KONSEP DASAR BARISAN DAN DERET GISOESILO ABUDI, SPd blog : soesilongeblog.wordpress.com e-mail : gisoesilo_wp@yahoo.com
Motivasi Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu. Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung kesamaan suatu nilai dari dua baris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau suatu deret.
A. Pola, Barisan, & Deret Bilangan Misalnya : Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, … Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, … Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, … Kumpulan bilangan seperti di atas membentuk sebuah barisan bilangan. Barisan yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.
Anggota barisan bilangan disebut suku barisan dinyatakan sebgai berikut : U1, U2, U3, U4, …, Un Sedangkan penjumlahan dari suku-suku suatu barisan disebut deret. Bentuk umum deret bilangan adalah sebagai berikut : U1+ U2+ U3+ U4+ …+ Un
Aktivitas Kelas Perhatikan pola barisan berikut, lalu tentukan tiga suku berikutnya : 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 0, 5, 10, 15, … 2, 8, 32, … 24, 12, 6, … 1 4 , 1 2 , 1, 2, …
Aktivitas Kelas Perhatikan pola deret berikut, lalu tentukan tiga suku berikutnya : 0 + 2 + 4 + 8 + … 12 + 17 + 22 + 27 + … 5 + 14 + 23 + 32 + … 4 + 12 + 36 + …
Notasi sigma Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan, sebagai berikut : U1+ U2+ U3+ U4+ …+ Un = 𝐤=𝟏 𝐧 𝐔 𝐤 Contoh k=2 5 k+1 = (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18
Sifat-sifat Notasi Sigma Aturan suku konstan 𝐤=𝟏 𝐧 𝐜=𝐜+𝐜+…+𝐜=𝐧𝐜 Aturan jumlah 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 + 𝐛 𝐤 = 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 + 𝐤=𝟏 𝐧 𝐛 𝐤 Aturan perkalian skalar 𝐤=𝟏 𝐧 𝐜. 𝐚 𝐤 =𝐜 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 Aturan kelinieran 𝐤=𝟏 𝐧 𝐜. 𝐚 𝐤 ±𝐝. 𝐛 𝐤 =𝐜. 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 ±𝐝. 𝐤=𝟏 𝐧 𝐛 𝐤 Aturan bagian (jika 1 < m < n) 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 = 𝐤=𝟏 𝐦 𝐚 𝐤 + 𝐤=𝐦+𝟏 𝐧 𝐚 𝐤
Sifat-sifat Notasi Sigma Aturan pengubahan indeks 𝐤=𝐦 𝐧 𝐚 𝐤 = 𝐤=𝐦−𝐩 𝐧−𝐩 𝐚 𝐤+𝐩 𝐤=𝐦 𝐧 𝐚 𝐤 = 𝐤=𝐦+𝐩 𝐧+𝐩 𝐚 𝐤−𝐩 Aturan dominan (jika a k ≤ b k untuk k = 1, 2, 3, …, n) 𝐤=𝟏 𝐧 𝐚 𝐤 ≤ 𝐤=𝟏 𝐧 𝐛 𝐤 Aturan kuadrat 𝐧 𝐚 𝐤 + 𝐛 𝐤 𝟐 = 𝐧 𝐚 𝐤 𝟐 +𝟐 𝐧 𝐚 𝐤 𝐛 𝐤 + 𝐧 𝐛 𝐤
Contoh 1 Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun dan kemudian hitunglah jumlahnya : 𝑘=1 6 5𝑘 Solusi 𝑘=1 6 5𝑘 = (5.1)+(5.2)+(5.3)+(5.4)+(5.5)+(5.6) = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 75
Contoh 2 Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun dan kemudian hitunglah jumlahnya : 𝑘=1 3 1 𝑘+2 Solusi 𝑘=1 3 1 𝑘+2 = 1 1+2 + 1 2+2 + 1 3+2 = 1 3 + 1 4 + 1 5 = 20+15+12 60 = 47 60
Contoh 3 Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun dan kemudian hitunglah jumlahnya : 𝑘=1 3 2 𝑘 Solusi 𝑘=1 3 2 𝑘 = 2 1 + 2 2 + 2 3 = 2 + 4 + 8 = 14
Contoh 4 Nyatakan tiap penjumlahan beruntun berikut dengan notasi sigma : 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 Solusi 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 = 1 0+1 + 1 1+1 + 1 2+1 + 1 3+1 + 1 4+1 = 𝑘=0 4 1 𝑘+1
Contoh 5 Nyatakan tiap penjumlahan beruntun berikut dengan notasi sigma : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 Solusi = (3.1)+(3.2)+(3.3)+(3.4)+(3.5)+(3.6) = 𝑘=1 6 3𝐾
Aktivitas Kelas Tuliskan lima suku pertama barisan berikut : U1 = 3n – 1 U1 = 1 2 n 2 + 2n + 5 U1 = n 2 −4n 2+3n Tuliskan tiga suku berikutnya dari barisan berikut : 1, 5, 9, … 4, 16, 36, 64, …
Aktivitas Kelas Nyatakan dalam bentuk notasi sigam : 1 + 3 + 5 + 7 + … + 25 2 + 4 + 6 + 8 + … + 50 1 2 + 2 3 + 3 4 +…+ 75 76 Tentukan hasil penjumlahan berikut : k=1 5 4−2k k=1 10 1 k+2 k=1 6 k(k+1)(k+2)
Latihan Pemahaman Jika Anda siswa kelompok Teknik, Coba kerjakan latihan halaman 88 no 1 – 5 Buku paket Erlangga program kehalian teknologi, kesehatan, dan pertanian. Jika Anda siswa kelompok Bismen, Coba kerjakan latihan halaman 82 no 1 – 5 Buku paket Erlangga program keahlian akuntansi dan penjualan.
TERIMA KASIH gisoesilo_wp@yahoo.com soesilongeblog.wordpress.com 03172687730