DERIVATIF

A. Pengertian. Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f’ ) adalah fungsi dengan rumus : f’ (x) = Apabila limit ini ada untuk setiap x ϵ Df.

Contoh : Carilah f’(x) jika : 1) f(x) = C, C adalah bilangan konstan sembarang. 2) f(x) = x2 3) f(x) = Sin x Penyelesaiain : 1) f(x) = C maka f(x+∆x) = C

f’ (x) = = = 0 f(x) = x2 maka f (x+∆x) = (x2 + ∆x)2 = = 2x

Jadi f(x) = xn maka f’ (x) = n xn-1 3) f(x) = Sin x maka f(x+∆x) = sin (x+∆x) Catatan : sin A – sin B = 2sin (A-B) cos (A+B) f’ (x) = =

= = = cos x

B. Derivatif Fungsi Aljabar. f(x) = c → f’(x) = 0, dimana c = bil. Konstan atau : y = c → y’ = 0 2. y = xn → y’ = n xn-1 y = f(x) + g(x) → y’ = f’(x) + g’(x) y = f(x) . g(x) → y’ = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) y = → y’ = 6. Y= [f(x)]n → y’ = n [f(x)]n-1 . f’(x)

Contoh : Tentukan derivatif dari fungsi berikut : y = 5 → y’ = 0 y = x5 ; maka y’ = 5 x4 y = [ x5 + 3 ] + [ x2 + 5 ] → y’ = [5x4] + [2x] y = [ x5 + 3 ] . [ x2 + 5 ] → y’ = [ x5 + 3 ] . [ 2x ] + [ 5x4 ] . [ x2 + 5 ] y = → y’ = y = [ x5 + 3 ]7 = → y’ = 7 [ x5 + 3 ]6 . [ 5x4 ]

C. Derivatif Fungsi Trigonometri. 1. y = sin f(x) → y’ = f’(x) cos f(x) 2. y = cos f(x) → y’ = - f’(x) sin f(x) 3. y = tg f(x) → y’ = f’(x) 4. y = ctg f(x) → y’ = - f’(x) 5. y = sec f(x) → y’ = f’(x) sec f(x) tg f(x) 6. y = cosec f(x) → y’ = - f’(x) cosec f(x) ctg f(x)

D. Derivatif Fungsi Cyclometri. 1. y = arc sin f(x) → y’ = f’(x) 2. y = arc cos f(x) → y’ = - f’(x) 3. y = arc tg f(x) → y’ = f’(x) 4. y = arc ctg f(x) → y’ = - f’(x)

5. y = arc sec f(x) → y’ = f’(x) 6. y = arc cosec f(x) → y’ = - f’(x)

E. Derivatif Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponensial. y = ln f(x) → y’ = f’(x) y = → y’ = f’(x) .  3. y = → y’ = f’(x) . . ln a

F. Derivatif Fungsi Hiperbolicus. y = sinh x → y’ = cosh x y = cosh x → y’ = sinh x y = tgh x → y’ = y = ctgh x → y’ = - y = sech x → y’ = - sech x . tgh x y = cosech x → y’ = - cosech x . ctgh x

G. Garis Singgung dan Garis Normal. Misal diberikan suatu fungsi y=f(x) dengan titik P(x,y) pada kurva. Maka melalui titik P dapat dibuat garis singgung (≡ s) dan garis normal (≡ n). Dimana garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung.

Garis singgung : s ≡ y – y1 = f’(x1) (x-x1) Garis normal : n ≡ y – y1 = - [1/f’(x)] (x-x1) sx y n P(x,y)x xx

y = f(x) = x2 -4x + 3 → y’ = f’(x) = 2x - 4 → f’(x1=4) = 2(4) – 4 = 4 Contoh : Cari garis singgung dan garis normal pada kurva y = x2 -4x + 3 di titik P(4,3) Penyelesaian : y = f(x) = x2 -4x + 3 → y’ = f’(x) = 2x - 4 → f’(x1=4) = 2(4) – 4 = 4 P(4,3)  x1 = 4 ; y1 = 3. Persamaan garis singgung : s ≡ y – y1 = f’(x1) (x-x1) y – 3 = 4 (x-4) y = 4x - 13

Persamaan garis normal : n ≡ y – y1 = - [1/f’(x)] (x-x1) y – 3 = - [ ¼ ] (x-4) y = x + 4

H. Titik Stasioner Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner. 1) f(x0 ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x0 ) > f(x) untuk setiap x anggota dari S. 2) f(x0 ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x0 ) < f(x) untuk setiap x anggota dari S. 3) Misal f(x) = 1/x dan S = [1,3], maka f(1) = 1 adalah nilai maksimum dan f(3) = 1/3 adalah nilai minimum.

4) Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0 4) Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0. Merupakan titik yang akan memberikan f bernilai maksimum atau minimum. 5) Misal f(x) = x2 dan S = [ -1, 3]. Maka titik di ujung interval adalah -1 dan 3, sehingga nilai f yaitu f( -1) = 1 dan f(3) = 9, belum bisa digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f.

6) Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x = 0, jadi x = 0, maka f(0) = 0 Sehingga f(x) = x2 , nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya = 0. 7) Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu tercepat dari A ke C, jika, berlari di darat kecepatannya 10 mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6 mil/jam.

8) Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 15 cm. Jika setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb.