UNIVERSITAS TRUNOJOYO DIAGONALISASI TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO FIKA HASTRITA R, ST AHMAD SAHRU R, S.Kom
Transformasi diagonalisasi : Jika sebuah matrik A berukuran nxn mempunyai eigenvector yanag memiliki kebebasan linier sebanyak n, x(1), x(2) ,… x(m), maka jika ditentukan bahwa x = x(1), x(2),… x(m) (yaitu matrik yang kolomnya merupakan eigenvector dari A), didapatkan: X-1 AX = adalah matrik diagonal berukuran nxn:
= yaitu matrik yang elemen-elemen diagonalnya merupakan eigenvalue dari matrik A dan seluruh elemen yang lain adalah 0
Contoh: A = Bagaimana transformasi diagonalisasinya?
Penyelesaian: Eigenvalue dari A adalah : 1,3,6 Eigenvector dari A adalah: x (1) = (-2,1,0)T x (2) = (0,0,1)T, x( 3) = (1,2,0)T Maka: ; X-1 = X=
X-1 AX = =
Contoh: 1 -1 -4 -2 A = λ -1 1 -4 λ+2 (λI - A) = 1 -1 -4 -2 1 0 0 1 λ = det (λI – A) = (λ -1) (λ + 2) – 4.1 = (λ2 + λ - 2) -4 = λ2 + λ - 6 = (λ + 3) (λ - 2) = λ = -3 V λ = 2
Ket : λ = -3 diperoleh -3 -1 1 4 -3+2 (λI - A) = -4 1 4 -1 = (λI - A) = 0 -4 1 4 -1 x1 x2 = -4x1 + x2 = 0 4x1 – x2 = 0 x2 = 4x1
Misal : x2 = t x2 = 4x1 t = 4x1 x1 = ¼ t t x1 x2 ¼ 1 = Basis
λ = 2 diperoleh 2 -1 1 4 2+2 (λI - A) = 1 1 4 4 = (λI - A) = 0 1 1 4 4 x1 x2 = x1 + x2 = 0 4x1 – 4x2 = 0 x2 = - x1
Misal : x1 = t - x1 = x2 -t = x2 x2 = - t t x1 x2 1 -1 = Basis
P matriks mendiagonalisir matriks A ¼ 1 1 -1 P = -1 -1 -1 ¼ P -1 = (¼. -1) – (1.1) 1 -1 -1 1 ¼ = - 4/5 4/5 4/5 4/5 -1/5 =
D = P-1 A P 4/5 4/5 4/5 -1/5 1 -1 -4 -2 ¼ 1 1 -1 = = -3 0 0 2
TUGAS Diagonalisasikan 0 4 9 0 a 0 0 1 0 2 0 3 0 0 b