Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Universitas Islam Indonesia Ukuran Pemusatan Data Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Universitas Islam Indonesia

Ukuran Pemusatan Data Mean (rata-rata) Median (nilai tengah) Modus

Mean Rata-rata Hitung Misalkan terdapat 𝑁 observasi, yaitu 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑁 , maka kita dapat menghitung: Rata-rata sebenarnya (populasi) 𝝁= 𝟏 𝑵 𝒊=𝟏 𝑵 𝑿 𝒊 = 𝟏 𝑵 𝑿 𝟏 + 𝑿 𝟐 +…+ 𝑿 𝑵 Rata-rata perkiraan (sampel) 𝑿 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑿 𝒊 = 𝟏 𝒏 𝑿 𝟏 + 𝑿 𝟐 +…+ 𝑿 𝒏 𝑛: banyaknya sampel 𝑛<𝑁

Contoh: Berikut adalah data banyaknya penderita gizi buruk di suatu negara selama 10 tahun: 𝑋 1 =145 𝑋 6 =145 𝑋 2 =150 𝑋 7 =130 𝑋 3 =110 𝑋 8 =120 𝑋 4 =135 𝑋 9 =115 𝑋 5 =125 𝑋 10 =135 Hitung rata-rata banyaknya penderita gizi buruk sebenarnya. Ambil sampel sebanyak 𝑛=5, misalnya setelah diambil sampelnya diperoleh: 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 5 , 𝑋 7 , 𝑋 10 . Hitung rata-rata perkiraan banyaknya penderita gizi buruk per tahun.

Rata-rata sebenarnya (populasi): 𝜇= 1 10 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 = 1 10 1310 =131 Rata-rata perkiraan (sampel): 𝑋 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋 𝑖 = 1 5 150+110+125+130+135 =130 Note: Ternyata rata-rata perkiraan sangat mendekati rata-rata sebenarnya.

Rata-rata Hitung Data Berkelompok Data dari Tabel Biasa Maka rata-ratanya adalah 𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝒇 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 Karena 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 =𝑛 , maka: 𝑿 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝒇 𝒊 Data ( 𝑿 𝒊 ) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 𝑋 1 𝑓 1 𝑋 2 𝑓 2 ⋮ 𝑋 𝑘 𝑓 𝑘

Contoh: Tabel bobot koper penumpang maskapai penerbangan ABC Rata-rata bobot koper adalah 𝑋 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝒇 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 = 𝟏𝟒+𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟔+𝟏𝟗𝟎+𝟕𝟕 𝟓𝟎 = 𝟒𝟕𝟏 𝟓𝟎 =𝟗.𝟒𝟐 Jadi, rata-rata bobot koper adalah 9.42 kg Bobot (kg) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 7 2 8 9 14 10 19 11 Total 50

Data dari Tabel Distribusi Frekuensi Maka rata-ratanya adalah: 𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑴 𝒊 𝒇 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 Dengan 𝑀 𝑖 : nilai tengah kelas interval ke-𝑖 Data 𝑿 𝒊 Nilai Tengah ( 𝑴 𝒊 ) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 𝑋 1 𝑀 1 𝑓 1 𝑋 2 𝑀 2 𝑓 2 ⋮ 𝑋 𝑘 𝑀 𝑘 𝑓 𝑘

Contoh: Tabel distribusi frekuensi berat badan 100 mahasiswa prodi HI UII Rata-rata berat badan mahasiswa adalah 𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑴 𝒊 𝒇 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 = 𝟑𝟎𝟓+𝟏𝟏𝟓𝟐+𝟐𝟖𝟏𝟒+𝟏𝟖𝟗𝟎+𝟓𝟖𝟒 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟕𝟒𝟓 𝟏𝟎𝟎 =𝟔𝟕.𝟒𝟓 Berat Badan (kg) Titik Tengah ( 𝑴 𝒊 ) Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 60 – 62 61 5 63 – 65 64 18 66 – 68 67 42 69 – 71 70 27 72 – 74 73 8 Total 100

Rata-rata Hitung Tertimbang Jika terdapat 𝑘 data 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑘 dengan bobot/timbangan masing-masing 𝑊 1 , 𝑊 2 , …, 𝑊 𝑘 , maka rata-ratanya dapat dihitung dengan 𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝑾 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝑾 𝒊

𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝑾 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝑾 𝒊 = 3 82 +5 86 +3 90 +1(70) 3+5+3+1 =84.67 Contoh: Seorang mahasiswa FE UII mendapatkan nilai pada ujian-ujian berikut: Metode Riset (3 kredit) : 82 Akuntansi (5 kredit) : 86 Teori Ekonomi (3 kredit) : 90 Bahasa Inggris (1 kredit) : 70 Maka rata-rata nilai hasil ujian mahasiswa tersebut adalah 𝑿 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝑿 𝒊 𝑾 𝒊 𝒊=𝟏 𝒌 𝑾 𝒊 = 3 82 +5 86 +3 90 +1(70) 3+5+3+1 =84.67 Jadi, rata-rata nilai ujian tersebut adalah 84.67

Median Median Data Tunggal Apabila ada sekelompok nilai sebanyak 𝑛 diurutkan mulai dari yang terkecil 𝑋 1 sampai dengan yang terbesar 𝑋 𝑛 , maka nilai yang ada di tengah disebut Median (Med). Untuk 𝒏 Ganjil 𝑚𝑒𝑑= 𝑋 𝑛+1 2 Untuk 𝒏 Genap 𝑚𝑒𝑑= 1 2 𝑋 𝑛 2 + 𝑋 𝑛 2 +1

Contoh: 𝑛 Ganjil Data nilai ujian Pengantar Proses Stokastik 9 mahasiswa FMIPA UII adalah 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50. Tentukan median dari nilai-nilai tersebut. Setelah diurutkan: 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90 𝑚𝑒𝑑= 𝑋 𝑛+1 2 = 𝑋 9+1 2 = 𝑋 5 =65 𝑛 Genap Data uang saku 8 mahasiswa (dalam ribuan rupiah) adalah 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90. Hitung mediannya. 20, 45, 50, 60, 75, 80, 85, 90 𝑚𝑒𝑑= 1 2 𝑋 𝑛 2 + 𝑋 𝑛 2 +1 = 1 2 𝑋 8 2 + 𝑋 8 2 +1 = 1 2 𝑋 4 + 𝑋 5 = 1 2 60+75 =67.5

Median Data Berkelompok Untuk data berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut: 𝑚𝑒𝑑= 𝐿 0 +𝑝 𝑛 2 − 𝑓 𝑖 0 𝑓 𝑚 Dengan 𝐿 0 : tepi bawah kelas median 𝑝 : panjang kelas 𝑛 : banyaknya data ∑ 𝑓 𝑖 0 : frekuensi kumulatif sebelum kelas median 𝑓 𝑚 : frekuensi kelas median

Contoh: Dengan menggunakan rumus interpolasi, hitung nilai median dari data berikut: Kelas Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 30 – 39 4 40 – 49 6 50 – 59 8 60 – 69 12 70 – 79 9 80 – 89 7 90 – 99 Total 50

Langkah-langkah menghitung median dengan rumus interpolasi: Tentukan setengah dari observasi 𝑛 2 = 50 2 =25 Berarti kelas median ada di daerah data ke-25 Tentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas median ∑ 𝑓 𝑖 0 = 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 =4+6+8=18 Tentukan tepi bawah kelas median 𝐿 0 =59.5 Tentukan panjang kelas 𝑝=69.5−59.5=10 Tentukan frekuensi kelas median 𝑓 𝑚 =12 Hitung median dengan rumus interpolasi 𝑚𝑒𝑑= 𝐿 0 +𝑝 𝑛 2 − 𝑓 𝑖 0 𝑓 𝑚 =59.5+10 25−18 12 =65.33

Modus Modus Data Tunggal Modus dari suatu data tunggal merupakan nilai/data yang memiliki frekuensi tertinggi. Contoh: Berapa modus dari data berikut? 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12 18 Maka modus data tersebut adalah data dengan frekuensi terbanyak yaitu 𝑚𝑜𝑑=9

Modus Data Berkelompok Untuk data yang sudah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka penentuan modusnya menggunakan rumus berikut: 𝑚𝑜𝑑= 𝐿 0 +𝑝 𝑑 1 𝑑 1 + 𝑑 2 Di mana 𝑑 1 = 𝑓 𝑚𝑜 − 𝑓 𝑚𝑜−1 𝑑 2 = 𝑓 𝑚𝑜 − 𝑓 𝑚𝑜+1 Dengan 𝐿 0 : tepi bawah kelas modus 𝑝 : panjang kelas 𝑓 𝑚𝑜 : frekuensi kelas modus 𝑓 𝑚𝑜−1 : frekuensi kelas sebelum kelas modus 𝑓 𝑚𝑜+1 : frekuensi kelas setelah kelas modus

Contoh: Dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut, carilah modusnya. Kelas Frekuensi ( 𝒇 𝒊 ) 50.00 – 59.99 8 60.00 – 69.99 10 70.00 – 79.99 16 80.00 – 89.99 14 90.00 – 99.99 100.00 – 109.99 5 110.00 – 119.99 2 Total 65

Langkah-langkah mencari modus data berkelompok: Tentukan kelas dengan frekuensi terbesar; kelas ke-3 Tentukan tepi bawah kelas modus 𝐿 0 = 1 2 69.99+70.00 =69.995 Tentukan panjang kelas 𝑝=79.995−69.995=10 Tentukan frekuensi kelas modus 𝑓 𝑚𝑜 =16 Tentukan frekuensi kelas sebelum kelas modus dan 𝑑 1 𝑓 𝑚𝑜−1 =10 𝑑 1 = 𝑓 𝑚𝑜 − 𝑓 𝑚𝑜−1 =16−10=6 Tentukan frekuensi kelas setelah kelas modus dan 𝑑 2 𝑓 𝑚𝑜+1 =14 𝑑 2 = 𝑓 𝑚𝑜 − 𝑓 𝑚𝑜+1 =16−14=2 Tentukan modus dengan rumus 𝑚𝑜𝑑= 𝐿 0 +𝑝 𝑑 1 𝑑 1 + 𝑑 2 =69.995+10 6 6+2 =77.5

Berikut adalah tabel distribusi frekuensi dari data konsumsi beras selama satu bulan bagi 74 rumah tangga: Tentukan mean (rata-rata), median, serta modusnya. Gunakan rumus yang sesuai. Konsumsi Beras (kg) Banyaknya Keluarga 5 – 24 4 25 – 44 6 45 – 64 14 65 – 84 22 85 – 104 105 – 124 5 125 – 144 7 145 – 164 2 Total 74

Daftar Pustaka Bhattacharya, G.K., dan R.A., Johnson, 1997, Statistical Concept and Methods, John Wiley and Sons, New York. Supranto, J., 2008, Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 1, Erlangga, Jakarta. Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.