PERTEMUAN 7 LIMIT
Sasaran Pengkajian mengenai Limit. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Pokok Bahasan LIMIT
Definisi Diberikan himpunan D dari bilangan-bilangan real. Bilangan x0 disebut titik limit dari D bila terdapat barisan dari titik-titik dalam D\{x0} yang konvergen ke x0.
Contoh Untuk bilangan-bilangan a dan b dengan a<b , a dan b keduanya adalah titik -titik limit dari interval terbuka (a,b). Pandang barisan {a+(b-a)/2n} dalam (a,b), setiap anggotanya berlainan dengan a, yang konvergen ke a. Jadi a adalah titik limit dari (a,b). Juga, setiap titik x0 dalam (a,b) adalah juga titik limit dari (a,b), karena barisan {x0 + (b – x0) / 2n} adalah barisan dalam (a,b), setiap anggotanya berlainan dengan x0, yang konvergen ke x0.
Definisi Diberikan fungsi f: D R dan x0 adalah titik limit dari D. Yang dimaksud dengan adalah bila {xn} adalah barisan dalam D\{x0} yang konvergen ke x0,
Proposisi Misalkan bilangan x0 adalah titik limit dari himpunan dari bilangan-bilangan D dan x0 dalam D. Maka fungsi f: D R kontinu di x0 bila dan hanya bila
Contoh Karena telah diperlihatkan bahwa hasil bagi polinomial-polinomial adalah kontinu pada titik yang penyebutnya tidak nol, fungsi akar adalah kontinu, dan komposisi dari fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu, maka
Contoh Ambil barisan {xn} yang konvergen ke 1 dengan Xn1 untuk semua n. Karena (xn2 – 1) / (xn – 1) = xn + 1 untuk semua n,
Definisi Untuk fungsi f: D R dan u D dan x0 adalah titik limit dari u, maka yang dimaksud dengan adalah bila {xn} adalah barisan dalam u\{x0} yang konvergen ke x0 maka {f(xn)} konvergen ke l.
Proposisi
Contoh
Teorema