KELOMPOK 8 > Muhamad kakah f > Mimin cahyuni > Dwi w PELUANG KELOMPOK 8 > Muhamad kakah f > Mimin cahyuni > Dwi w

PETA KONSEP PELUANG PENGERTIAN KAIDAH PENCACAHAN BINOMIAL ATURAN TEMPAT PENGISISAN TERSEDIA PELUANG SUATU KEJADIAN PERMUTASI TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL KOMBINASI

Pengertian Peluang Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa

Peluang disebut juga ilmu probabilitas, yang berarti ilmu kemungkinan Peluang disebut juga ilmu probabilitas, yang berarti ilmu kemungkinan. Didalam peluang dikenal ruang sampel

Pengertian peluang RUANG SAMPEL Contoh Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah kartu yang di beri nomor 1 sampai 6. Maka ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,5,6) Adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Ruang sampel biasa di notasikan dengan S

Kaidah pencacahan Misalkan tersedia 3 buah huruf (A,B dan C ), akan dibentuk susunan huruf yang terdiri atas ketiga huruf itu. Masalahnya ada berapa banyak susunan yang dapat dibentuk apabila urutannya diperhatikan ? Salah satu masalah diatas dapat dipecahkan dengan menggunakan kaidah pencacahan (counting rules)

Kaidah pencacahan Kaidah pencacahan terdiri dari tiga metode yaitu Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia(Aturan perkalian) Permutasi Kombinasi Kaidah pencacahan Kaidah pencacahan adalah suatu aturan untuk menghitung banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan.

1. Aturan perkalian Apabila terdapat n buah tempat tersedia dengan k1 adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat pertama, k2 adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga Kn adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat ke-n, maka Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah k1 x k2 x . . . X Kn

Untuk memahami aturan perkalian silahkan simak contoh berikut Chandra hendak bepergian dari kota A ke kota C. Dari kota A ke kota B terdapat dua jalan dan dari kota B ke kota C terdapat 3 jalan, seperti terlihat gambar berikut 1 3 A 2 B 4 C 5 Berapa banyak cara yg dapat ditempuh untuk bepergian dari kota A ke kota C ?

jawab Banyak cara bepergian dari kota A ke kota B ada 2 cara Banyak cara bepergian dari kota B ke kota C ada 3 cara Banyak cara bepergian dari kota A ke kota C ada 2 x 3 = 6 cara

Permutasi Sebelum membahas permutasi dan kombinasi terlebih dahulu diperlukan pembahasan tentang faktorial faktorial yaitu perkalian dari bilangan asli n *lambang/simbol dari faktorial = ! Untuk setiap bilangan Asli n didefinisikan n! = n(n-1) (n-2) (n-3)... 3.2.1 Dengan 1! = 1 dan 0! = 1 (n-1) ! = (n-1) (n-2) (n-3) ... 3.2.1 (n+1) ! = (n+1) (n) (n-1)(n-2) ...3.2.1

Permutasi Contoh soal Tentukan nilai dari a. 3! = 3.2.1 = 6 b.6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 c. 3! + 2! = (3.2.1) + (2.1) = 8 Tentukan bentuk umum dari a. 𝑛+1 ! 𝑛−1 ! = 𝑛+1 𝑛 (𝑛−1) (𝑛−1) = (n+1) (n) = n²+n b. 𝑛+2 ! (𝑛−1)! = 𝑛+2 𝑛+1 𝑛 (𝑛−1) (𝑛−1) = (n+2) (n+1) (n) n²+n+2n+2 = n²+3n+2+(n) n³+3n²+2n

Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda Banyak r unsur yang berbeda diambil dari n unsur yang tersedia dirumuskan sbb: nPr = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! r ≤ n nPr = n! r = n

Contoh soal 1. Tentukan nilai dari : a. ₅P₃ = 5! 2! = 5.4.3.2.1 2.1 = 5.4.3 = 60 b. ₇P₄ = 7! 3! = 7.6.5.4.3.2.1 3.2.1 = 7.6.5.4 = 840 2. Tentukan n jika a. (n+1)P₃ = nP₄  𝑛+1 ! (𝑛+1) −3 ! = 𝑛! 𝑛−4 !  𝑛+1 ! 𝑛−2 ! = 𝑛! 𝑛−4 !  𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 (𝑛−2) = 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)(𝑛−4) (𝑛−4)  (n+1) = (n-2)(n-3)  n+1 = n²- 5n +6  n²-5n – n + 6 – 1= 0  n²- 6n +5 =0  (n-5) (n-1) =0 n = 5 n=1

Permutasi dari unsur yang sama , permutasi siklis dan permutasi berulang Permutasi dari unsur-unsur yang sama Banyak permutasi dari n unsur yang tersedia jika : P= 𝑛! 𝑘! K unsur yang sama     P= 𝑛! 𝑘! 𝑙! 𝑚! K unsur yang sama L unsur yang sama m unsur yang sama  

Permutasi dari unsur yang sama , permutasi siklis dan permutasi berulang Permutasi siklis Banyak permutasi siklis dari n unsur yang tersedia adalah Psiklis = (n – 1)!

Permutasi dari unsur yang sama , permutasi siklis dan permutasi berulang Permutasi berulang Banyak permutasi r unsur yang berulang dari n unsur yang tersedia adalah Pberulang = nʳ

Contoh soal 1. Berapa banyak permutasi yang dapat disusun dari kata : a.Jakarta b.Purwakarta c.Matematika

Contoh soal Jawab. a. Jakarta k = a = 3 n = 7 P = 𝑛! 𝑘! = 7! 3! = 7.6.5.4.3.2.1 3.2.1 = 7.6.5.4 = 840 b. Purwakarta n = 10 k = r = 2 a = 3 P = 10! 2!3! = 10.9.8.7.6.5.4. 2.1 = 302.400

Contoh soal c. Matematika n = 10 k = m = 2 a = 3 t = 2 P = 10! 2!3!2! = 10.9.8.7.6.5.4 2.1.2.1 = 151200

Contoh soal 2. Ada 5 orang duduk di meja bundar, berapa banyak cara kelima orang tersebut dapat duduk di meja bundar? Jawab. Psiklis = (5-1)! = 4! = 24

Contoh soal 3. Dari angka-angka berikut ini disusun bilangan terdiri dari 3 angka dengan angka-angka boleh berulang. Berapa banyak susunan bilangan dapat dibentuk.? a.1,2,3 b.1,2,3,4 c.3,5,7,8,10

Contoh soal Jawab. a. 1,2,3 n = 3 r = 3 P = 3³ = 27 b. 1,2,3,4 n = 4 r = 3 P = 4³ = 64 c. 3,5,7,8,10 n = 5 r = 3 P = 5³ = 125

Kombinasi Pengertian Susunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Definisi Banyak r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dirumuskan nCr = 𝑛! 𝑛−𝑟 !𝑟! r ≤ n

Contoh soal Tentukan nilai dari a. 12C8 b. 10C2 solusi a. 12C8 = 12! 4!8! = 12.11.10.9 4.3.2.1 = 495 b. 10C2 = 10! 8!2! = 10.9 2.1 = 45

Contoh soal 2. Dalam sebuah kantong berisi 6 buah kelereng putih dan 4 kelereng merah. Dari kantong itu dapat diambil 4 buah kelereng. Berapa banyak pilihan untuk mengambil kelereng itu, terdiri atas a. 3 kelereng putih dan 1 kelereng merah b. 2 kelereng putih dan 2 kelereng merah

Solusi a. 6C3 x 4C1 6! 3!3! x 4! 3!1! 6.5.4 6 x 4 1 20 x 4 = 80 b. 6C2 x 4C2 6! 4!2! x 4! 2!2! 6.5 2 x 4.3 2 15 X 6 = 90

Pengertian percobaan,ruang sampel, dan kejadian Percobaan adalah suatu kegiatan yang memberikan beberapa kemungkinan hasil Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin muncul dari percobaan Titik sampel adalah anggota-anggota ruang sampel Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Kejadian Kejadian terbagi menjadi dua yakni: Kejadian sederhana/elementer adalah suatu kejadian yangn hanya mempunyai satu titik sampel Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik sampel lebih dari satu

Peluang suatu kejadian Menghitung peluang suatu kejadian menggunakan frekuensi nisbi Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian E muncul sebanyak K kali (0 ≤ k ≤ n) maka frekuensi nisbi munculnya kejadian E dirumuskan P (E) = 𝑘 𝑛

Peluang suatu kejadian B. Menghitung peluang suatu kejadian menggunakan ruang sampel Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan. Dan masing-masing anggota dari S mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Jika E adalah suatu kejadian dan E Ϲ S , maka peluang kejadian E dirumuskan P(E) = peluang kejadian E n (E) = Banyaknya kejadian E n(S) = Banyaknya ruang sampel P(E) = 𝑛 (𝐸) 𝑛 (𝑆)

Contoh : 1. Sebuah bilangan asli diambil secara acak dari bilangan-bilangan asli 1,2,3,...,7,8 dan 9.Jika E adalah kejadian munculnya bilangan genap,hitunglah nilai peluang kejadian E. Jawab: Karena pengambilan bilangan secara acak,maka bilangan itu memiliki kesempatan yang sama untuk terambil,sehingga n =9. Kejadian E adalah kejadian munculnya bilangan genap,yaitu 2,4,6,8,sehingga k=4 P(E)= 𝑘 𝑛 = 4 9

Jawab E = 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 ,(6,6) sehingga n(E) =6 2. Dua buah dadu berisi enam dilempar secara bersama-sama sebanyak satu kali.Hitunglah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 6. Jawab S = 1,1 , 1,2 , 1,3 ,…, 6,4 , 6,5 ,(6,6) dengan banyak anggota S = 6 . 6 = 36,sehingga n (S) =36 E = 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 ,(6,6) sehingga n(E) =6 P ( E)= 𝑛 (𝐸) 𝑛 (𝑆) = 6 36 = 1 6

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK Dengan menggunakan operasi antar himpunan,suatu kejadian baru (sederhana atau majemuk)dapat dibentuk dari dua atau lebih kejadian majemuk yang lain.Operasi antar himpunan yang dimaksud tadi adalah: Operasi gabungan,dilambangkan ∪ Operasi irisan,dilambangkan ∩ Kejadian majemuk terdiri dari empat metode : Menghitung peluang gabungan dua kejadian Menghitung peluang dua kejadian yang saling bebas Menghitung peluang kejadian bersyarat Peluang kejadian pada pengambilan contoh

Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang contoh S,maka peluang kejadian A ∪ B ditentukan dengan aturan P(A∪B)= P (A) + P (B) – P (A∩B)

contoh Dua keping mata uang logam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi gambar pada mata uang pertama, sedangkan kejadian B adalah kejadian munculnya sisi yang sama untuk kedua mata uang logam itu. Periksalah apakah kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas.

Menghitung peluang dua kejadian yang saling bebas Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tidak terpengaruh oleh kejadian A. P (A∩B) = P (A)× P (B)

Menghitung peluang kejadian bersyarat Peluang muncul kejadian A dengan syarat kejadian B muncul lebih dahulu adalah: P (A/B)= 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) P(B)≠0 Peluang muncul kejadian B dengan syarat kejadian A muncul lebih dahulu adalah: P (A/B) = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴) P(A)≠0

CONTOH SOAL Dua buah dadu berisi 6 dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali.Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu.?

jawab n(S)=6X6=36 Misal : A adalah kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua maka A= 1,1 , 2,1 , 3,1 , 4,1 , 5,1 ,(6,1) P(A)= 6 36 = 1 6 B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B= 1,1 , 1,2 ,(2,1) P(B)= 3 36 = 1 12 A∩B= 1,1 ,(2,1) P(A∩𝐵)= 2 36

Lanjutan jawaban Peluang kejadian bersyarat P(A/B)= 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) = 1 18 1 12 = 2 3

Peluang kejadian pada pengambilan contoh Peluang pengambilan contoh dengan pengembalian. P(E) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑠) P(E) = P(E1) X P(E2)

Misalkan dari satu set kartu remi akan diambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan. Berapa peluang kejadian terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua, kalau kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan.

Peluang pengambilan contoh tanpa pengembalian P(E1)= 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) P(E2 𝐸1 = 𝑛(𝐴) 𝑛 𝑠 −1 P(E1 ∩ E2) = P(E1) X P(E2|E1)

SOAL Dua dadu dilambungkan bersama-sama.Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah? Dari 10 peserta kongres kecantikan yang masuk nominasi akan dipilih 3 nominasi terbaik secara acak.Banyaknya pilihan yang dapat dilakukan adalah? Dua dadu dilempar bersama.Peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah? Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak,peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah? Banyak bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7 dan tidak ada angka yang sama adalah?