SEBARAN PELUANG DISKRET & KONTINU HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET Sebaran Seragam 5. Sebaran Multinomial Sebaran Bernoulli 6. Sdebaran Negatif Binom Sebaran Binomial 7. Sebaran Geometrik Sebaran Hipergeometrik 8. Sebaran Poisson

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN SERAGAM Contoh: Sebuahdadubersisienamseimbangdilemparkan. Tentukansebaranpeluangbaginilai yang merepresentasikanangkadadu yang muncul 𝑆= 1,2,3,4,5,6 𝑋= 1,2,3,4,5,6 𝑓 𝑥,6 = 1 6 , 𝑥=1,2,3,4,5,6 𝐸 𝑋 = 21 6 , 𝜎 𝑥 2 = 91 6 − 441 36 = 105 36 =2.92 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN BERNOULLI Percobaan dilakukan satu kali, dengan peluang sukses =p dan peluang gagal = q = 1- p Contoh-contoh sebaran Bernoulli Sekeping mata uang dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi gambar Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi dengan angka 6 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Contoh : Sebaran Bernoulli Pelemparan sekepingmatauangseimbang S={G,A} X=# Gambar={0,1} 𝑝 1 = 1 2 , 𝑝 0 =1−𝑝= 1 2 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 1− 1 2 1−𝑥 𝐸 𝑋 = 1 2 , 𝜎 𝑥 2 = 1 2 − 1 4 = 1 4 Munculnya angka 6 dalampelemparandadu 𝑝 1 = 1 6 , 𝑝 0 = 5 6 𝜇 𝑥 =𝐸 𝑋 = 1 6 𝐸 𝑋 2 = 1 6 𝜎 𝑥 2 = 6 36 − 1 36 == 5 36

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN BINOMIAL Ciri-ciri percobaan binom Merupakan percobaan Bernoulli diulang n kali Setiap percobaan saling bebas HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH PERCOBAAN BINOM HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH TABEL PELUANG BINOM HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK Percobaan sukses dan gagal Tanpa pengembalian (antar percobaan tidak saling bebas) Misalkan dari N benda, k berhasil Diambil contoh berukuran n, x diantaranya berhasil HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK Dari 6 mhs laki-laki dan 4 mhs perempuan akan dipilih 3 orang sebagai wakil mhs dalam kompetisi. Jika X menyataan jumlah perempuan terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X 𝑁=𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑚ℎ𝑠 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ𝑎𝑛 𝑛=𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑤𝑎𝑘𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑥=𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑤𝑎𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑘=𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑤𝑎𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑖𝑟𝑖ℎ𝑎𝑛 ℎ 𝑥,10,3,4 = 4 𝑥 10−4 3−𝑥 10 3 𝑥=0,1,2,3 ℎ 0 = 1 6 , ℎ 1 = 1 2 ,ℎ 2 = 1.8 6 ,ℎ 3 = 0.2 6 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK Dari 5 bola terdiri dari 3 merah dan 2 putih. Diambil dua bola a. dengan pengembalian B. tanpa pengembalian Jika X menyataan jumlah bola merah terpilih terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X Dengan pengembalian (Binomial) 𝑏 𝑥,2, 3 5 = 2 𝑥 3 5 𝑥 2 5 2−𝑥 ; x=0,1,2 𝑓 0 = 4 25 ;𝑓 1 = 12 25 ;𝑓 2 = 9 25 𝐸 𝑋 =𝑛𝑝= 6 5 𝜎 𝑥 2 =𝑛𝑝 1−𝑝 = 12 25 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK b. Tanpapemulihan (Hipergeometrik) ℎ 𝑥,5,2,3 = 3 𝑥 5−3 2−𝑥 5 2 ; 𝑥=0,1,2 𝑓 0 = 1 10 ;𝑓 1 = 6 10 ;𝑓 2 = 3 10 𝐸 𝑋 =𝑛 𝑘 𝑁 =2× 3 5 = 6 5 𝜎 𝑥 2 = 𝑁−𝑛 𝑁−1 𝑛𝑝 1−𝑝 = 5−2 5−1 ×2× 6 25 = 3 4 × 12 25 Binomial Hipergeometrik 𝑓(𝑥) 4 25 ; 12 25 ; 9 25 2.5 25 ; 15 25 ; 7.5 25 𝐸(𝑋) 6 5 1× 6 5 𝜎 𝑥 2 12 25 3 4 × 12 25 Untuk 𝑛→∞, 𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 ≈𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

PERCOBAAN MULTINOMIAL Dari 𝑛 percobaanmasing- masingterdiridarikkemung kinan, dengan𝑘> 2. Jika 𝑋 𝑖 menyatakanjumla hmunculnyakemungkinanke -i, makasebaranpeluangbagi 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑘 adalah HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH PERCOBAAN MULTINOMIAL Dalam 10 kali permainan, berapapeluang 3 kali menang, 4 kali gagaldan 3 kali seri, jikadiketahuipeluangmenang, 0,3 danpeluangkalah 0,4. 𝑓 3,4,3;0.3,0.4,0.3 = 10 3,4,3 0.3 3 0.4 4 0.3 3 =0.078 𝑛=10, Kemungkinan 1 (menang), 2 (gagal), 3 (seri). 𝑋 1 :# 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 𝑋 2 :# 𝑘𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑋 3 :# 𝑠𝑒𝑟𝑖 f 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ;0.3, 0.4, 0.3 = 10 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 0.3 𝑥 1 0.4 𝑥 2 0.3 𝑥 3 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

SEBARAN NEGATIF BINOM & GEOMETRIK HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Binom, negatif binom, dan geometrik Seseorang melemparkan bola kekeranjang basket. Jikapeluangtepatadalah 0.8, hitunglahpeluang: Dalam 10 kali pelemparan, sukses 9 kali Sukses yang kesembilanpadapelemparan yang kesepuluh Sukses yang pertamapadapelemparan yang kesepuluh 𝑎. 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚: 𝑛=10, 𝑥=9, 𝑏 9,10,0.8 = 10! 1!9! 0.8 9 0.2 1 =0.268 𝑏. 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚:𝑥=10, 𝑘=9, 𝑛𝑏 10,9,0.8 = 9! 1!8! 0.8 9 0.2 1 =0.242 𝑐. 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘:𝑥=10, 𝑔 10,0.8 =0.8× 0.2 9 =4.1× 10 −7 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN POISSON Sebaran Poisson: merupakan sebaran peluang dari suatu percobaan Poisson X = merupakan peubah acak dari hasil percobaan Poisson. Hasil percobaan Poisson memiliki siat sebagai berikut: 1. Kejadian pada dua selang waktu/daerah yang saling terpisah adalah saling bebas 2. Peluang terjadinya percobaan pada selang waktu/daerah tertentu, sebanding dengan panjang waktu/luas daerah tersebut. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam waktu yang singkat/daerah yang kecil diabaikan. Misalkan secara rata-rata banyaknya mobil yang melintas per menit di suatu perempatan adalah 30. a. Berapa peluang terdapat 3 mobil yang lewat dalam 1 detik. b. Berapa peluang paling banyak 3 mobil lewat dalam satu detik. HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH SEBARAN POISSON 𝜇 𝑥 =30 mobil per menitatau 0.5 mobil per detik a. 𝑝 3,0.5 = 𝑒 − 𝜇 𝑥 𝜇 𝑥 𝑥 𝑥! = 𝑒 −0.5 0.5 3 3! =0.0126361 POISSON(3,0.5,FALSE)=9.9982-0.9856=0.0126 b. Σ 𝑥=0 3 𝑝(𝑥,0.5) =POISSON(3,0.5,TRUE)=0.9982 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

PENDEKATAN SEBARAN POISSON Misalkan 1 di antara 1000 mahasiswa IPB adalah perokok. a. Berapa peluang bahwa dari 8000 mahasiswa 3 di antaranya adalah perokok. b. Berapa peluang dari 8000 mhasiswa paling banyak 3 mahasiswa adalah perokok 𝑎. 𝑏 3,8000, 1 1000 ≈𝑝 𝑥, 𝜇 𝑥 𝑥=3; 𝜇 𝑥 =𝑛𝑝=8000× 1 1000 =8 𝑝 3,8 =POISON 3,8,FALSE =0.0286 𝑏. Σ 𝑥=0 3 𝑏 𝑥,8000, 1 1000 ≈ Σ 𝑥=0 3 𝑝(𝑥, 𝜇 𝑥 ) =𝑃𝑂𝐼𝑆𝑆𝑂𝑁(3,8,𝑇𝑅𝑈𝐸)=0.0424 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

BEBERAPA SEBARAN PELUANG KONTINU Sebaran Seragam Sebaran Eksponen Sebaran Normal Sebaran lainnya (Chi-Square, F, Gamma, Studentize T

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN SERAGAM 𝑋~𝑆𝑒𝑟𝑎𝑔𝑎𝑚 𝑎,𝑏 𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 ; 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝐸 𝑋 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑥 1 𝑏−𝑎 𝑑𝑥= 1 𝑏−𝑎 1 2 𝑥 2 ​ 𝑎 𝑏 = 1 2 𝑏−𝑎 2 𝑏−𝑎 = 1 2 (𝑏+𝑎) 𝐸 𝑋 2 = 𝑎 𝑏 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑥 2 1 𝑏−𝑎 𝑑𝑥= 1 𝑏−𝑎 1 3 𝑥 3 ​ 𝑎 𝑏 = 1 3 𝑏−𝑎 3 𝑏−𝑎 = 1 3 ( 𝑏 2 +𝑎𝑏+ 𝑎 2 ) 𝜎 𝑥 2 =𝐸 𝑋 2 − 𝜇 𝑥 2 = 1 12 𝑎−𝑏 2 𝑃 𝑋>𝑐 = 𝑐 𝑏 1 𝑏−𝑎 𝑑𝑥; 𝑐∈ 𝑎,𝑏 HADI SUMARN3 DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN EKSPONENSIAL 𝑋~𝐸𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝜆 𝑓 𝑥 =𝜆 𝑒 −𝜆𝑥 ; 𝑥≥0 𝐸 𝑋 = 0 ∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 0 ∞ 𝑥𝜆 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥=−𝑥 𝑒 −𝜆𝑥 −1/𝜆 𝑒 −𝜆𝑥 ​ 0 ∞ =0+1/𝜆=1/𝜆 𝐸 𝑋 2 = 𝑎 𝑏 𝑥 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑥 2 𝜆 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 =− 𝑥 2 𝑒 −𝜆𝑥 − 2 𝜆 𝑥 𝑒 −𝜆𝑥 − 2 𝜆 2 𝑒 −𝜆𝑥 ​ 0 ∞ =2/ 𝜆 2 𝜎 𝑥 2 =𝐸 𝑋 2 − 𝜇 𝑥 2 = 2 𝜆 2 − 1 𝜆 2 = 1 𝜆 2 𝑃 𝑋>𝑐 = 𝑐 ∞ 𝜆 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 HADI SUMARN3 DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN NORMAL KURVA NORMAL HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN NORMAL HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

SEBARAN NORMAL – LUAS BAWAH KURVA 𝑃 10<𝑥<100 = 10 100 𝑛 𝑥,150,1600 𝑑𝑥 = 10 100 1 2𝜋 𝜎 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 2 𝜎 2 𝑑𝑥 Standarisasi ke normal baku HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB SEBARAN NORMAL BAKU SOURCE: TR BLACK 1998 𝑍~𝑁(0,1) HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Tabel Normal Baku HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Latihan Sebuah jenis motor kecil mempunyai umur rata2 10 tahun, dengan simpangan baku 5 tahun. Pabrik akan menjamin mengganti dengan yang baru semua motor yang rusak selama masa garansi. Jika pabrik hanya bersedia mengganti 10%, berapa lama garansi yang harus diberikan. Asumsi menyebar normal. Berapa peluang motor rusak antara 6 s/d 11 tahun? Berapa peluang motor rusak tepat berumur 3 tahun Berapa peluang motor rusak lebih dari 15 tahun. HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB Latihan 𝜇=10; 𝜎=5 𝑃 𝑋<𝑥 =0.03 𝑃 𝑍< 𝑥−10 5 =0.03 𝑥−10 5 =−1.31→𝑥=10−5.65=4.35 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑃 6<𝑋<11 =𝑃 − 4 5 <𝑍< 1 5 =𝑃 𝑍< 1 5 −𝑃 𝑍<− 4 5 = 𝑃 𝑋=3 =0 𝑃 𝑋>15 =𝑃 𝑍>1 =1−𝑃(𝑍<1) HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Hampiran normal terhadap sebaran binom Menurut majalah Consumers Digest, hasil angka sensus menunjukkan bahwa dalam tahun 78, hampir 53% diantara semua rumahtangga di AS terdiri atas 1 – 2 orang. Berapa peluang bahwa di antara 1000 rumah yang diambil secara acak, antara 490 s/d 515 terdiri dari 1-2 orang saja. Berapa peluang lebih dari 500 di antaranya terdiri dari 1-2 orang. Berapa peluang tidak lebih dari 300 di antaranya terditi dari 1- 2 orang. HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

Hampiran normal terhadap sebaran binom 𝑝=0.53 𝑛=1000 𝑃 490≤𝑋≤515 = Σ 490 515 𝑏 𝑥,1000,0.53 ≈𝑁 𝑛𝑝,𝑛𝑝𝑞 𝑁 530,249 𝑃 490≤𝑋≤515 ≈𝑃 489.5<𝑋<515.5 =𝑃(− 40.5 15.78 <𝑍< 29.5 15.78 ) 𝑃 𝑋≥501 ≈𝑃 𝑋>500.5 =𝑃 𝑍>− 29.5 15.78 =1−𝑃(𝑍<− 29.5 15.78 ) 𝑃 𝑋≤300 ≈𝑃 𝑋<300.5 =𝑃(𝑍< 229.5 15.78 ) HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB