FUNGSI KUADRAT PERTEMUAN VIII Oleh : Agus Mahardiyanto, S.E., M.A PRODI EKONOMI SYARIAH FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS JEMBER

DEFINISI FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang variabel bebasnya maksimal berpangkat dua, Bentuk umum fungsi kuadrat Y = a X 2 + bx + c Y= fungsi kuadrat a,b,c = konstanta dan a # 0

Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 Contoh 2x2 + 4x – 1 = 0 dimana a = 2, b = 4, dan c = -1 x2 + 3x = 0 dimana a = 1, b = 3, dan c = 0 x2 – 9 = 0 dimana a = 1, b = 0, dan c = -9

PENGGUNAAN FUNGSI DALAM EKONOMI Matematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika, penyajian suatu masalah menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk dipahami, dianalisis serta dipecahkan. Di dalam ilmu ekonomi yang berkembang dengan pesat, berbagai konsep matematika digunakan sebagai alat analisis. Salah satu konsep di antaranya adalah fungsi linier. Secara khusus Anda diharapkan mampu untuk: 1. menjelaskan fungsi permintaan dan fungsi penawaran; 2. menghitung harga dan jumlah keseimbangan; 3. menjelaskan pengaruh pajak dan subsidi; 4. menjelaskan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaiakan persamaan kuadrat, yaitu : Metode faktorisasi Metode melengkapkan kuadrat sempurna Rumus kuadrat / rumus abc

METODE FAKTORISASI Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat berikut : Hasil kalinya adalah sama dengan ac Jumlahnya adalah sama dengan b Misalkan dua bilangan tersebut : x1 dan x2 maka: x1 . x2 = a.c dan x1 + x2 = b

Kasus a = 1 Bentuk umum : x2 + bx + c = 0, kita rubah menjadi bentuk : (x + x1)(x + x2) = 0 x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2) = x2 + x1.x + x2.x + x1.x2 = x2 + (x1 +x2)x + x1.x2 Misalkan dua bilangan di atas adalah : x1 dan x2 maka: x1 . x2 = c dan x1 + x2 = b

Contoh 1 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0. Solusi a=1, b = 0, c = -9. kasus 1 kita cari x1 . x2 = -9 dan x1 + x2 = 0, maka x1 = 3 dan x2 = -3. x2 - 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = - 3 atau x = 3 Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3

Contoh 2 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusi a=-1, b = 4, c = 0. kasus 1 kita cari x1 . x2 = 0 dan x1 + x2 = 4, maka x1 = 4 dan x2 = 0. 4x - x2 = 0 ⇔ x(4 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau 4 – x = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

METODE MELENGKAPKAN KUADRAT Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0. Langkah-langkah : Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x, kemudian kuadratkan Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan.

TENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT BERIKUT DENGAN CARA MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA X2 + 8X − 9 = 0 Pembahasan Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu: ( 1 2 b) 2 8x → separuhnya 8 adalah 4, angka yang akan ditambahkan adalah 42 = 16 Sehingga: x2 + 8x − 9 = 0 x2 + 8x = 9 x2 + 8x + 16 = 9 + 16 x2 + 8x + 16 = 25 (x + 4)2 = 25 (x + 4) = √ 25 x + 4 = ± 5 x + 4 = 5 x = 1 atau x + 4 = − 5 x = − 9

SOAL NO. 2 TENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT BERIKUT DENGAN MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA X2 − 6X + 8 = 0 Pembahasan Cari angka yang akan ditambahkan lebih dulu: ( 1 2 b) 2 − 6x → separuhnya − 6 adalah −3, angka yang akan ditambahkan adalah (−3)2 = 9 Sehingga: x2 − 6x + 8 = 0 x2 − 6x = − 8 x2 − 6x + 9 = − 8 + 9 x2 − 6x + 9 = 1 (x − 3)2 = 1 (x − 3) = √1 (x − 3) = ±1 x − 3 = 1 x = 4 atau x − 3 = − 1 x = 2

RUMUS KUADRAT / ABC Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan rumus kuadrat/abc maka : Atau dan

Contoh 1 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0. Solusi a=1, b = 0, c = -9. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ dan Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3

Contoh 2 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusi a=-1, b = 4, c = 0. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ dan Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4

LANGKAH - LANGKAH UNTUK MENGGAMBAR PARABOLA ATAU GRAFIK FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah : f(x) = ax2 + bx + c diamana a, b , c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan 0. Grafik fungsi kuadrat berbenruk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar parabola fungsi kuadra, diantaranya : Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0 Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0 Menentukan sumbuh simetri grafik yaitu dengan rumus x = -b/2a Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dengan rumus x = - b/2a dan y = -D/4a, dengan D = b2 - 4ac Menentukan grafiknya terbuka kebawah jika a < 0 atau terbuka ke atas jika a > 0

PENERAPAN DALAM EKONOMI Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar : Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN Analisis penawaran dan permintaan sama seperti pada kondisi linier E S D P Q

Contoh Soal : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 19 – P 2 , sedangkan fungsi penawarannya adalah Qs = – 8 + 2 P 2 . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

PENYELESAIAN KESEIMBANGAN PASAR Qd = Qs 19 – P 2 = –8 + 2 P 2 P 2 = 9 P = 3 Q = 19 – P 2 = 19 – 9 Q = 10 Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )

Latihan Diketahui fungsi penawaran P = 8 Q 2 + 4Q dan fungsi permintaannya P=-2 Q 2 +20. Tentukan keseimbangan pasarnya ! Gunakan Rumus ABC.

TERIMAKASIH