PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL Materi 6 Oleh Choirudin, M.Pd

Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat. Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna

Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebut dikenal dengan analisis post-optimal Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: Analisis Dualitas Analisis Sensitivitas

Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model

Analisis Sensitivitas Dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan

Analisis Dualitas

Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal

Kegunaan bagi pengambil keputusan adalah: Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan >.

Contoh 1 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X1 + 200 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40 18 X1 + 18 X2 < 216 24 X1 + 12 X2 < 240 X1 , X2 > 0

Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3 Fungsi batasan : 2 Y1 + 18 Y2 + 24 Y3 > 160 4 Y1 + 18 Y2 + 12 Y3 > 200 Y1 , Y2 , Y3 > 0

Koefisien matriks primal Koefisien matriks dual

Contoh 2 : Model Primal Fungsi tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 > 16 4 X1 + 3 X2 > 24 X1 , X2 > 0

Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Maks Z = 16 Y1 + 24 Y2 Fungsi batasan : 2 Y1 + 4 Y2 < 6 4 Y1 + 3 Y2 < 3 Y1 , Y2 > 0

Koefisien matriks primal Koefisien matriks dual

Contoh 3 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X1 + 6 X2 Fungsi batasan : X1 + 4 X2 < 40 3 X1 + 2 X2 = 60 2 X1 + X2 > 25 X1 , X2 > 0

Perhatian: Untuk mentransformasikan model primal ke dalam bentuk dual adalah bahwa model primal harus dalam bentuk standar. Sehingga, bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu menjadi bentuk standar. Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda <. Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda >.

Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb.: X1 + 4 X2 < 40  X1 + 4 X2 < 40 3 X1 + 2 X2 = 60  3 X1 + 2 X2 < 60 3 X1 + 2 X2 > 60  (-1) (3 X1 + 2 X2 > 60) - 3 X1 - 2 X2 < - 60 2 X1 + X2 > 25  (-1) (2 X1 + X2 > 25) - 2 X1 - X2 < - 25

Tentukan masalah primal berikut dengan koefisien matriks Latihan 1 Tentukan masalah primal berikut dengan koefisien matriks Tentukan matriks koefisien masalah dualnya Tentukan Fungsi Objektif dualnya Variabel Baju I Baju II Tersedia Katun 2 1 6 Sutera 11 Tetoron 3 15 Harga $ 30 $ 50

Latihan 2 Diberikan masalah primal Maks : Z = 3x + 5y + 2z Syarat : 2x – y + 3z < 6 Syarat : x + 2y + 4z < 8 Syarat : x, y, z > 0 Tentukan masalah primal berikut dengan koefisien matriks Tentukan matriks koefisien masalah dualnya Tentukan Fungsi Objektif dualnya

Latihan 3 Diberikan masalah primal Min : Z = 2x + 6y + 7z Syarat : x +2y + 5z > 4 Syarat : 2x – y + 2z > 1 Syarat : x, y, z > 0 Tentukan masalah primal berikut dengan koefisien matriks Tentukan matriks koefisien masalah dualnya Tentukan Fungsi Objektif dualnya

Latihan 4 Diberikan masalah primal Maks : Z = 2u + 6v + 7w Syarat : u + 2u + 3w < 2 Syarat : 2u – v + 5w > 6 Syarat : 5u + 2v + w = 0 Syarat : u, v, w > 0 Tentukan masalah primal berikut dengan koefisien matriks Tentukan matriks koefisien masalah dualnya Tentukan Fungsi Objektif dualnya