METODA INTEGRASI GAUSS ILUSTRASI METODA TRAPESIUM ILUSTRASI METODA GAUSS
Diperhatikan integral yang diaproksimasi oleh jumlahan berikut: Formula ini dikatakan mempunyai derajat akurasi p jika ia mampu memberikan hasil eksak jika f(x) polinomial berderajat paling tinggi p. Jadi, metoda midpoint derajat akurasi = 0. metoda trapesiaum derajat akurasi = 1. metoda Simpson derajat akurasi = 3. Metoda Gauss: menentukan koefisien c1, c2, . . . cn dan x1, x2, . . . xn sehingga formula memberikan akurasi 2n-1. n = 2 derajat akurasi = 3. n = 3 derajat akurasi = 5.
Gauss Dasar, n = 2 Akan ditentukan c1, c2, x1, dan x2 shg (*) memberikan hasil eksak bilamana f(x) polinomial berderajat 3 atau kurang, yaitu f(x)=1, f(x)=x, f(x)=x2 dan f(x)=x3. Diperoleh sistem pers taklinier
Setelah diselesaikan diperoleh: Jadi bentuk dasar integrasi Gauss utk n =2 adalah: Transformasi variabel integrasi: x t = (2x-a-b)/(b-a) menghasilkan:
CONTOH Hitunglah integral dengan metoda Gauss. Penyelesaian: a = 0, b = 4, f(x) = ex. Transfor- masi variabel, menghasilkan Badingkan dengan hasil eksak 53.5982 dan metoda Simpson memberikan hasil 56.7696. Gauss lebih akurat dari Simpson.
Menentukan koefisien dan akar untuk n besar Membangun sistem persamaan taklinier dengan 2n pers dan 2n variabel melalui polinomial derajat sampai 2n-1. Akar polinomial Legendre sbg titik xi dan menghitung ci berdasarkan integral:
Tabel untuk n = 2, 3, 4, 5 n = 3:
LATIHAN Diberikan masalah integral: Gunakan metoda integral Gauss n = 2, 3, 4 untuk mengaproksimasi integral ini. b. Periksalah error aproksimasi masing-masing n. Tentunya anda perlu menghitung hasil eksaknya. c. Bandingkan hasilnya dengan metoda Simpson. d. Terapkan metoda Gauss bersusun bila interval [0, π/4] dipecah menjadi 4 subinterval yg sama panjang.