Bab 3 Proof Strategy Sequences and Summations Mathematical Induction

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
REKURSIF.
Advertisements

Fradika Indrawan,S.T – UAD – Pert I
Definisi Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek.
Algoritma dan Struktur Data
REKURSIF.
INDUKSI MATEMATIKA Septi Fajarwati, S.Pd..
Desain dan Analisis Algoritma
Fungsi Rekursif Dasar Pemrograman.
sebuah fungsi yang memanggil dirinya sendiri
Definisi Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek.
DERET BILANGAN.
Design and Analysis Algorithm
Matakuliah: T0034 / Perancangan & Analisis Algoritma Tahun: 2008 Pertemuan 1 PENGENALAN PERANCANGAN & ANALISIS ALGORITMA.
8. BARISAN DAN DERET.
5. FUNGSI.
BARISAN & DERET Achmad Arwan, S.Kom.
Fungsi Nilai Integer Misalkan x sebagai sebarang bilangan real. Nilai integer dari x, yang dituliskan INT (x), mengubah x menjadi integer dengan menghapus.
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA Barisan Aritmatika Aritmatika deret Aritmatika.
Rekursif Rizki Muliono,M.Kom.
BAB 4 DERET Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah - kaidah tertentu. Bilangan - bilangan yang merupakan unsur.
PERTEMUAN 2 DERET DAN TERAPANNYA.
DIG1G3 Implementasi Struktur Data
BAB 3 MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
07/11/2017 BARISAN DAN DERET KONSEP BARISAN DAN DERET 1.
BARISAN DAN DERET Tujuan yang akan dicapai adalah siswa mampu :
MATEMATIKA BARISAN DAN DERET Dra. Endang M. Kurnianti, M.Ed.
BARISAN & DERET.
Pengantar Matematika Komputer
PERSIAPAN UJIAN NASIONAL
Pertemuan 13 DYNAMIC PROGRAMMING : FIBONACCI SEQUENCE PROBLEM
BARISAN & DERET.
BARISAN & DERET.
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Matematika Diskrit.
Analisis Algoritma & Struktur Data
02/06/2018 BARISAN DAN DERET KONSEP BARISAN DAN DERET 1.
EKSPRESI MATEMATIKA C++
Algoritma dan Struktur Data 1 pertemuan 10
OLEH : Hesti Dwi Agusdiyanti, S. Si SMA TITIAN TERAS JAMBI
BARISAN BILANGAN a = U1 = suku ke-1 Un = suku ke-n +2 b = beda
FUNGSI.
Matematika Diskrit TIF (4 sks) 3/9/ /5/2010.
Jum’at Kliwon 14 Oktober 2011.
BARISAN DAN DERET Oleh : Haryono Fajar.
Algoritma Rekursif.
Pengantar Struktur Diskrit
BARISAN DAN DERET Oleh : Drs. Agus supawa.
01/08/2018 BARISAN DAN DERET KONSEP BARISAN DAN DERET 1.
Oleh : M. Barkah Salim, M.Pd.Si.
DERET by. Elia Ardyan, MBA.
BARISAN DAN DERET MATEMATIKA
Pengantar Matematika Diskrit
MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 3: Deret dan Penerapannya
Baris dan deret Matematika ekonomi.
02 SESI 2 MATEMATIKA BISNIS Viciwati STl MSi.
BARISAN DAN DERET OLEH: SUPANDI T. ANGIO.
Algoritma Rekursif Alpro-2.
Rekursif By Serdiwansyah N. A..
oleh Elzha Anindita .P. ( )
Analisa algoritma rekursif
BAB 6 Barisan dan Deret.
RANGKUMAN BARISAN DAN DERET
Barisan dan Deret.
Peta Konsep. Peta Konsep C. Barisan dan Deret Geometri.
Dosen pengasuh: Moraida hasanah, S.Si.,M.Si
BARISAN & DERET Matematika Diskrit.
C. Barisan dan Deret Geometri
Induction and Recursion
Rekursif Yuliana Setiowati. Rekursif Proses yang memanggil dirinya sendiri. Merupakan suatu fungsi atau prosedur Terdapat suatu kondisi untuk berhenti.
PENGEMBANGAN BAHAN AJAR BERBASIS ICT Mata Pelajaran: MATEMATIKA MENU SUB MENU SK / KD MATERI SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA POLA BILANGAN BARISAN.
Transcript presentasi:

Bab 3 Proof Strategy Sequences and Summations Mathematical Induction Recursive Definitions and Structural Induction Recursive Algorithms Program Correctness

Sequences and Summations (Deret dan Penjumlahan) Bab 3 Sub-bab 3.2

Deret Adalah sebuah fungsi dari himpunan bagian integer ke suatu himpunan S. Himpunan bagian integer yang dimaksud adalah {0, 1, 2, 3, …} atau {1, 2, 3, …} Notasi an adalah term dari sebuah deret Notasi {an} menggambarkan sebuah deret S = { a0, a1, a2, a3, …, an } atau { a1, a2, a3, …, an} Contoh : Sebuah deret {an} dimana an = 1/n Maka deret tersebut adalah 1, 1/2, 1/3, 1/4,….

Deret Geometric progression: a, ar, ar2, ar3, …, arn dimana a adalah initial term dan r adalah common ratio Contoh: Deret {bn} dimana bn =(-1)n maka deret tersebut adalah -1, 1, -1, 1, … Arithmetic progression: a, a+d, a+2d, …, a+nd dimana a adalah initial term dan d adalah common difference merupakan bilangan real. Contoh: Deret {sn} dimana sn =-1 + 4n maka deret tersebut adalah -1, 3, 7, 11, … String: a1a2a3 … an Empty string = 

Fungsi/Formula dari Deret Apakah fungsi/formula yang bisa menggambarkan deret a1, a2, a3, … ? 1, 3, 5, 7, 9, … an = 2n - 1 -1, 1, -1, 1, -1, … an = (-1)n 2, 5, 10, 17, 26, … an = n2 + 1 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 … an = 0.25n 3, 9, 27, 81, 243, … an = 3n

Penjumlahan (summation) m disebut batas bawah, n disebut batas atas, j disebut indeks Double summation bisa dilihat sebagai berikut:

Tabel Penjumlahan

Cardinality Himpunan A dan B mempunyai cardinality sama jika dan hanya jika ada 1-1-correspondence dari A ke B (pemetaan dari A ke B bijective) Himpunan countable vs himpunan uncountable Himpunan S disebut countable jika S berhingga atau cardinality S sama dengan cardinality Z+ Himpunan yang tidak countable disebut uncountable

Definisi rekursif Definisi yang menggunakan “diri sendiri” dalam ukuran yang lebih kecil (definisi rekursif), dan penjelasan eksplisit untuk nilai awal (nilai basis). Contoh: definisi rekursif himpunan Ekspresi Aritmatika EA Basis: 1, 2, 3, 4, 5  EA Rekursif: jika a  EA dan b  EA, maka a + b  EA a – b  EA a  b  EA a  b  EA

Rekursif Rekursif  Contoh perulangan terhadap diri sendiri, dengan ukuran lebih kecil Ada titik berhenti, apakah pada 0 atau pada 1 Secara prinsip mirip dengan induksi : Ada nilai awal Ada rumus untuk selanjutnya Contoh misal f didefinisikan sbb : F(0) = 3 F(n+1) = 2 f(n) + 3 Tentukan f(1), f(2), f(3), f(4) Jawab : f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93

Fungsi Rekursif Bagaimana mendefinisikan fungsi rekursif untuk fungsi faktorial f(n) = n!? f(0) = 1 f(n + 1) = (n + 1)f(n) f(1) = 1f(0) = 11 = 1 f(2) = 2f(1) = 21 = 2 f(3) = 3f(2) = 32 = 6 f(4) = 4f(3) = 46 = 24

Fungsi Rekursif Contoh: fungsi Fibonacci Basis: fib(0) = 0; fib(1) = 1 Rekursif: fib(n) = fib(n – 1) + fib(n – 2) Ditulis dengan cara lain: n jika n = 0, 1 fib(n) = fib (n – 1) + fib (n – 2) jika n > 1

Fungsi rekursif Contoh bilangan fibonacci (0,1,1,2,3,5,8,…) f(0) = 0, f(1) = 1 f(n) = f(n – 1) + f(n - 2) f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = f(1) + f(0) = 1 + 0 = 1 f(3) = f(2) + f(1) = 1 + 1 = 2 f(4) = f(3) + f(2) = 2 + 1 = 3 f(5) = f(4) + f(3) = 3 + 2 = 5 f(6) = f(5) + f(4) = 5 + 3 = 8