TEKNIK RISET OPERASI DUALITAS

MATERI Hubungan Primal-dual Konversi dual dari primal

Pendahuluan Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal.

Hubungan primal-dual Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan dual dan sebaliknya. Solusi optimal pada dual secara otomatis akan menghasilkan solusi optimal pada primal dan sebaliknya. Penyelesaian bentuk dual sama halnya dengan bentuk primal yaitu juga dilakukan dari bentuk standar.

Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:

Bentuk standar PL secara umum adalah : Maksimumkan atau minimumkan Z = ∑cjxj terhadap ∑aijxj = bi xj ≥ 0 variabel xj termasuk variabel keputusan, slack, surplus dan artificial

Konversi dual dari primal

Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari primal sesuai dengan aturan berikut : Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual Koefisien pembatas variabel primal membentuk koefisien pembatas dual; koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi nilai kanan pembatas dual

Cont’d Aturan di atas menunjukkan bahwa permasalahan dual akan mempunyai sejumlah m variabel (y1, y2,..., ym) dan sejumlah n pembatas ( sesuai dengan x1, x2, …, xn).

Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti yang ditunjukkan tabel di bawah.

Contoh Contoh 1:

Contoh Contoh 2 : Primal Minimumkan Z = 2X1 + X2 Fungsi batasan: 1) X1 + 5X2 10 2) X1 + 3X2 6 3) 2X1 + 2X2 8 X1, X2 0 Dual Maksimumkan Y = 10 y1 + 6y2 + 8y3 Fungsi batasan : 1) y1 + y2 + 2y3 2 2) 5y1 + 3y2 + 2y3 1 y1, y2 0

Contoh Contoh 3: Primal Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3 Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25 2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30 X1, X2, X3 0 Dual Minimumkan Y= 25y1 + 30y2 Fungsi batasan: 1) 4y1 + 7y2 1 2) 8y1 + 5y2 3 3) 6y1 + 9y2 -2

Contoh

Bentuk dual dari primal di atas adalah :

Solusi optimal primal juga dapat diperoleh dari solusi optimal dual. Contoh :

Cont’d

Cont’d

SOAL LATIHAN 1. Primal Maksimumkan Z = 5X1 + 7X2 Fungsi batasan: 1) 2X1 + X2 8 2) X1 + 2X2 8 3) 6X1 + 7X2 42 X1, X2, X3 0 2. Primal Maksimumkan Z = X1 + 3X2 – 2X3 Fungsi batasan: 1) 4X1 + 8X2 + 6X3 = 25 2) 7X1 + 5X2 + 9X3 = 30 X1, X2, X3 0

3. Primal Minimumkan Z = 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 + 3X5 Fungsi batasan: 1) 2X1 + 5X2 + 4 X4 + X5 6 2) 4X2 - 2X3 + 2X4 + 3X5 5 3) X1 – 6X2 + 3X3 + 7X4 + 5X5 7 X1, X2, X3, X4, X5 0 4. Primal Minimumkan Z = X1 + 2X2 + X3 Fungsi batasan: 1) X2 + X3 = 1 2) 3X1 + X2 + 3X3 = 4 X1, X2, X3 0

TERIMA KASIH