Transformasi Laplace Ditemukan oleh Pierre-Simon Laplace (1749-1827), pakar matematika Perancis. Prinsipnya mentransformasi sinyal/sistem kontinyu dari ranah waktu ke ranah-s Mirip dengan transformasi Fourier, hanya jw digantikan oleh s.

Tujuan Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (PD) yang rumit dan persoalan nilai awal. Prosedur utama dalam penyelesaiannya adalah: Mentransformasi (Laplace) persamaan diferensial yang sulit menjadi persamaan yang lebih sederhana yang disebut persamaan pengganti. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan manipulasi aljabar biasa. Mentransformasikan kembali (invers Laplace) solusi dari persamaan pengganti untuk mendapatkan solusi dari persamaan semula.

Prosedur tersebut bisa digambarkan sbb.:

Proses transformasi Laplace pada prinsipnya sama dengan proses penggunaan logaritma (ingat, logaritma adalah merupakan bentuk transformasi juga). Penggunaan logaritma akan menyederhanakan operasi-operasi seperti perkalian, pembagian, pangkat, akar, dlsb. Contoh : Misalkan kita ingin mendapatkan perkalian dari dua bilangan 25.45 dan 15.14 dengan menggunakan logaritma. Maka yang pertama dilakukan adalah mentransformasikan kedua bilangan ini dengan mengambil nilai logaritmanya. Hasilnya dijumlahkan, lalu dilakukan proses transformasi balik (inverse transformation) dengan mengambil nilai antilogaritma-nyai. Hasilnya merupakan perkalian dari dua bilangan yang diinginkan. Waktu yang diperlukan untuk melakukan manipulasi logaritma pada umumnya lebih cepat dibanding perkalian langsung.

Proses penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace :

Langkah-langkah : Dari persamaan diferensial yang diberikan, dicari nilai transformasi Laplace yang bersesuaian dari tabel transformasi Laplace. Kondisi awal disisipkan dan transformasi yang telah didapat dimanipulasikan lagi secara aljabar sehingga menghasilkan nilai yang telah direvisi. Akhirnya ditentukan inverse transformasi Laplace dari nilai yang telah direvisi, juga dengan menggunakan tabel. Merupakan nilai yang diinginkan. Pada umumnya, cara dengan transformasi Laplace sangat menghemat waktu jika dibandingkan dengan cara klasik.

Transformasi Laplace f(t) yang Umum Dijumpai Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah : (3.1) Di mana s merupakan bilangan kompleks dengan nilai s = s + jw . Simbol £ menunjukkan “transformasi Laplace dari”. Tidak semua fungsi f(t) bisa ditransformasikan ke dalam Laplace. Sebuah fungsi dapat ditransformasikan ke dalam Laplace jika : untuk s1 positip dan real (3.2)

Tabel Transformasi Laplace

Tabel Transf. Laplace

Tabel Sifat Transf. Laplace

Contoh :

Contoh :

Contoh :

Contoh :

Aplikasi Transf. Laplace pada Rangk. Listrik

Contoh :

Aplikasi Transf. Laplace pada Rangk. Listrik Hitung arus simpal i(t) dari rangkaian di samping ini. Solusi : pertama rangkaian diubah ke ranah frekuensi sbb.: Tegangan dan arus direpresentasikan dengan transf. Laplace. Tegangan 10u(t) digantikan dengan 10/s dan i(t) oleh I(s). Semua elemen rangkaian direpresentasikan dengan impedansi yang sesuai. Induktor 1 Henry direpresentasikan oleh s, kapasitor ½ Farad direpresentasikan oleh 2/s dan resistor 3 ohm direpresentasikan oleh 3.

Maka tegangan pada masing-masing komponen merupakan I(s) dikalikan impedansinya. Total impedansi pada simpal adalah sebesar : Arus simpal : Inverse transformnya :