BAB I ANALISIS VEKTOR 1.1 SKALAR DAN VEKTOR Skalar Vektor Medan skalar Hanya mempunyai besar Contoh : massa, volume, temperatur, energi Vektor Mempunyai besar dan arah Contoh : gaya, kecepatan, percepatan Medan skalar Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang Contoh : EP = m g h Medan vektor Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Metoda jajaran genjang Metoda poligon A B C = A + B D = A – B = A + (- B) A - B D = A - B

Perkalian titik Hasilnya skalar Proyeksi B pada A AB B Proyeksi A pada B

Perkalian Silang Hasilnya vektor AB A  B B aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z) Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

Vektor dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

Vektor Posisi Vektor antara 2 titik

Titik asal  O(0, 0, 0) Bidang  x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

Elemen Luas (vektor)  dy dz ax.  dx dz ay.  dx dy az * Elemen Luas (vektor)  dy dz ax  dx dz ay  dx dy az * Elemen Volume (skalar) dx dy dz

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian

Proyeksi vektor A pada vektor B AB Proyeksi A pada B

Jawab : Proyeksi RAB pada RAC : Contoh Soal 1.1 Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan : a). RAB  RAC b). Sudut antara RAB dan RAC c). Proyeksi vektor RAB pada RAC Jawab : Proyeksi RAB pada RAC :

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian AB A  B B

Contoh Soal 1.2 : Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan : a). RBC  RBA b). Luas segitiga ABC c). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga   Jawab :

1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER Titik dinyatakan dengan 3 buah koordinat ,  dan z P(, , z) Transformasi sistem koordinat

x =  cos  = 4 cos (–50o) = 2,571 y  sin  = 4 sin (–50o) = - 3,064 Contoh Soal 1.3 : Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak dari A ke B. Jawab : Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian. x =  cos  = 4 cos (–50o) = 2,571 y  sin  = 4 sin (–50o) = - 3,064 z z = 2

Vektor dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan Silinder  Kartesian Vektor dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan Vektor satuan dalam arah  dan  tergantung pada posisinya di dalam ruang Transformasi vektor Silinder  Kartesian a a az ax cos  - sin  ay sin  1

a a az ax cos  = 0,555 - sin  = - 0,832 ay sin  = 0,832 1  Contoh Soal 1.4 : Nyatakan vektor dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5). Jawab : Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut  di titik A, yaitu : a a az ax cos  = 0,555 - sin  = - 0,832 ay sin  = 0,832 1

Bidang. .  = konstan (permukaan silinder) Bidang   = konstan (permukaan silinder)  = konstan (bidang datar melewati sumbu-z) z = konstan (bidang datar tegak lurus sumbu-z)

Elemen Luas (vektor) Elemen volume (skalar)

1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA Titik dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan  : P(r, , ) Transformasi Koordinat

Contoh Soal 1.5 : Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola. Jawab :

dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan : Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang Transformasi Vektor Bola  Kartesian ar a a ax sin  cos  cos  cos  - sin  ay sin  sin  cos  sin  cos  az cos  - sin 

Contoh Soal 1.6 : Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B. Jawab : B(1, 3, 4)   = 38,3o  = 71, 6o ar a a ax sin  cos  sin 38,3o cos 71,6o (0,620)(0,316) = 0,196 cos  cos  cos 38,3o cos 71,6o (0,785)(0,316) = 0,248 - sin  - sin 71,6o - 0,949 ay sin  sin  sin 38,3o sin 71,6o (0,620)(0,949) = 0,588 cos  sin  cos 38,3o sin 71,6o (0,785)(0,949) = 0,745 cos  cos 71,6o 0,316 az cos  cos 38,3o 0,785 - sin  - sin 38,3o - 0,620

Bidang  r = konstan (kulit bola)  = konstan (selubung kerucut)  = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

Elemen Luas (vektor) Elemen Volume (skalar)