LINGKARAN

Materi : SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran Garis singgung lingkaran

Sudut antara dua tali busur jika titik potongnya di dalam lingkaran Gambar di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dengan dua tali busur AB dan CD berpotongan di E    AEC = 180o – ( BAC +  ACD )  AED = 180o -  AEC = 180o – ( 180o – ( BAC +  ACD )) = 180o – 180o + ( BAC +  ACD) =  BAC +  ACD    Jadi  AED =  BAC +  ACD Atau  AED =  BAC +  ACD = ½  BOC + ½  AOD O B A C D E  AED = ½ ( BOC +  AOD ) atau  AED = ½( bs BC + bs AD )

Pada gambar di samping besar  ABC = 20o dan  BCD = 25o Kesimpulan   Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan : Jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki- kaki sudutnya. Atau Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan ½ jumlah sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya. Contoh Pada gambar di samping besar  ABC = 20o dan  BCD = 25o Hitunglah besar : a.  AEC b.  AED C B A D E

Pembahasan  ABC = 20o dan  BCD = 25o  AEC =  ABC +  BCD = 20o + 25o = 45o Jadi besar  AEC = 45o C B A D E b.  AED = 180o -  AEC = 180o – 45o = 135o = 135o Jadi besar  AED = 135o

b. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran C T A B D Lingkaran yang berpusat di O dengan dua tali busur AB dan CD yang berpotongan di titik T di luar lingkaran.  ATC = 180o – ( BAD +  ADT )  ADT = 180o -  ADC sehingga  ATC = 180o - ( BAD + (180o -  ADC)) = 180o -  BAD - 180o +  ADC =  ADC -  BAD = ½  AOC– ½  BOD = ½( AOC -  BOD ) = ½( bs AC – bs BD ) . O

Jadi  ATC =  ADC –  BAD Atau  ATC = ½( AOC -  BOD ) atau  ATC = ½( bs AC – bs BD ) Kesimpulan :   Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan selisih sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kedua kaki sudutnya. Atau Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kedua kaki sudutnya.

Contoh 1 C Pada gambar di samping, besar  ABC = 65o dan  BCD = 30o Hitunglah besar  AEC Jawab    ABC = 65o dan  BCD = 30o  AEC =  ABC -  BCD = 65o – 30o = 35o Jadi besar  AEC = 35o

Contoh 2 R T P Q S O pada gambar di samping, besar  POR = 110o Dan  QOS = 40o. Hitunglah besar  PTR Jawab    POR = 110o dan  QOS = 40o  PTR = ½( POR -  ….. ) = ½( 110o - ……. ) = ½ x …… = …….. Jadi besar  PTR = ……. Nah, mudah bukan ? selanjutnya kerjakan latihan berikut.

Contoh 3 Pada gambar, diketahui besar ABC = 200 dan BCD = 250 . Hitunglah besar : a. AEC b. AED A D B C E

Pembahasan : ABC = 200 BCD = 250 AEC = ABC + BCD = 200 + 250 = 200 + 250 = 450 b. AED = 1800 - AEC = 1800 - 450 = 1350

Contoh 4 Pada gambar disamping, besar POR = 600 dan QOS = 400 . Hitunglah besar PTR P S Q R T • O

Pembahasan : POR = 600 QOS = 400 PTR = ½ ( POR + QOS) = ½ (600 + 400 ) = ½ x 1000 = 500 Jadi, besar PTR = 500

Contoh 5 Pada gambar disamping, besar ABC = 650 dan BCD = 300 . Hitunglah besar AEC A B C D E • O

Pembahasan : ABC = 650 BCD = 300 AEC = ABC - BCD = 650 - 350 = 650 - 350 = 250 Jadi, besar AEC = 250

Contoh 6 Pada gambar disamping, besar POR = 1100 dan QOS = 400 . Hitunglah besar PTR . P Q R S T • O

Pembahasan : POR = 1100 QOS = 400 PTR = ½ (POR - QOS) = ½ ( 1100 - 400 ) = 350 Jadi, besar PTR = 350

KESIMPULAN

Sudut antara dua tali busur Sudut antara dua tali busur yang berpotongan dalam lingkaran. Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A B C D E    AED =  BDC +  ACD  =  + 

atau : Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan didalam lingkaran, sama dengan ½ jumlah sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A D B C E    • O AEC = ½ ( AOC +  BOD)  = ½ (  +  )

Sudut antara dua tali busur 2. Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka : Besar sudut yang terjadi sama dengan selisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A B C D E    • AED =  ADC -  BAD  =  - 

atau : Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka : Besar sudut yang terjadi sama dengan ½ selisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A B C D E    • O AED = ½ ( AOC -  BOD )  = ½ (  -  )

GARIS SINGGUNG LINGKARAN B O A • AB = garis singgung OB = jari-jari

Contoh 5 Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 10 cm dan jari-jari OB = 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. B A O •

Pembahasan : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB2 = OA2 - OB2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 AB = √ 64 = 8 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 8 cm.

Latihan Soal

SOAL 1 Pada gambar, diketahui besar KLM = 200 dan LMN = 350 . Hitunglah besar : a. KTM b. KTN K N L M T

Pembahasan : KLM = 200 LMN = 350 KTM = KLM + LMN = 200 + 350 = 200 + 350 = 550 b. KTN = 1800 - KTM = 1800 - 550 = 1250

SOAL 2 Pada gambar di samping, besar POR = 500 dan QOS = 600 . Hitunglah besar PTR P S Q R T • O

Pembahasan : POR = 500 QOS = 600 PTR = ½ ( POR + QOS) = ½ (500 + 600 ) = ½ x 1100 = 550 Jadi, besar PTR = 550

SOAL 3 Pada gambar di bawah ini, besar ABC = 550 dan BCD = 250 Hitunglah besar AEC A B C D E • O

Pembahasan : ABC = 550 BCD = 250 AEC = ABC - BCD = 550 - 250 = 550 - 250 = 300 Jadi, besar AEC = 300

SOAL 4 Pada gambar di bawah ini, besar POR = 1000 dan QOS = 300 . Hitunglah besar PTR . P Q R S T • O

Pembahasan : POR = 1000 QOS = 300 PTR = ½ (POR - QOS) = ½ ( 1000 - 300 ) = 350 Jadi, besar PTR = 350

SOAL 5 Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. B A O •

Pembahasan : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB2 = OA2 - OB2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 AB = √ 144 = 12 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

SOAL 6 Pada gambar di bawah ini, PA dan PB merupakan garis singgung. Panjang jari-jari OA = 5 cm dan OP = 13 cm. Hitunglah panjang garis singgung PA dan panjang tali busur AB. B A O • P

Pembahasan : OA = 5 cm dan OP = 13 cm. ∆ AOP siku-siku di titik A PA2 = OP2 - OA2 = 132 - 52 = 169 – 25 = 144 PA = √ 144 = 12 Jadi, panjang garis singgung PA= 12 cm.

Luas layang-layang OAPB L. OAPB = ½ x OP x AB 2( ½ x 12 x 5) = ½ x 13 x AB 120 = 13 AB AB = 120 : 13 = 9,23 Jadi, panjang tali busur AB = 9,23 cm.

SOAL 7 R Pada gambar di samping, garis PR dan QR merupakan garis singgung. Panjang OR = 17 cm dan jari-jari OP = 8 cm. Hitunglah panjang garis singgung PR. Q • P O

Pembahasan : OP = 8 cm dan OR = 17 cm. ∆ POR siku-siku di titik P PR2 = OR2 - OP2 = 172 - 82 = 289 – 64 = 225 PA = √ 225 = 15 Jadi, panjang garis singgung PR= 15 cm.

TERIMA KASIH ..