PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS Oleh : Choirudin, M.Pd. choirudiniaimnumetro@gmail.com

METODE SIMPLEKS Pengertian Metode Simpleks : metode pemecahan persoalan program linear yang begitu kompleks dan luas, dan besar yg dengan metode aljabar (sederhana) dan grafik sulit dan tidak dapat diandalkan. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Ciri khas metode simpleks ialah dengan memasukkan kegiatan disposal (disposal activities). Peranan kegiatan disposal ini adalah untuk menampung sumberdaya yg tersisa atau tidak digunakan. Dengan adanya kegiatan disposal ini kita dapat membuat ketidaksamaan suatu rumusan matematika menjadi suatu persamaan. Metode simpleks hanya diperkenankan nilai positif dari peubah-peubah Xij. choirudiniaimnumetro@gmail.com

a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn+ S1+0S2+. . .+0Sn = b1 Model Umum Metode Simpleks. 1. Kasus Maksimisasi. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C1X1-C2X2- . . . . . –CnXn-0S1-0S2-. . .-0Sn = NK Fungsi Pembatas : a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn+ S1+0S2+. . .+0Sn = b1 a21X21+a22X22+. . . .+a2nXn+ 0S1+1S2+. . .+0Sn = b2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … am1Xm1+am2Xm2+. . . .+amnXn+ S1+0S2+. . .+1Sn = bm Var. Kegiatan Slack Var choirudiniaimnumetro@gmail.com

Tabel Simpleks : Var. Dasar Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 Sn NK 1 -C1 -C2 -Cn a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm choirudiniaimnumetro@gmail.com

Fungsi Tujuan : Minimumkan 2. Kasus Minimisasi Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – C1X1-C2X2- . . . . . –CnXn-0S1-0S2-. . .-0Sn = NK Fungsi Pembatas : a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn - S1 -0S2-. . . - 0Sn = b1 a21X21+a22X22+. . . .+a2nXn - 0S1-1S2 -. . . - 0Sn = b2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … am1Xm1+am2Xm2+. . . .+amnXn- S1- 0S2 -. . . -1Sn = bm var.kegiatan Surplus var. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Tabel Simpleks : Var. Dasar Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 Sn NK 1 -C1 -C2 -Cn a11 a12 . . . a1n -1 b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm choirudiniaimnumetro@gmail.com

3. Kasus-kasus Khusus Perubahan tanda ketidaksamaan men-jadi persamaan pada fungsi pembatas menyesuaikan dengan tanda ketidaksamaan masing-masing persamaan linearnya. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah-langkah Metode Simpleks Merubah fungsi tujuan dan persamaan/pertidaksamaan fungsi tujuan ke persamaan simpleks. Langkah 2 : Memindah semua nilai koefisien dalam tabel simpleks Langkah 3 : Menentukan KOLOM KUNCI dengan cara mencari nilai negatif terbesar yang ada di baris tujuan (Z) pada tabel. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah-langkah Metode Simpleks Menentukan BARIS KUNCI dengan cara membagi setiap angka pada kolom Nilai Kanan (NK) dengan setiap Angka pada Baris Kunci. Kemudian dari hasil pembagian tersebut dipilih hasil positif yang paling kecil. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah-langkah Metode Simpleks Menentukan Angka kunci pada perpotongan antara Kolom kunci dan Baris kunci. Selanjutnya menggunakan angka kunci untuk menentukan baris kunci yang baru, apabila masih menemukan nilai negatif. Langkah 6 : Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah-langkah Metode Simpleks Jika ternyata masih ada angka negatif pada baris tujuan (Z), langkah selanjutnya adalah menentukan nilai baris kunci yang baru. Nilai Baris kunci yang baru ditentukan dengan cara membagi semua nilai yang ada pada baris kunci yang lama dengan angka kuncinya. Rumusnya adalah : choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah-langkah Metode Simpleks Mengisi/melengkapi sel lain dalam tabel simpleks yang masih kosong, dengan cara angka atau nilai yang lama dikurangi dengan hasil perkalian antara angka baris baru dengan angka kolom kunci. choirudiniaimnumetro@gmail.com

Kasus Maksimisasi : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 15X1 + 10X2 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X1 + X2 ≤ 600 2.2. 2X1 + X2 ≤ 1000 X1, X2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah : 1 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – 15X1– 10X2 – 0S1 – 0S2 = 0 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X1 + X2 + S1 + 0S2 = 600 2.2. 2X1 + X2 + 0S1+ 1S2 = 1000 X1, X2, S1, S2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Tabel Simpleks Langkah : 2 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) 2. Iterasi-1 : Langkah : 3 a. Menentukan kolom kunci : Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Negatif Terbesar Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Negatif Terbesar Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 Kolom Kunci choirudiniaimnumetro@gmail.com

b. Menentukan baris kunci : Langkah : 4 NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : ----------------------------------------- Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -15 -10 - 600 2 1000 500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

b. Menentukan baris kunci : Langkah : 4 NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : ----------------------------------------- Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -15 -10 - 600 2 1000 500 Baris Kunci choirudiniaimnumetro@gmail.com

c. Menentukan Angka Kunci : Langkah : 5 Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

c. Menentukan Angka Kunci : Langkah : 5 Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 Angka Kunci choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : Langkah : 6 dan 8 - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 1 ½ ½ 500 0/2 2/2 1/2 0/2 1/2 1000/2 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru X angka kolom kunci baris) Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 ½ 500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama [ 1 -15 -10 0 0 0 ] NBKB -15 x [ 0 1 ½ 0 ½ 500 ] – Baris Baru 1 0 -2½ 0 7½ 7500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris S1 Baris Lama [ 0 1 1 1 0 600 ] NBKB 1 x [ 0 1 ½ 0 ½ 500 ] – Baris Baru 0 0 ½ 1 - ½ 100 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -2½ 7½ 7500 ½ - ½ 100 500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Langkah 6 : Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -2½ 7½ 7500 ½ - ½ 100 500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

simpleks masih ada yang bernilai negatif. 3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - ½ - ½ 100 200 500 1000 Angka Kunci choirudiniaimnumetro@gmail.com

- Merubah baris pada angka kunci. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - ½ - ½ 100 500 1 2 -1 200 0/½ 0/½ ½/½ 1/½ -½/½ 100/½ choirudiniaimnumetro@gmail.com

- Merubah angka pada baris-baris lainnya. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - 2 -1 200 ½ 500 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama [ 1 0 -2½ 0 7½ 7500 ] NBKB -2½ x [ 0 0 1 2 -1 200 ] – Baris Baru 1 0 0 5 5 8000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris X1 Baris Lama [ 0 1 ½ 0 ½ 500 ] NBKB ½ x [0 0 1 2 -1 200 ] – Baris Baru 0 1 0 -1 1 400 choirudiniaimnumetro@gmail.com

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 5 8000 - 2 -1 200 400 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb: X1= 400 dan X2 = 200 dengan Zmaksimum = 8000 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Contoh-2 : Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X1+2X2 Fungsi Pembatas : X1 + X2 ≤ 15 2X1 + X2 ≤ 28 X1 + 2X2 ≤ 20 X1, X2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X1–2X2–0S1–0S2–0S3 = 0 Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X1–2X2–0S1–0S2–0S3 = 0 Fungsi Pembatas : X1 + X2 + S1 = 15 2X1 + X2 + S2 = 28 X1 + 2X2 + S3 = 20 X1, X2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Tabel Simpleks Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -3 -2 15 2 28 20 15 2 28 20 choirudiniaimnumetro@gmail.com

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Angka Kunci Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -3 -2 - 1 15 2 28 14 20 choirudiniaimnumetro@gmail.com

(b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -½ 3/2 42 - ½ -½ 3/2 42 - ½ 1 14 6 choirudiniaimnumetro@gmail.com

(c). Iterasi-2 Angka Kunci Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -½ 3/2 42 - ½ 1 2 14 28 6 4 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z 1 43 - 2 -1 13 -3 3 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X1 = 13; X2 = 2, Zmaksimum = 43 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Tugas Mandiri : 1 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2X1 + 3X2 2. Fungsi Pembatas : X1 + X2 ≤ 5 X1 + 2X2 ≤ 6 X1, X2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Tugas Mandiri : 2 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 50X1 + 70X2 2. Fungsi Pembatas : 4X1 + 8X2 ≤ 32 5X1 + 6X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com