GEOMETRI ANALITIK BIDANG (ELLIPS)

KELOMPOK V ZAENAL ABIDIN ROSITA OKTAVIA RABIYATIL HUSNIYATI MIRAWATUL AINI AHDIA SOFIANI JUMHARNI

PENGERTIAN ELLIPS Elips adalah himpunan titik-titik di dalam sebuah bidang yang jumlah jaraknya terhadap dua buah titik tertentu tetap.

UNSUR-UNSUR ELLIPS Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan : -       Pusat elips O(0,0) ; -       Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ; -       Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ; -       Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a -       Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b -       Eksentrisitas : 𝑥= 𝑎 𝑒 atau 𝑥= 𝑎 2 𝑐 -       Direktriks : 2 𝑏 2 𝑎

SIFAT-SIFAT ELLIPS Ellips mempunyai sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek). Dalam gambar 1, yang merupakan sumbu mayor adalah 𝐴𝐴 ́ dan sumbu minor adalah 𝐵𝐵 ́. Ellips .... memotong sumbu X di titik (a,0) dan (-a,0), sedangkan memotong sumbu Y dititik (0,b) (0,-b). Sehingga panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor =2b. Sumbu simetri elips adalah sumbu mayor dan sumbu minor. Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan di titik pusat elips. Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan dengan elips di puncak-puncak elips. Dalam gambar 1 yang merupakan puncak ellips adalah titik A (a,0) , (-a,0) , B(0,b) , B (0,-b). Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik fokus dengan garis direktris disebut eksentrisitas, di singkat e. Besarnya eksentrisitas (e) adalah 𝑒 = 𝑐 𝑎 dengan 0 < e < 1. Karena 𝑐= 𝑎 2 − 𝑏 2 , maka 𝑒= 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎

Persamaan elips yang berpusat di titik O(0,0) 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =𝟏

Contoh soal Diketahui persamaan elips adalah 9 𝑥 2 +25 𝑦 2 =225 Tentukan : titik-titik puncak elips titik-titik fokusnya sketsalah elips tersebut

penyelesaian 9 𝑥 2 +25 𝑦 2 =225 ⟺ 9 𝑥 2 225 + 25 𝑦 2 225 =1 ⟺ 9 𝑥 2 225 + 25 𝑦 2 225 =1   ⟺ 𝑥 25 + 𝑦 9 =1 Sehingga diperoleh 𝑎 2 =25⟶𝑎=±15 𝑏 2 =9⟶𝑏=±3 Sketsa elipsnya tampak pada gambar Jadi puncak-puncak elips adalah 𝐴 5,0 , 𝐴 ́ −5,0 , 𝐵 0,3 , 𝐵́ (0,−3). Pada elips berlaku hubungan 𝑐 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 Sehingga 𝑐 2 =25−9=16⟶𝑐=4 Jadi, fokus elips adalah 𝐹 1 −4,0 dan 𝐹 2 4,0

penyelesaian Sketsa elipsnya tampak pada gambar 9 𝑥 2 +25 𝑦 2 =225 ⟺ 9 𝑥 2 225 + 25 𝑦 2 225 =1   ⟺ 𝑥 25 + 𝑦 9 =1 Sehingga diperoleh 𝑎 2 =25⟶𝑎=±15 𝑏 2 =9⟶𝑏=±3 Jadi puncak-puncak elips adalah 𝐴 5,0 , 𝐴 ́ −5,0 , 𝐵 0,3 , 𝐵́ (0,−3). Pada elips berlaku hubungan 𝑐 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 Sehingga 𝑐 2 =25−9=16⟶𝑐=4 Jadi, fokus elips adalah 𝐹 1 −4,0 dan 𝐹 2 4,0

Persamaan elips pada gambar di atas mempunyai bentuk gambar yang memperlihatkan sebuah ellips dengan pusat di O (0,0) fokus di F(0,c) dan F (0,-c), serta sumbu mayor pada sumbu Y. Persamaan elips pada gambar di atas mempunyai bentuk 𝑥 2 𝑏 2 + 𝑦 2 𝑎 2 =1   Atau 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2

PERSAMAAN ELLIPS YANG PUSATNYA DI (p , q) (𝑥−𝑝) 2 𝑎 2 + (𝑦−𝑞) 2 𝑏 2 =1

Persamaa elips dengan pusat di (𝑝,𝑞) yang lain diperlihatkan di dalam gambar berikut (𝑥−𝑝) 2 𝑏 2 + (𝑦−𝑞) 2 𝑎 2 =1

Contoh soal Diketahui elips denga persamaan 𝑥 2 +4 𝑦 2 −2𝑥−16𝑦+13=0 Tentukanlah : Pusat elips Sumbu mayor dan sumbu minor Koordinat titik fokus Koordinat ttik puncak Sketsa grafiknya

penyelesaian Ubahlah persamaan 𝑥 2 +4 𝑦 2 −2𝑥−16𝑦+13=0 ke dalam bentuk (𝑥−𝑝) 2 𝑏 2 + (𝑦−𝑞) 2 𝑎 2 =1 , sebagai berikut 𝑥 2 +4 𝑦 2 −2𝑥−16𝑦+13=0 ⟺ 𝑥 2 −2𝑥+1+4 𝑦 2 −16𝑦+16−4=0 ⟺ (𝑥 2 −2𝑥+1)+(4 𝑦 2 −16𝑦+16)=4 ⟺ (𝑥 2 −2𝑥+1) 4 + 4( 𝑦 2 −4𝑦+4) 4 =1 ⟺ (𝑥−1) 2 4 + (𝑦−2) 2 4 =1

Lanjutan penyelesaian Dari persamaan terahir diperoleh a=2 , b=1 , q=2. Sehingga dapat ditentukan Pusat elips di (p , q) adalah (1 , 2) Sumbu mayor 2a adalah 4 dan sumbu minor 2b adalah 2 𝑐= 𝑎 2 − 𝑏 2 = 2 2 − 1 2 = 3 . Koordinat 𝐹 1 (𝑝+𝑐, 𝑞) dan 𝐹2 (𝑝−𝑞, 𝑐) adalah 𝐹 1 (1+ 3 , 2) dan 𝐹2 (1− 3 , Koordinat titik puncaknya Koordinat titik puncaknya 𝐴 𝑝+𝑎, 𝑞 , 𝐴 ́ 𝑝−𝑎, 𝑞 , 𝐵 𝑝, 𝑞+𝑏 , 𝐵 ́(𝑝, 𝑞−𝑏) Adalah 𝐴 3 , 2 , 𝐴 ́ −1 , 2 , 𝐵 1 , 3 , 𝐵 ́(1 , 1). Sketsa grafiknya

PERPOTONGAN ANTARA GARIS DENGAN ELLIPS 𝑥 2 𝑎 2 + (𝑚𝑥+𝑛) 2 𝑏 2 =1

LANJUTAN 𝐷= (2 𝑎 2 𝑚𝑛) 2 −4 (𝑏 2 + 𝑎 2 𝑚 2 𝑎 2 𝑛 2 − 𝑏 2 𝐷= (2 𝑎 2 𝑚𝑛) 2 −4 (𝑏 2 + 𝑎 2 𝑚 2 𝑎 2 𝑛 2 − 𝑏 2 ⟺ 𝐷= 4𝑎 4 𝑚 2 𝑛 2 −4 𝑎 2 𝑏 2 𝑛 2 − 𝑏 4 + 𝑎 2 𝑚 2 𝑛 2 − 𝑎 2 𝑏 2 𝑚 2 ⟺ 𝐷= 4𝑎 4 𝑚 2 𝑛 2 −4 𝑎 2 𝑏 2 𝑛 2 −4 𝑎 2 𝑏 4 +4 𝑎 4 𝑚 2 𝑛 2 −4 𝑎 4 𝑏 2 𝑚 2 ⟺ 𝐷=−4 𝑎 2 𝑏 2 ( 𝑛 2 − 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 ) Kedudukan garis h erhadap elips ditentukan oleh nilai diskriminan di atas, sebagai berikut: Jika D < 0 , maka garis h tidak memotong maupun menyinggung elips (lihat gambar 5 (a)). Jika D = 0 , maka garis h menyinggung elips (lihat gambar 5 (b) ). Jika D > 0 , maka garis h memotong elps di dua titik yang berbeda (lihat gambar 5 (c) ).

Contoh soal Tentukan kedudukan garis y = x terhadap ellips 𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 , diperoleh 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 ⟺9 𝑥 2 +25 𝑥 2 =225 ⟺36 𝑥 2 −225=0 𝐷= 0 2 −4 36 −225 =32.400 Ternyata D > 0, sedingga dapat disimpulkan bahwa garis y = x memotong elips 𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 di dua titik yang berbeda

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DENGAN GRADIEN M PADA ELIPS Jika garis ℎ:𝑦=𝑚𝑥+𝑛 menyinggung elips 𝑥 2 𝑎 2 + (𝑚𝑥+𝑛) 2 𝑏 2 =1 , maka besarnya diskriminan 𝐷=0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang di hasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah 𝐷=−4 𝑎 2 𝑏 2 ( 𝑛 2 − 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 ) , sehingga diperoleh: 𝐷=−4 𝑎 2 𝑏 2 𝑛 2 − 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0 ⟺ 𝑛 2 − 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0 ⟺ 𝑛 2 = 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑚 2 ⟺ 𝑛=∓ 𝑎 2 𝑚 2 + 𝑏 2

lanjutan Jadi, persamaan garis singgung pada elips 𝑥 2 𝑎 2 + (𝑚𝑥+𝑛) 2 𝑏 2 =1 dengan gradien m di definisikan dengan persamaan 𝑦=𝑚𝑥∓ 𝑎 2 𝑚 2 + 𝑏 2

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG MELALUI SEBUAH TITIK PADA ELIPS 𝑥 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑦 𝑦 1 𝑏 2 =1

Contoh soal Tunjukkan bahwa titik 𝑃 2 2 , 2 terletak pada elips 𝑥 2 6 + 𝑦 2 8 =1 Kemudian tentukan persamaan garis singgung elips tersebut yang melalui titik P.

penyelesaian Titik 𝑃 2 2 , 2 substitusikan ke 𝑥 2 6 + 𝑦 2 8 =1 , ternyata (2 2 ) 2 6 + 2 2 8 =1. Ini artinya titik P terletak pada elips 𝑥 2 6 + 𝑦 2 8 =1 Persamaan garis singgungnya adalah 𝑥 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑦 𝑦 1 𝑏 2 =1 ⟺ (2 2 ) 2 6 + 2 2 8 =1 ⟺ 2 2 𝑥+4𝑦=16 ⟺ 2 𝑥+2𝑦 =8 ⟺ 𝑦=4− 1 2 2 𝑥

...TERIMA KASIH...