips Berpuncak di O(0, 0) Pusat P(0, 0) 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c) Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, c) LR 𝟐𝒃 𝟐 𝒂 Sumbu mayor Sumbu X Sumbu Y Sumbu minor

Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokus F1 (-12, 0) dan F2(12, 0).

Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (13, 0) ⇔ a = 13 Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0) ⇔ c = 12 𝑏 2 = 𝑎 2 − 𝑐 2 = 13 2 − 12 2 = 169 – 144 = 25 ⇔ b = 25 = 5 Sumbu utama adalah sumbu x, sehingga persamaan elipsnya adalah : 𝑥 2 13 2 + 𝑦 2 5 2 =1 atau 𝑥 2 169 + 𝑦 2 25 =1

Contoh soal 2 Tentukan persamaan elips dengan fokus F1 (0, -4) dan F2(0, 4) dengan titik puncak (0, 5) dan (0, -5) !

Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (0, 5) ⇔ a = 5 Titik fokus (0, -4) dan (0, 4) ⇔ c = 4 𝑏 2 = 𝑎 2 − 𝑐 2 = 5 2 − 4 2 = 25 – 16 = 9 ⇔ b = 9 = 3 Sumbu utama adalah sumbu y, sehingga persamaan elipsnya adalah : 𝑥 2 3 2 + 𝑦 2 5 2 =1 atau 𝑥 2 9 + 𝑦 2 25 =1

Contoh soal 3 Diketahui elips dengan persamaan 𝑥 2 25 + 𝑦 2 81 =1. Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dan panjang lactus rectumnya !

Penyelesaian Diketahui persamaan elips 𝑥 2 25 + 𝑦 2 81 =1 𝑏 2 = 25 ⇔ b = 5 𝑐= 𝑎 2 − 𝑏 2 = 81−25 = 56 ⇔ c = 2 14 Fokus (0, - 2 14 ) dan (0, 2 14 ) Titik puncak (0, -9) dan (0, 9) Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18 Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10 Panjang lactus rectum (LR) ⇔ 2𝑏 2 𝑎 = 50 9

Elips Persamaan Elips Berpuncak di P(m, n) Pusat P(m, n) (𝒙−𝒎) 𝟐 𝒂 𝟐 + (𝒚−𝒏) 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 (𝒙−𝒎) 𝟐 𝒃 𝟐 + (𝒚−𝒏) 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 Fokus (m - c, n), (m + c, n) (m, n - c), (m, n + c) Puncak (m - a, n), (m + a, n) (m, n - a), (m, n + a) LR 𝟐𝒃 𝟐 𝒂 Sumbu mayor Y = n X = m Sumbu minor

Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips fokus F1 (1, 3) dan F2(7, 3), dan puncaknya (10, 3) !

Penyelesaian Fokus (1, 3) dan (7, 3) ⇔ m – c = 1; m + c = 7, dengan eliminasi diperoleh m = 4 dan c = 3 Pusat P(m, n) ⇔ P(4, 3) ⇔ m = 3 Pusat P(10, 3) ⇔ m + a = 10 ⇔ a = 6 𝑏 2 = 𝑎 2 − 𝑐 2 = 6 2 − 3 2 = 36 – 9 = 27 ⇔ b = 3 3

Penyelesaian Sumbu utama y = 3, sehingga persamaan elipsnya menjadi : (𝑥−4) 2 6 2 + (𝑦−3) 2 (3 3 ) 2 =1 atau (𝑥−4) 2 36 + (𝑦−3) 2 27 =1

Contoh soal 2 Tentukan titik pusat, fokus, titik puncak dan panjang lactus ractum dari elips yang mempunyai persamaan (𝑥+1) 2 9 + (𝑦−5) 2 36 =1 !

Penyelesaian Diketahui (𝑥+1) 2 9 + (𝑦−5) 2 36 =1 ! Pusat elips P(-1, 5) 𝑎 2 = 36 ⇔ a = 6 𝑏 2 = 9 ⇔ b = 3 𝑐 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 = 6 2 − 3 2 = 36 – 9 = 27 ⇔ b = 3 3

Penyelesaian Fokus F1 ( -1, 5 - 3) ⇔ F1 ( -1, 2) Puncak P ( -1, 5 - 6) ⇔ P (-1, 1) Puncak P ( -1, 5 + 6) ⇔ P (-1, 11) Panjang lactus rectum = 2𝑏 2 𝑎 = 2.9 6 = 3

Bentuk Umum Persamaan Elips Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Hubungan antara persamaan Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 dengan persamaan (𝑥−𝑚) 2 𝑎 2 + (𝑦−𝑛) 2 𝑏 2 =1, adalah sebagai berikut : Jika A > B, maka A = a2, B = b2 , C = -2 a2 m, D = -2b2 n, E = a2m2 +b2n2 - a2b2 Jika A < B, maka A = b2, B = a2 , C = -2 b2 m, D = -2a2 n, E = b2m2 +a2n2 - a2b2

Contoh soal Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2 + 9y2 - 16x + 18y - 11 = 0 !

Penyelesaian Diketahui 4x2 + 9y2 - 16x + 18y - 11 = 0 A = 4, B = 9, C = -16, D = 18, E = -11 𝑏 2 = A = 4 ⇔ b = 2 A < B 𝑎 2 = B = 9 ⇔ a = 3 C = -2b2m D = -2b2m C2=a2 - b2 -16 = -2.4.m 18 = -2.9.n = 9 - 4 -16 = -8m 18 = -18n = 5 2 = m -1 = n C = 5 Pusat P(m, n) ⇔ P(2, -1) Fokus F1(m - c, n) ⇔ F1(2 - 5 , -1) Fokus F2(m + c, n) ⇔ F2(2 + 5 , -1)

Persamaan garis singgung elips dititik P( 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ) Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ) Dengan gradien p 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟏 𝒚 𝒃 𝟐 =𝟏 𝒚=𝒑𝒙± 𝒂 𝟐 𝒑 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 =𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝒃 𝟐 + 𝒚 𝟏 𝒚 𝒂 𝟐 =𝟏 𝒚=𝒑𝒙± 𝒂 𝟐 + 𝒑 𝟐 𝒃 𝟐

Persamaan garis singgung elips dititik P(m, n) Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( 𝒙 𝟏 , 𝒚 𝟏 ) Dengan gradien p (𝐱−𝐦) 𝟐 𝐚 𝟐 + (𝐲−𝐧) 𝟐 𝐛 𝟐 =𝟏 ( 𝒙 𝟏 −𝒎)(𝒙−𝒎) 𝒂 𝟐 + (𝒚 𝟏 −𝒏)(𝒚−𝒏) 𝒃 𝟐 =𝟏 𝒚−𝒏=𝒑(𝒙−𝒎)± 𝒂 𝟐 𝒑 𝟐 + 𝒃 𝟐 (𝐱−𝐦) 𝟐 𝐛 𝟐 + (𝐲−𝐧) 𝟐 𝐚 𝟐 =𝟏 (𝒙 𝟏 −𝒎)(𝒙−𝒎) 𝒃 𝟐 + (𝒚 𝟏 −𝒏)(𝒚−𝒏) 𝒂 𝟐 =𝟏 𝒚−𝒏=𝒑(𝒙−𝒎)± 𝒂 𝟐 + 𝒑 𝟐 𝒃 𝟐

Contoh soal 1 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut, x 2 28 + y 2 21 =1, pada titik (4, 3) (x−1) 2 18 + (y+2) 2 9 =1, pada titik (5, -3) 3x 2 + 16y 2 =48, pada titik 2, 3 2

Solusi Diketahui : x 2 28 + y 2 21 =1 (4, 3) ⇔ x 1 = 4 dan y 1 = 3 Persamaan garis singgung : ⇔ x 1 x a 2 + y 1 y b 2 =1 ⇔ 4x 28 + 3y 21 =1 ⇔ x 7 + y 7 =1 ⇔ x + y = 7

Solusi Diketahui : (x−1) 2 18 + ( y+2) 2 9 =1 Pusat (m, n) ⇔ (1, -2) (5, -3) ⇔ x 1 =5 dan y 1 = -3 Persamaan garis singgung : ⇔ (x 1 −m)(x−m) a 2 + ( y 1 −n)(y−n) b 2 =1 ⇔ (5−1)(x−1) 18 + (−3+2)(y+2) 9 =1 ⇔ 4(x−1) 18 + −(y+2) 9 =1 ⇔ 2(x−1) 9 + −(y+2) 9 =1 ⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9 ⇔ 2x – y = 13

Solusi Diketahui : 3x 2 + 16y 2 =48 b 2 = 3 dan a 2 = 16 (2, 3 2 ) ⇔ x 1 = 2 dan y 1 = 3 2 Persamaan garis singgung : ⇔ b 2 x 1 x+ a 2 y 1 y= a 2 b 2 ⇔3.2.x+16. 3 2 y=48 ⇔ 6x + 24y = 48 ⇔ x + 4y = 8

Contoh soal 2 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut, x 2 22 + y 2 3 =1, dengan gradien 1 (x+3) 2 15 + (y−4) 2 4 =1, dengan gradien 2

Solusi Diketahui : x 2 22 + y 2 3 =1 ⇔ 𝑎 2 = 22, 𝑏 2 = 3, dan p = 3 Persamaan garis singgung : 𝑦=𝑝𝑥± 𝑝 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⇔𝑦=𝑥± 22.1+3 ⇔𝑦=𝑥± 25 ⇔𝑦=𝑥±5 ⇔y = x + 5 dan y = x - 5

Solusi Diketahui : (x+3) 2 15 + (y−4) 2 4 =1 ⇔ m = -3, n = 4, 𝑎 2 = 15, 𝑏 2 = 4, dan p = 2 Persamaan garis singgung : 𝑦−𝑛=𝑝(𝑥−𝑚)± 𝑝 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ⇔𝑦−4=2(𝑥+3)± 15.2 2 +4 ⇔𝑦−4=2(𝑥+3)± 64 ⇔y =2x + 6 ± 8 +4 ⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2

Thank You !