15 Kalkulus Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi. FASILKOM Teknik Informatika

2.1 Integral Lipat pada Persegi Panjang Telaah Ulang Integral Tentu Misalkan f terdefinisi pada selang [a,b]. Bagi [a,b] menjadi n selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/n dan pilih titik sampel Bentuk jumlah Riemann

maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

a Gambar 1

Volume dan Integral Lipat Dua Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutup Misal grafik f adalah permukaan z = f(x,y). Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yaitu Bagaimana mencari volume S ?

z z = f(x,y) o a c b d R y x Gambar 2

Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa segiempat bagian. Bagi interval [a,b] menjadi m interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/m, dan bagi [c,d] menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d – c)/n. Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian masing-masing dengan luas A = x y.

y Rij d                               yj   y         yj-1                     y1           c a x1 x2 xi-1 xi b x x Gambar 3

Jika dipilih titik sampel dalam setiap Rij, maka bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi- empat dengan alas Rij dan tinggi Volume kotak ini adalah Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh hampiran terhadap volume total S ; 1

z o a c b d x y Gambar 4

Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n besar, sehinga diharapkan 2 Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.

Definisi 3 Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalah jika limit ini ada. Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.

Jika maka volume V dari benda padat yang terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan z = f(x,y) adalah

CONTOH 1 Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur sangkar dan di bawah paraboloida elips Bagilah R menjadi empat bujur sangkar yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas dari setiap bujur sangkar Rij.

Perhatikan bujur sangkar berikut PENYELESAIAN Perhatikan bujur sangkar berikut y (1,2) (2,2) 2 R12 R22 1 (2,1) (1,1) R11 R21 1 2 x Gambar 5

Paraboloida adalah grafik dari dan luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2, diperoleh

CONTOH 2 Jika hitunglah integral PENYELESAIAN Karena integral dapat ditafsirkan sebagai volume Jika maka dan sehingga integral lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat

S yang terletak di bawah silinder lingkaran dan di atas segiempat R. Volume S adalah luas setengah lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi

Aturan Titik-Tengah Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua dengan titik-tengah dan titik-tengah

CONTOH 3 Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk menaksir nilai integral dengan PENYELESAIAN Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung

di pusat-pusat empat segiempat bagian. y (2,2) 2 3/2 1 1 2 x Gambar 6 Sehingga dan Luas setiap

segiempat bagian adalah A = ½. Jadi, Jadi,

Nilai Rata-rata Nilai rata-rata fungsi dua peubah f pada segiempat R dengan A(R) adalah luas R.

Sifat Integral Lipat-Dua

Integral Lipat Tiga Andaikan R suatu daerah macam I di bidang xy dan F1 dan F2 fungsi dua peubah yang kontinu pada daerah R dengan F1(x,y) ≤ F2(x,y). Misalkan S menyatakan daerah dimensi tiga tertutup yang dibatasi x = a dan x = b, tabung-tabung y = Φ1(x) dan y = Φ2(x), dan permukaan z = F1(x,y) dan z = F2(x,y). Jika f fungsi tiga peubah yang kontinu di dalam dan pada batas S, maka integral lipat tiga

Penentuan Integral Lipat Tiga Integral lipat tiga yang didefinisikan di atas dapat dihitung dengan

Terapan Integral Lipat Tiga Seperti halnya integral lipat dua dapat ditafsirkan sebagai luas daerah R, maka integral lipat tiga dapat ditafsirkan sebagai volume daerah S yang berdimensi tiga. Volume daerah S =

Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi