Materi II Persamaan Non Linier METODE BISEKSI Choirudin, M.Pd

Metode Biseksi Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Biseksi Misalkan kita telah menentukan selang [a, b] sehingga f(a).f(b) < 0. pada setiap kali lelaran, selang [a, b] dibagi dua di x sehingga dua upaselang yang berukuran sama, yaitu [a, x] dan [x, b]. Selang berikutnya diambil yang memuat akar, apakah f(a).f(x) < 0 atau f(x).f(b) < 0

Selang baru di [a, x] Selang baru di [x, b] [a, b] Bagi dua di x [a, x] [x, b] f(a).f(x) < 0 ? ya tidak Selang baru di [a, x] Selang baru di [x, b]

Metode Biseksi Lebar selang baru: [a – b] < ε yang merupakan toleransi lebar selang yang mengurung akar. Nilai fungsi di hampiran akar f(x) = 0 Selang berikutnya diambil yang memuat akar, apakah f(a).f(x) < 0 atau f(x).f(b) < 0 Jumlah iterasi yang dibutuhkan adalah N >

Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah: x = Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0 Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Algoritma Biseksi Definisikan f(x) yang akan dicari akarnya. Tentukan nilai a dan b Tentukan toleransi nilai ε dan iterasi maksimum N Hitung f(a) dan f(b) Jika f(a) dan f(b) > 0, maka proses dihentikan, bila tidak dilanjutkan Hitunglah Jika I b – a I < ε maka terasi maksimum dan proses dihentikan

Contoh Soal Selesaikan persamaan ex – 5x2, dengan menggunakan range x = [0, 1], dan ε = 0,00001. maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

ex – 5x2 ; [0,1]; ε = 0,00001 N a x b f(a) f(x) f(b) selang baru lebar 0,000000 0,500000 1,000000 0,398721 -2,281718 [xb] 1 0,750000 -0,695500 [ax] 0,250000 2 0,625000 -0,084879 0,125000 3 0,562500 0,173023  [xb] 0,062500 4 0,593750 0,048071 0,031250 5 0,609375 -0,017408  [ax] 0,015625 6 0,601563 0,015581 0,007813 7 0,605469 -0,000851 0,003906

N a x b f(a) f(x) f(b) selang baru lebar 8 0,601563 0,603516 0,605469 0,015581 0,007380 -0,000851  [xb] 0,001953 9 0,604492 0,003268 [xb] 0,000977 10 0,604980 0,001210 0,000488 11 0,605225 0,000179 0,000244 12 0,605347 -0,000336  [ax] 0,000122 13 0,605286 -0,000078 0,000061 14 0,605255 0,000051 [xb]  0,000031 15 0,605270 -0,000014 0,000015 16 0,605263 0,000018 0,000008

Dari tabel iterasi didapatkan hampiran akarnya adalah nilai x = 0,605263 Jumlah iterasi yang dibutuhkan adalah N > N > 16,60964

Latihan Selesaikan persamaan x3 + 2x2 + 10x – 20 =, menggunakan metode Biseksi dengan range x = [0, 2], dan ε = 0,000001! Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, menggunakan metode Biseksi dengan range x=[-1,1], dengan nilai galat yang diberikan ε = 0,000001!

Terima Kasih 