PRASYARAT : MEKANIKA TEKNIK I MEKANIKA BAHAN BUKU : MECHANICS OF MATRIAL BY E.P. POPOV 3 SKS PRASYARAT : MEKANIKA TEKNIK I

MATERI KULIAH s t PENDAHULUAN 2. METODE IRISAN 3. PENGERTIAN TEGANGAN 4. TEGANGAN NORMAL 5. TEGANGAN GESER RATA – RATA 6. MENENTUKAN DAN 7. STATIC TEST 8. TEGANGAN IJIN 9. REGANGAN s t

10. DIAGRAM, TEGANGAN – REGANGAN NORMAL - Hukum HOOKE - Penentuan Titik Leleh - Deformasi Batang Akibat Beban Aksial - Poisson’s Ratio - Hubungan Tegangan, Regangan dan Poisson’s Ratio 11. TEGANGAN DAN REGANGAN GESER - Tegangan Geser - Regangan Geser

12. LENTUR MURNI PADA BALOK 13. MOMEN INERSIA PENAMPANG 14. MENGHITUNG TEGANGAN PADA BALOK 15. BALOK DENGAN DUA BAHAN 16. LENTUR MURNI PADA BALOK NON ELASTIS 17. TEGANGAN GESER LENTUR 18. TORSI 19. TEGANGAN MAJEMUK 20. KOMBINASI TEGANGAN PADA PENAMPANG KOLOM 21. KERN

Pendahuluan APLIKASI Rencana Konstruksi ANALISIS STRUKTUR PEMILIHAN BAHAN KONTROL KEKUATAN / TEGANGAN PENENTUAN DIMENSI Konstruksi Kuat / Stabil

Contoh Obyek TABUNG RANGKA BATANG

PORTAL GEDUNG BERTINGKAT Contoh Obyek PORTAL GEDUNG BERTINGKAT 70/70 50/50

Contoh Obyek P2 P1 H2 H1 B1 B2 Karena P2 > P1, maka berdasarkan perhitungan tegangan, akan didapatkan dimensi B2 > B1, H2 > H1

Metode Irisan P1 P2 P1 P2 S2 S3 S1 S1 S3 S2 P4 P3 P4 P3 GAYA DALAM

Tegak Lurus Bidang Potongan Sejajar Bidang Potongan Tegangan (Stress) TEGANGAN NORMAL TEGANGAN GESER Tegak Lurus Bidang Potongan Sejajar Bidang Potongan DEFINISI : TEGANGAN ADALAH GAYA DALAM YANG BEKERJA PADA SUATU LUASAN KECIL TAK BERHINGGA DARI SUATU POTONGAN

Tegangan (Stress) t t s s BENTUK MATEMATIK : D F D A = Lim Lim TEGANGAN NORMAL t D V = D A Lim TEGANGAN GESER s = Tegangan Normal = Tegangan Geser = Luas Penampang yang bersangkutan = Gaya yang bekerja tegak lurus potongan = Gaya yang bekerja sejajar potongan t A F V

Tegangan (Stress) tzy tzx tyz txz tyx txy sz sy sx Tegangan yang bekerja pada elemen suatu benda : z sz tzy tzx tyz txz sy y tyx txy sx x

Tegangan Normal s s TEGANGAN NORMAL TARIK P P = P/A = P/A P P TEGANGAN NORMAL TEKAN P P s s = P/A = P/A P P

GAYA YANG BEKERJA SEJAJAR POTONGAN Tegangan Geser Rata - rata GAYA YANG BEKERJA SEJAJAR POTONGAN TEG. GESER MENIMBULKAN s = P Cosa / ANormal P AGeser ANormal AGeser t = P / AGeser

Tegangan Geser Rata - rata ½ P P ½ P t = P / Total AGeser Total AGeser = AGeser 2 x Luas Penampang Baut

Menentukan s dan t Perhitungan TEGANGAN PERLU DIPAHAMI MAKSUD DAN TUJUANNYA MEMILIH PERUMUSAN s atau t PERHITUNGAN PENENTUAN GAYA DAN LUAS PENAMPANG AKAN MENJADI MASALAH BESAR BILA TIDAK MEMAHAMI MEKANIKA TEKNIK I HASIL PERHITUNGAN

Menentukan Besarnya Gaya MENGGUNAKAN PERSAMAAN STATIKA : S FX = 0 S MX = 0 S FY = 0 S MY = 0 S FZ = 0 S MZ = 0 Menentukan Luas Penampang UNTUK MENDAPATKAN TEGANGAN YANG MAKSIMUM DIPILIH LUASAN TERKECIL

Menentukan Luas Penampang CONTOH : LUAS PENAMPANG TERKECIL YANG DIPILIH UNTUK MNENDAPATKAN TEGANGAN MAKSIMUM

Tegangan SOAL : 1. A B W C D a P 2. b P d1 d2 Bila W = 10 Ton, a = 30o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, kabel BD = 7 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan BD. SOAL : 1. A B W C D a Bila Diameter Baut = 30 mm, b = 200 mm, d1 = 8 mm, d2 = 12 mm, P = 2000 kg, maka hitung te -gangan MAX pada masing – masing ba -tang dan tegangan Geser pada Baut. P 2. b P d1 d2

BEBAN P DINAIKKAN TERUS MENERUS Static Test BEBAN P DINAIKKAN TERUS MENERUS P MATERIAL UJI PUTUS MATERIAL UJI P BEBAN ULTIMATE PUlt A P TEG. ULTIMATE

Regangan MATERIAL UJI P BEBAN REGANGAN L STATIC TEST BEBAN P L -. P Dinaikkan terus sampai yang dikehendaki - Setiap kenaikan P dilakukan pencatatan deformasi yang tertera dalam dial gauge

BERUBAH SESUAI DENGAN PERUBAHAN BEBAN Regangan D = e REGANGAN L BERUBAH SESUAI DENGAN PERUBAHAN BEBAN BAHAN 1 BAHAN 2 P (Beban) Diagram P - D D (Deformasi)

Diagran Tegangan - Regangan SIFAT FISIS SUATU MATERIAL DAPAT DILIHAT DARI HUBUNGAN DIAGRAM TEGANGAN – REGANGAN DARI MATERIAL YANG BERSANGKUTAN KENAPA ?? s (Tegangan) BAHAN 1 BAHAN 2 P (Beban) Diagram P - D BAHAN 1 BAHAN 2 e Regangan Gbr. A Gbr. B Diagram s - e

Diagran Tegangan - Regangan MATERIAL 1 dan MATERIAL 2, SAMA LUAS PENAMPANG MATERIAL 2 < MATERIAL 1 HUBUNGAN P – D MATERIAL 1 TIDAK SAMA DENGAN MATERIAL 2 - HUBUNGAN s – e MATERIAL 1 SAMA DENGAN MATERIAL 2, WALAUPUN LUAS PENAMPANGNYA BERBEDA JADI UNTUK MENGETAHUI SIFAT FISIS DARI SUATU MATERIAL LEBIH COCOK MENGGUNAKAN GAMBAR B

Diagram Tegangan - Regangan s (Tegangan) s (Tegangan) Batas Proposional e Regangan e Regangan MATERIAL BAJA MATERIAL BETON

s e s e E E HUKUM HOOKE = X s (Tegangan) = s e e Regangan KONDISI ELASTIS = E s e PENENTUAN TITIK LELEH METODE OFF-SET s (Tegangan) Batas Proposional s = TEGANGAN = REGANGAN E = MODULUS ELASTISITAS e e Regangan

HUKUM HOOKE SOAL : Pada suatu batang dengan panjang L=100 cm dilakukan Static Test. Bila beban P yang diberikan sebesar 4000 kg, batang masih dalam kondisi elastis, uluran batang bertambah 2 mm, maka berapakah Regangan batang tersebut dan berapakan tegangan yang terjadi pada batang tersebut ?? Bila Modulus Elastisitasnya 2 x 106 kg/cm2. Hitung pula luas penampang batang tersebut. P L

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial P3 P2 P4 P1 Px Px Gaya Px bekerja pada elemen dx dan menim -bulkan deformasi dD dx e d x + dx dD = dx e s P dx dx = E Ax E

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial CONTOH : B B = Px . dx / Ax . E P = Px Px A L D = Px / Ax . E dx L dx D = P . X / Ax . E L A Px Ax = A , Px = P D = P . L / E . A P P Deformasi akibat beban P, berat sendiri diabaikan

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial DEFORMASI AKIBAT BEBAN BERAT SENDIRI ADALAH : = Px . dx / Ax . E = 1 / A . E w . X . dx A B L = ½ . W.x2 / A . E = w . L2 / 2 . A . E = WT . L / 2 . A . E L DEFORMASI AKIBAT BEBAN P DAN BERAT SENDIRI ADALAH : D = P.L / A.E + WT.L / 2.A.E = D = L (P + ½.WT) / A.E

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial SOAL : Bila diameter batang AB dan BC adalah 20 mm, a = 30o dan Modulus Elasti - sitasnya adalah 2x106 kg/cm2, maka hitung penurunan titik B. C 100 cm 100 cm 1. A a B D E 1000 kg Hitung P1/P2, agar setelah P1 dan P2 bekerja, panjang kedua batang tersebut tetap sama, bila b1 = 50 mm, b2 = 50 mm, b3 = 25 mm, h1 = 500 mm, h2 = 500 mm dan tebal masing – masing kedua batang tersebut = 20 mm. 2. b2 P2 h1 b1 b3 h2 P1 ½ P2

Bentuk menjadi MEMANJANG dan MENGECIL Poisson’s Ratio REGANGAN REGANGAN AKSIAL REGANGAN LATERAL Bentuk menjadi MEMANJANG dan MENGECIL POISSON’S RATIO ( ) = e Lateral Aksial Beton = 0.1 – 0.2 Karet = 0.5 – 0.6

Hubungan Poisson’s Ratio, Tegangan dan Regangan sx txz txy tyz tyx tzy tzx sy sz sy sx

Hubungan Poisson’s Ratio, Tagangan dan Regangan sz sy

Hubungan Poisson’s Ratio, Tagangan dan Regangan sx sy sz ex = + - - E E E sx sy sz ey = - + - E E E sx sy sz ez = - - + E E E

Tegangan dan Regangan Geser TEGANGAN GESER tyz tzy tzy g/2 A C B B A tyz tyz O O tzy C g = REGANGAN GESER tzy (dy.dx).dz - (dx.dz.).dy = 0 tyz = S MO = 0 tyz kiri = - tyz kanan S Fz = 0

Tegangan dan Regangan Geser PERUBAHAN BENTUK YANG DINYATAKAN DENGAN PERUBAHAN SUDUT ‘ g ‘ ADALAH MERUPAKAN “REGANGAN GESER” Hukum HOOKE untuk Tegangan dan Regangan Geser : t t g = . G = Tegangan Geser = Regangan Geser = Modulus Geser = Poisson’s Ratio g E G = 2 (1+ ) G Hubungan Modulus Elastisitas Normal dengan Modulus Geser

Lentur Murni Pada Balok Lenturan yang hanya diakibatkan oleh MOMEN saja d

Lentur Murni Pada Balok Ya Yb = C e s max max D/2 D/2 Keseimbangan Gaya : Panjang Awal s ( Y/C . max ) dA = 0 S FX = 0 A s/C Y . dA = 0 A

Lentur Murni Pada Balok MOMEN : s s M = ( Y/C . max ) dA . Y = max Y 2 . dA A A Y2 . dA = I = MOMEN INERSIA A s max = M . C / I s M = ( max / C ) . I TEGANGAN SERAT ATAS TEGANGAN SERAT BAWAH max = M . Ya / I s max = M . Yb / I s

Lentur Murni Pada Balok SECARA UMUM : s max = M . Y / I I / Y = W (Momen Tahanan) I / Ya = Wa I / Yb = Wb I = Y 2 . dA MOMEN INERSIA A

Momen Inersia h/2 CONTOH : Ix = y 2 . dA = Y 2 . b . dy y A -h/2 h/2 = 1/3 . y3. b = 1/3 . (1/8 + 1/8) . h3. b -h/2 h/2 x = 1/3 . 1/4. h3. b = 1/12 . b. h3 b -11/2 11/2 1/2 y Ix = 3.y 2 . dy + 2 y 2 . dy 2 -2 -11/2 x 2 1 + 3.y 2 . dy 2 11/2 3

Momen Inersia = 3/3 . y3 -2 -11/2 11/2 2 + 2 . 1/3 . y3 + 3/3 . y3 CONTOH : = 3/3 . y3 -2 -11/2 11/2 2 + 2 . 1/3 . y3 + 3/3 . y3 -11/2 11/2 = (-11/2)3 – (-2)3 + 2/3 . (11/2)3 - 2/3 . (-11/2)3 + 23 - (11/2)3 = 13,75 CARA LAIN : = 1/12 . 3 . 4 – 1/12 . 1 . 33 = 16 – 2,25 = 13,75 LEBIH SINGKAT

Menghitung Tegangan Pada Balok 10.000 kg 10 cm 10 cm 30 cm 400 cm 10 cm 30 cm LUAS : A = ( 2 . 30 . 10 ) + (10 . 30 ) = 900 cm2 MOMEN INERSIA : I = 1/12 . 30 . 503 – 2 . 1/12 . 10 . 303 = 267.500 cm4

Menghitung Tegangan Pada Balok MOMEN TAHANAN : Wa = Wb = I/y = 267.500 / 25 = 10.700 cm3 MOMEN YANG BEKERJA (Beban Hidup Diabaikan) : MMax = ¼ . 10.000 . 400 = 1.000.000 kg-cm. TEGANGAN MAKSIMUM YANG TERJADI : s Max = MMax / W = 1.000.000 / 10.700 = 93,46 kg/cm2

Menghitung Tegangan Pada Balok s Max s1 - yMax y1 = 20 cm + s Max s1 = M / W1 = 1.000.000 . 20 / 267.500 = 74.77 kg/cm2 W1 = I / y1

Latihan Soal Momen Inersia Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy ) Sb X Sb Y 30 cm 1 10 cm 40 cm 10 cm 10 cm 8 cm 10 2 20 cm Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy ) Sb X Sb Y

Latihan Soal Lentur Murni 400 cm 200 cm 1500 kg 1 2 A B C 30 cm 10 cm 8 cm 100 kg/m (Termasuk berat sendiri) 80 cm Gambar Bidang Momennya Hitung Momen Inersia Penampang Balok Hitung Tegangan – tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannya Hitung Tegangan Maksimum yang terjadi

Lenturan Tidak Simetris Sb x Sb y q qCos a qSin a a L q Terjadi Momen terhadap sumbu x (MX) dan terhadap Sumbu y (MY) MX = 1/8 . qCos a . L2 MY = 1/8 . qSin a . L2 Momen yang lenturannya mengitari Sumbu ‘X’ Momen yang lenturannya mengitari Sumbu ‘Y’

Tegangan pada Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris q Sb y b/2 c b/2 Sb x h/2 d sa sb sc sd MX . h/2 Ix + My . b/2 Iy = - o h/2 qSin a b a a qCos a q MX = 1/8 . qCos a . L2 MY = 1/8 . qSin a . L2 Ix = 1/12 . b . h3 Iy = 1/12 . h . b3

Contoh Soal Tegangan Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris q P B A L = 300 cm, q = 100 kg/m, P = 200 kg, h = 20 cm, b = 10 cm, a = 30o P berjarak 150 cm dari B Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f. Dimana titik e berjarak 5 cm dari sumbu x dan 3 cm dari sumbu y. Titik f berjarak 6 cm dari sumbu x dan 4 cm dari sumbu y. Sb y b/2 c b/2 Sb x h/2 d f o h/2 e b a a

Tugas I 1. Bila W = 8 Ton, a = 90o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, batang BD masing – masing = 6 x 3 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan tegangan maksimum batang BD. Hitung Penurunan titik B dan tegangan geser yang terjadi pada baut As. B. Diameter baut As B = 20 mm. Diketahui Modulus Elastisitas Batang BD = 2x106 kg/cm2. D W 50 cm B B A a C W

Gambar Bidang Momennya Hitung Momen Inersia Penampang Balok 2. 80 cm 2000 kg/m (Termasuk berat sendiri) 200 cm 80 cm 1 2 B C A 400 cm 200 cm 1000 kg 1000 kg 30 cm Gambar Bidang Momennya Hitung Momen Inersia Penampang Balok Hitung Tegangan – tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannya Hitung Tegangan Maksimum yang terjadi pada balok ABC. 10 cm 25 cm 20 cm 8 cm 10 cm 8 cm

3. a 10 cm 8 cm 10 20 cm b c d e f L q P B A L = 300 cm, q = 1000 kg/m, P = 2000 kg, a = 30o, P berjarak 100 cm dari B. Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f.

DISTRUBUSI TEGANGAN ELASTIS Balok Dua Bahan exE1 dx ex dy 1 ea y a h 2 e ee 1 eeE2 b1 eeE1 b2 DISTRUBUSI TEGANGAN ELASTIS DISTRUBUSI TEGANGAN DALAM SATU BAHAN

Irisan Padanan dalam Bahan 1 Irisan Padanan dalam Bahan 2 Balok Dua Bahan b2.n2 b2 b2/n1 b1 b1.n1 b1/n2 Irisan Padanan dalam Bahan 1 Irisan Padanan dalam Bahan 2 E1 > E2, n1 = E1 / E2, n2 = E2 / E1

Contoh Soal Balok Dua Bahan 1000 kg Beton 1 a 400 cm 1 12 cm b A B 1 Baja 2 36 cm 1200 cm Bahan 1 = Beton Bahan 2 = Baja c 12 10 12 E beton = 200.000 kg / cm2 ; E baja = 2.000.000 kg /cm2 Hitung tegangan yang terjadi pada penampang 1 – 1 di serat ‘a’, serat ‘b’ beton, serat ‘b’ baja dan serat ‘c’. Gambarkan pula diagram tegangannya. Berat sendiri balok diabaikan

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis DIAGRAM TEGANGAN - REGANGAN

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis Distrubusi Regangan Distrubusi Regangan Elastis Distrubusi Regangan nonElastis s s Bila pengaruh D aob dan cod kecil a c o b d e e

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh C h/4 h h/4 T Momen Plastis yang dapat dipikul = C . ½ . h = T . ½ . h C = T = yp ( bh/2) Momen Plastis Balok Segi - 4 adalah : Mp = yp . bh/2 . h/2 = yp . bh /4 s s s 2

Balok Segi- 4 yang mengalami Plastis Penuh Secara Umum dapat ditulis : Mp = . y dA = 2 ( yp ) . y . b . dy h/2 s s h/2 s s yp . y2 . b = yp . bh /4 2 Bila dihitung dengan Rumus Elastis : Myp = yp . I / (h/2) = yp . 1/12 b h3 / ( h/2 ) = yp . b . h2 / 6 s

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh Mp / Myp = yp . b . h2 / 4 s yp . b . h2 / 6 = 1,5 SHAPE FACTOR Penampang yang mengalami Elastis - Plastis Leleh Banyak (Elastis-Plastis) Leleh Total (Plastis) h/2 yo Leleh Sedikit (Elastis-Plastis)

Penampang yang mengalami Elastis - Plastis Momen Elastis-Plastis yang dapat dipikul dengan kondisi distribusi tegangan yang mengalami leleh sebagian, adalah : M = . y dA = 2 ( yp ) . y/yo . b . y. dy s yo h/2 + 2 ( yp) . b . y. dy yp . y3/yo . b o yo = 2/3s + syp . b . y2 h/2 s = 2/3 yp . yo2 . b + yp . bh2 / 4 - yp . b . yo2 = yp . bh2 / 4 – 1/3 yp . b . yo2 = Mp – 1/3 yp . b . yo2 s

Tegangan Geser - Lentur q (x) V+dV V dx M x M+dM S MA = 0 (M + dM) – M – (V + dV) . dx + q . dx . dx/2 = 0 M + dM – M – V . dx + dV . dx + ½ . q . dx2 = 0 dx kecil kecil dM – V . dx = 0 dM = V . dx dM / dX = V ATAU

Tegangan Geser - Lentur Persamaan ini memberikan arti bahwa : SETIAP ADA PERBEDAAN MOMEN LENTUR PADA IRISAN YANG BERDAMPINGAN, MAKA AKAN MENIMBULKAN GESERAN dM / dx = V Contoh : Tidak Ada Geseran M L/3 L/3 L/3 Bid. M Ada Geseran M M+dM Bid. D

Tegangan Geser - Lentur Tegangan Geser Akibat Beban Lentur a b d f h j e g FA FB R FB = Afghj - MB . Y I dA - MB = Y . dA = - MB . Q I Q = Y . dA = Afghj . Y Afghj

Tegangan Geser - Lentur dF/dx = q = Aliran Geser = SHEAR FLOW Tegangan Geser Akibat Beban Lentur - MA I = Y . dA Aabde FA - MA . Q FB – FA = R Dipikul Alat Penghubung Geser = - MB . Q I - - MA . Q dF Sepanjang dx = ( MA + dM ) . Q – MA . Q I dM . Q dF/dx = q = Aliran Geser = SHEAR FLOW q = dM . Q / dx . I = V . Q / I

Tegangan Geser Akibat Beban Lentur Contoh : = 50 . 200 . 25 + 50 . 200 . 150 50 . 200 + 50 . 200 87,5 cm Yc 200 mm 50 mm Y1 V = 30.000 kg, kekuatan paku = 7000 kg 50 mm Yc I = 200 . 503 / 12 + 50 . 200 . 62,52 = 50 . 2003 / 12 + 50 . 200 . 62,52 = 113.500.000 mm4 = 11.350 cm4 200 mm Q = 50 . 200 ( 87,5 – 25 ) = 625.000 mm3 = 625 cm3 atau, Q = 50 . 200 . 62,5 = 625.000 mm3 = 625 cm3 Y1 = 250 – Yc - 200 / 2 = 62,5 mm q = V . Q / I = 30.000 x 625 / 11.350 = 1.651 kg / cm Jarak paku yang dibutuhkan = 7000 / 1651 = 4,24 cm

Soal : Bila kemampuan paku bagian atas adalah 7000 kg dan paku bagian bawah 5000 kg, maka hitunglah jarak paku atas dan bawah mulai dari ujung A hingga B , agar penampang tersusun tersebut kuat memikul beban q. Jarak paku atas dan bawah dibuat 3 macam ukuran jarak. 200 mm 50 mm 30 mm 150 mm q = 3000 kg/m 600 cm A B 100 200

Diagram Tegangan Geser Arah Longitudinal : t = dF / t.dx = ( dM / dx ) . ( A . Y / I . t ) = V . A . Y / I . t = V . Q I . t t q 1/8 . V. h2 I Contoh : t = b h dy f g j y y1 = V . Q I . t t q V Y . dA A

Diagram Tegangan Geser h/2 h/2 t V V Y2 2 = b . y . dy = x I . b I y1 y1 V 2 . I = ( b/2 ) 2 – y12 Bila y1 = 0, maka V 2 . I = h2 4 x 1/8 V . h2 1/12 . b .h3 3 . V 2 . b. h 2 . A t

Soal : Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 100 cm dari titik B. 20 cm 5 cm 3 cm 15 cm a b c d e q = 3000 kg/m 600 cm A B P = 1500 kg 1 200 cm

Tahapan pengerjaan : 20 . 5 . 2,5 + 20 . 5 . 15 + 15 . 3 . 26,5 Menghitung Posisi Garis Netral 20 . 5 . 2,5 + 20 . 5 . 15 + 15 . 3 . 26,5 20 . 5 + 20 . 5 + 15 . 3 = Yc 12,01 cm Dari Atas 2. Menghitung Momen Inersia I 1/12 . 20 . 53 + 20 . 5 . 9,512 + 1/12 . 5 . 203 + 20 . 5 . 2,952 + 1/12 . 15 . 33 + 15 . 3 . 14,492 208,33 + 9044,01 + 3333,33 + 870,25 + 33,75 + 9448,20 22937,88 cm4

3. Menghitung Gaya Geser Ra = 3000 . 6/2 + 2/3 . 1500 = 10.000 kg Rb = 3000 . 6 + 1500 - 10.000 kg = 9.500 kg Va = 10.000 kg ; V1 = - 9.500 + 3000 . 1= - 6.500 kg Pada Penampang ‘A’ dengan Gaya Geser 10.000 kg t Posisi A y Q q = V.Q / I t = q / t a 12.01 20 b1 100 9,51 951 414,6 20 20,73 b2 100 9,51 951 414,6 5 82,92 100 9,51 c 1073,85 468,16 5 93,63 35.05 3.505 d1 45 14.49 652.05 284,27 5 56,854 d2 45 14.49 652.05 284,27 15 18,951 e 15.99 15

t Pada Penampang ‘1’ dengan Gaya Geser 6.500 kg A y Q q = V.Q / I t Posisi A y Q q = V.Q / I t = q / t a 12.01 20 b1 100 9,51 951 269,49 20 13,474 b2 100 9,51 951 269,49 5 53,89 100 9,51 60,86 c 1073,85 304,30 5 35.05 3.505 d1 45 14.49 652.05 184,774 5 36,955 d2 45 14.49 652.05 184,774 15 12,318 e 15.99 15

Gambar Diagram Tegangan Geser : 20 cm a 5 cm b 82,92 53,89 20,73 13,474 c 93,63 60,68 5 cm 20 cm d 18,951 12,318 3 cm 56,854 36,955 e 15 cm Gaya Geser 10.000 kg Gaya Geser 6.500 kg

Variasi Aliran Geser Variasi Aliran Geser digunakan untuk menentukan PUSAT GESER, agar beban vertikal yeng bekerja tidak akan menimbulkan puntiran pada penampang, bila dikerjakan pada PUSAT GESER.

to to to Pusat Geser F1 P V=P h e F1 ½ . . b . t . h P b. t. h . V . Q e = F1 . h / P = = 2 . P . I . t . b . t . h V . ½ . h . b . t b2 . h2 . t = x = 2 . P I . t 4 . I

Soal : F1 F2 P 10 cm Tentukan PUSAT GESER dari penampang seperti pada gambar. V=P e 50 cm 10 cm 10 15 30 PERSAMAAN YANG DIGUNAKAN : e . P + F1 . 60 = F2 . 60 e = ( F2 . 60 – F1 . 60 ) / P t1 t2 F1 = ½ . . 17,5 . 10 F2 = ½ . . 37,5 . 10

t1 t2 Perhitungan : = 0,00045 . P kg/cm2 0,00097 . P kg/cm2 0,0394 . P I = 1/12 . 55 . 703 - 1/12 . 40 . 503 = 1.155.416,67 cm4 t1 t2 P . 17,5 . 10 . ½ . 60 P . 37,5 . 10 . ½ . 60 = V . Q I . t 1.155.416,67 . 10 0,00045 . P kg/cm2 0,00097 . P kg/cm2 F1 = 0,00045 . P . 17,5 . 10 ½ . 0,0394 . P F2 = 0,00097 . P . 37,5 . 10 0,1820 . P e = 0,0394 . P . 60 - 0,182 . 60 : P 8,556 cm Perhitungan : Agar batang tidak mengalami puntiran, maka beban P harus diletakkan sejarak e = 8,556 cm ( lihat Gambar )

MOMEN PUNTIR DALAM sama dengan MOMEN PUNTIR LUAR TORSI (Puntiran ) 20 N-m 10 N-m 30 N-m Bidang Potongan MOMEN PUNTIR DALAM sama dengan MOMEN PUNTIR LUAR Torsi atau Puntiran yang dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika Bahan ini hanya terbatas pada Batang berpenampang BULAT saja.

TORSI (Puntiran ) M M M M M(x) Momen Puntir pada ujung batang Momen Puntir merata pada seluruh batang M(x)

TORSI (Puntiran ) tmax tmax tmax tmax r r r r r C . dA . = T C Tegangan C r Luas Gaya Lengan Momen Torsi Atau dapat ditulis : tmax r . dA = T 2 C A r . dA 2 = IP = Momen Inersia Polar A

p p tmax tmax Puntiran pada LINGKARAN dapat ditentukan denga rumus : Contoh Momen Inersia Polar untuk LINGKARAN C C r 4 p 32 p d 4 4 C r . r . r . 2 . dA = 2p 3 d = 2p = = 4 2 A Puntiran pada LINGKARAN dapat ditentukan denga rumus : tmax . IP T = MOMEN PUNTIR C tmax T . C = TEGANGAN PUNTIR . IP Contoh Soal Hal. 72 dan 73, Contoh 3-2 dan 3-3

tmax tdalam p tmax tluar Contoh 3 - 3 ( 0,024 – 0,0164 ) IP = = Sebuah tabung diputar dengan momen puntir T = 40 N-m, diameter luar tabung = 20 mm dan diameter dalam tabung = 16 mm. Hitunglah tegangan geser puntir di dalam dan di luar tabung. PENYELESAIAN : p ( 0,024 – 0,0164 ) IP = = 9,27 . 10-9 m4 32 tmax 40 . 0,01 tluar 40 . 0,008 = = 9,27 . 10-9 9,27 . 10-9 = 43,1 . 106 N/m2 = 34,5 . 106 N/m2

Sudut Puntiran gmax gmax gmax t max gmax gmax gmax t max dx x df o B D c Sudut puntiran didefinisikan sebagai f dan dengan menyatakan besarnya sudut DAB = gmax, maka : gmax gmax Sebanding dengan t max BD = . dx t max BD = df . c gmax = gmax G = df . c G = Modulus Geser gmax df dx . c = t max = T . c / IP

Sudut Puntiran T(x) . dx / IP(x) . G f = df = df = T . dx / IP . G Dengan demikian , maka : gmax = T . c / IP . G df dx . c = T . c / IP . G df = T / IP . G dx df = T . dx / IP . G B A B T(x) . dx / IP(x) . G f = df = A PELAJARI CONTOH 3 – 6 dan 3 – 7, halaman 78 dan 79

Tegangan Majemuk s s t t t Tegangan yang mungkin terjadi pada suatu benda adalah sebagai berikut : Tegangan Normal yang terjadi akibat Gaya Aksial : ( = P / A ) 2. Tegangan Normal akibat Lentur : ( = M . Y / I ) 3. Tegangan Geser akibat Gaya Geser : ( = P / A ) atau ( = V . Q / I . t ) 4. Tegangan Geser akibat Torsi : ( = T . r / IP ) s s t t t Ada kalanya suatu benda mengalami tegangan - tegangan tersebut secara bersama sama. Sehingga untuk mengetahui tegangan total yang terjadi perlu dilakukan penjumlahan.

Penampang di tengah bentang Tegangan Majemuk Tegangan – tegangan yang dapat dijumlahkan adalah tegangan – tegangan yang sejenis. Tegangan Normal dijumlahkan dengan Tegangan Normal, sedangkan Tegangan Geser dijumlahkan dengan Tegangan Geser. Contoh : F e L P M1 = ¼ . P . L Penampang di tengah bentang M2 = F . e

Tegangan Majemuk Tegangan total yang terjadi pada potongan tengah bentang di serat atas dan bawah adalah : s = ( - F / A ) + ( M1 . Y / I ) + ( M2 . Y / I ) = ( - F / A ) + ( ¼ . P . L ) + ( F . e . Y / I ) + + =

Tegangan Majemuk s s Contoh : Tegangan yang terjadi adalah : e A P P . e W s = + 1/6 . b . h2 P . e = A P + M = P . e Agar sisi B tidak terangkat, maka berapakah jarak e maksimum ??, Bila berat sendiri pondasi diabaikan P b h P A B Persamaan yang digunakan : 1/6 . b . h2 P . e = A P + s = O

Tegangan Majemuk s A P 1/6 . b . h2 P . e = + = O b h P A B A P P . e

KOLOM M = P . d = P . zo + P . yo yo P P P zo d d Momen yang ditimbulkan akibat adanya Eksentrisitas : M = P . d = P . zo + P . yo

Diagram Tegangan pada Kolom zo yo yo zo d

Tugas II 1 E-bahan 1 = 200.000 kg / cm2 E-bahan 2 = 100.000 kg / cm2 3 10 cm q = 3000 kg/m 600 cm A B P = 1500 kg 1 200 cm 10 cm 20 cm 10 cm Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada masing – masing bahan di potongan ‘1’ dari balok A – B. Potongan ‘1’ berjarak 100 cm dari titik B.

2 P = 1500 kg 1 200 cm q = 3000 kg/m b c A B d 600 cm e f Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan ‘1’ yang berjarak 200 cm dari titik B.

3 q 1 P h F e F F A b B L Diketahui : L = 20 m, b = 50 cm, h = 100 cm, P = 50 ton, F = 100 ton, e = 30 cm dari garis netral, q = 5 ton / m. Potongan ‘1’ berjarak 5 m dari titik A. Hitung Tegangan gabungan di serat atas dan bawah dari penampang pada potongan ‘1’ dan di tengan bentang.

4 P Bila P = 5000 kg, h = 120 cm, b= 150 cm dan e = 40 cm, maka hitunglah tegangan yang terjadi di titik E dan F. Berat sendiri pondasi diabaikan. Tentukan ‘e’ agar tegangan di titik F = 0 e C D O E F h P A B b

Tentukan dan Gambarkan batas – batas KERN - nya 5 20 cm Tentukan dan Gambarkan batas – batas KERN - nya 70 cm 20 cm 10 20 40 Tugas II ini dikumpulkan pada saat Ujian Tengah Semester

smax sa sn sma smin sb sn smb KERN / GALIH / INTI y N ka ya x O yb kb N Posisi Beban di atas titik O smax sa sn sma smin sb sn smb + = = + = = = + N / A + N . ca . ya / Ix = + N / A - N . ca . yb /Ix ya / Ix = Wa yb / Ix = Wb ca = Jarak ka ke titik O cb = Jarak kb ke titik O

KERN / GALIH / INTI smax sb sn smb smin sa sn sma smin smin sb sn smb Posisi Beban di bawah titik O smax sb sn smb smin sa sn sma + = = + = = = + N / A + N . cb . yb / Ix = + N / A - N . cb . ya / Ix smin Kejadian khusus, bila = O, sehingga perumusannya menjadi : Posisi Beban di atas titik O smin sb sn smb = = + Ca = Wb / A = + N / A - N . ca . yb / Ix = O = + N / A - N . ca / Wb = O Ca = ka Kern Atas = ( Wb / A – ca ) . N / Wb = O

KERN / GALIH / INTI smin sa sn sma Cb = Wa / A ka = ix / yb Posisi Beban di bawah titik O smin sa sn sma = = + Cb = Wa / A = + N / A - N . cb . ya / Ix = O = + N / A - N . cb / Wa = O Cb = kb Kern bawah = ( Wa / A – cb ) . N / Wa = O Dalam bentuk lain : Ix A Ix A ix = ix = 2 ka = ix / yb 2 Wa = Ix / ya Ix kb = ix / ya 2 A = ix 2 Wb = Ix / yb

Dibatasi Titik tak Berhingga KERN / GALIH / INTI Macam – macam bentuk KERN : Dibatasi 4 Titik Dibatasi 6 Titik Dibatasi 4 Titik Dibatasi Titik tak Berhingga

KERN / GALIH / INTI Y df x xa = x Cos a + y Sin a a Ya ya Xa ya = y Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring : Y df x xa = x Cos a + y Sin a a Ya ya Xa ya = y Cos a - x Sin a xa 2 ya = Ixa df a a X = y 2 Cos a x + Sin a - 2xy df Ix Iy 2 Sxy Ixa 2

KERN / GALIH / INTI 2 xa = Iya df = x 2 Cos a 2 + y Sin a 2 2 + 2xy Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring : 2 xa = Iya df = x 2 Cos a 2 + y Sin a 2 2 + 2xy Sin a Cos a df = Ix Sin a 2 + Iy Cos a 2 + 2 Sxy Sin a Cos a

KERN / GALIH / INTI Contoh Menentukan batas – batas KERN : 2 cm 2 16 10 y x 3,2 Menentukan posisi garis netral : 2.20.1 + 8.2.6.2 x = = 3,2 cm 2.20 + 8.2.2 A = 2.20 + 8.2.2 = 72 cm Ix = 1/12.2.203 + 1/12.8.23.2 + 8.2.92.2 = 3936 cm4 3936 Wax = = 393,6 cm3 10 3936 Wbx = = 393,6 cm3 10

KERN / GALIH / INTI Contoh Menentukan batas – batas KERN : Ix = 1/12.20.23 + 1/12.2.83.2 + 20.2.(2,2)2 + 2.2.8.(2,8)2 = 628,48 cm4 628,48 Wkr y = = 196,4 cm3 3,2 628,48 Wkn y = = 92,42 cm3 6,8 Wbx 393,6 Kkr y = Wkn y A 72 92,42 1,28 cm Ka x = = A 72 = 5,46 cm Kb x = Wax A 393,6 72 5,46 cm Wkr y 196,4 Kkny = = A 72 = 2,72 cm

KERN / GALIH / INTI Gambar batas – batas KERN : 1,28 cm 2,72 cm y 2 cm 16 x 5,46 cm 2 2 10 3,2

SELESAI

6.1. TEGANGAN A. PERSAMAAN TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG                                                                                                          

- Tegangan tarik normal adalah positif (+) - Tegangan tekan adalah negatif (-) Menggunakan persamaan keseimbangan statika :                                                 

Dengan mengubah orientasi sebuah elemen, seperti ditentukan oleh sudut untuk elemen, maka dapat digambarkan status  tegangan pada suatu  titik dengan jumlah  cara yang tidak terhingga banyaknya,  yang kesemuanya setara                                                                                                  

Dalam hal ini, hukum transformasi tegangan pada suatu titik akan dikembangkan,  yaitu persamaan-persamaan yang akan diturunkan untuk mentransformasi tegangan yang setara yang bekerja pada bidang yang melalui titik tertentu. Bidang-bidang dimana  Tegangan- tegangan  mencapai intensitas  maksimum akan  ditentukan. Dengan cara yang sama, tegangan geser adalah:                                                 Catatan : Persamaan  1 dan  2 adalah  pernyataan  umum untuk  tegangan   normal dan  tegangan geser pada bidang dengan sudut     x,   y dan  xy adalah tegangan yang diketahui. u s s s

Contoh Soal                                      Jawab                                                                           

B. TEGANGAN UTAMA Tegangan utama ialah tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama. Pada bidang utama,  dimana bekerja tegangan  normal maksimum dan minimum, tidak akan terdapat tegangan geser. Untuk mendapatkan letak bidang utama maka digunakan persamaan :                      

u mempunyai 2 harga yang berbeda 180o                                                                 

Harga cos2   dan sin2   dimasukkan dalam persamaan transformasi tegangan diperoleh :                                                           C. TEGANGAN GESER MAKSIMUM DAN MINIMUM Tegangan geser maksimum dan minimum dapat diketahui letaknya dengan menurunkan rumus tegangan geser terhadap sudut dan disamakan dengan nol. u u

dengan cara yang sama seperti mencari tegangan utama, maka tegangan geser adalah :                              Pada tegangan utama tegangan gesernya sama dengan nol. Tapi pada tegangan geser maksimum tegangan normalnya tidak sama dengan nol. Bila harga sinus dan cosinus untuk tegangan geser dimasukkan ke persamaan transformasi, didapat     tegangan normal

                 Jadi tegangan geser maksimum selalu bekerja bersama-sama dengan tegangan normal kecuali bila  x dan  y sama dengan nol. Bila  x dan  y adalah merupakan tegangan utama, maka  xy = 0 , dan tegangan geser maksimumnya :                      u u t u u

D. LINGKARAN TEGANGAN MOHR Untuk menghitung tegangan yang bekerja pada suatu bidang dari sebuah elemen, disamping dengan menggunakan persamaan transformasi, juga bisa menggunakan "Lingkaran MOHR". Persamaan transformasi 1 dan 2 dapat dituliskan kembali sebagai berikut :