Bab 3 Proof Strategy Sequences and Summations Mathematical Induction Recursive Definitions and Structural Induction Recursive Algorithms Program Correctness

Sequences and Summations (Deret dan Penjumlahan) Bab 3 Sub-bab 3.2

Deret Adalah sebuah fungsi dari himpunan bagian integer ke suatu himpunan S. Himpunan bagian integer yang dimaksud adalah {0, 1, 2, 3, …} atau {1, 2, 3, …} Notasi an adalah term dari sebuah deret Notasi {an} menggambarkan sebuah deret S = { a0, a1, a2, a3, …, an } atau { a1, a2, a3, …, an} Contoh : Sebuah deret {an} dimana an = 1/n Maka deret tersebut adalah 1, 1/2, 1/3, 1/4,….

Deret Geometric progression: a, ar, ar2, ar3, …, arn dimana a adalah initial term dan r adalah common ratio Contoh: Deret {bn} dimana bn =(-1)n maka deret tersebut adalah -1, 1, -1, 1, … Arithmetic progression: a, a+d, a+2d, …, a+nd dimana a adalah initial term dan d adalah common difference merupakan bilangan real. Contoh: Deret {sn} dimana sn =-1 + 4n maka deret tersebut adalah -1, 3, 7, 11, … String: a1a2a3 … an Empty string = 

Fungsi/Formula dari Deret Apakah fungsi/formula yang bisa menggambarkan deret a1, a2, a3, … ? 1, 3, 5, 7, 9, … an = 2n - 1 -1, 1, -1, 1, -1, … an = (-1)n 2, 5, 10, 17, 26, … an = n2 + 1 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 … an = 0.25n 3, 9, 27, 81, 243, … an = 3n

Penjumlahan (summation) m disebut batas bawah, n disebut batas atas, j disebut indeks Double summation bisa dilihat sebagai berikut:

Tabel Penjumlahan

Cardinality Himpunan A dan B mempunyai cardinality sama jika dan hanya jika ada 1-1-correspondence dari A ke B (pemetaan dari A ke B bijective) Himpunan countable vs himpunan uncountable Himpunan S disebut countable jika S berhingga atau cardinality S sama dengan cardinality Z+ Himpunan yang tidak countable disebut uncountable

Definisi rekursif Definisi yang menggunakan “diri sendiri” dalam ukuran yang lebih kecil (definisi rekursif), dan penjelasan eksplisit untuk nilai awal (nilai basis). Contoh: definisi rekursif himpunan Ekspresi Aritmatika EA Basis: 1, 2, 3, 4, 5  EA Rekursif: jika a  EA dan b  EA, maka a + b  EA a – b  EA a  b  EA a  b  EA

Rekursif Rekursif  Contoh perulangan terhadap diri sendiri, dengan ukuran lebih kecil Ada titik berhenti, apakah pada 0 atau pada 1 Secara prinsip mirip dengan induksi : Ada nilai awal Ada rumus untuk selanjutnya Contoh misal f didefinisikan sbb : F(0) = 3 F(n+1) = 2 f(n) + 3 Tentukan f(1), f(2), f(3), f(4) Jawab : f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93

Fungsi Rekursif Bagaimana mendefinisikan fungsi rekursif untuk fungsi faktorial f(n) = n!? f(0) = 1 f(n + 1) = (n + 1)f(n) f(1) = 1f(0) = 11 = 1 f(2) = 2f(1) = 21 = 2 f(3) = 3f(2) = 32 = 6 f(4) = 4f(3) = 46 = 24

Fungsi Rekursif Contoh: fungsi Fibonacci Basis: fib(0) = 0; fib(1) = 1 Rekursif: fib(n) = fib(n – 1) + fib(n – 2) Ditulis dengan cara lain: n jika n = 0, 1 fib(n) = fib (n – 1) + fib (n – 2) jika n > 1

Fungsi rekursif Contoh bilangan fibonacci (0,1,1,2,3,5,8,…) f(0) = 0, f(1) = 1 f(n) = f(n – 1) + f(n - 2) f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = f(1) + f(0) = 1 + 0 = 1 f(3) = f(2) + f(1) = 1 + 1 = 2 f(4) = f(3) + f(2) = 2 + 1 = 3 f(5) = f(4) + f(3) = 3 + 2 = 5 f(6) = f(5) + f(4) = 5 + 3 = 8