Matematika PERSAMAAN KUADRAT Quadratic Equations Quadratic Equations Kelas - X Kelas - X Semester Ganjil Abd. Halim Husni Abd. Halim Husni SMA Negeri 1 Selong

menu utama menu utama TUJUAN MATERI MANFAAT UJI KKM ABOUT US Home End

MATERI MATERI Pengertian dan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Penyelesaian Persamaan Kuadrat Deskriminan Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat MATERI MATERI Akar-akar Persekutuan Menyusun Persamaan Kuadrat Persamaan yang Diubah ke Persamaan Kuadrat Penerapan Persamaan Kuadrat Home End

DEFINITION AND GENERAL FORM OF QUADRATIC EQUATIONS DEFINISI DAN BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

sub menu sub menu DEFINISI DAN BENTUK UMUM / DEFINITION AND GENERAL FORM 1. Definisi and Bentuk Umum (Definition and General Form) 2. Bagian-bagian dari Bentuk Umum (The Parts of General Form) 3. Akar (Root) Home < > End

Dengan a, b, dan c bilangan real, serta a ≠ 0 Pengertian dan Bentuk Umum (Definition & General Form ) Quadratic Equation is an equation whose highest variabel exponent is two. Persamaan Kuadrat adalah persamaaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. The General Form of quadratic equation with x variable as follow Bentuk umum Persamaan Kuadrat dengan variabel x sebagai berikut Dengan a, b, dan c bilangan real, serta a ≠ 0 Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) RUAS KIRI Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) RUAS KANAN Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) SUKU Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) KOEFISIEN Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) VARIABEL Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) PANGKAT VARIABEL Home << < > >> End

Bagian-bagian dalam Bentuk Umum (Parts of General Form ) KONSTANTA Home << < > >> End

Persamaan kuadrat rasional (rasional quadratic equation) Bentuk-bentuk lain (The other forms) If a, b, and c are rational numbers, then the equation above is called Jika a, b, dan c adalah bilangan rasional maka persamaaan di atas disebut Persamaan kuadrat rasional (rasional quadratic equation) Example / Contoh Home << < > >> End

Persamaan kuadrat biasa (common quadratic equation) Bentuk-bentuk lain (The other forms) If a=1, the equation below is obtained Jika a = 1, didapat persamaan di bawah ini: This equation called Persamaan ini dinamakan: Persamaan kuadrat biasa (common quadratic equation) Example / Contoh Home << < > >> End

Persamaan kuadrat sempurna (perfect quadratic equation) Bentuk-bentuk lain (The other forms) If b=0, the equation below is obtained Jika b=0, didapat persamaan di bawah ini: This equation called Persamaan ini dinamakan: Persamaan kuadrat sempurna (perfect quadratic equation) Example / Contoh Home << < > >> End

Persamaan kuadrat tak sempurna (imperfect quadratic equation) Bentuk-bentuk lain (The other forms) If c=0, the equation below is obtained Jika c=0, didapat persamaan di bawah ini: This equation called Persamaan ini dinamakan: Persamaan kuadrat tak sempurna (imperfect quadratic equation) Example / Contoh Home << < > >> End

a = 5 b = 7 c = 6 Bentuk-bentuk lain (The other forms) Example / Contoh Determine the value of a, b, and c from the equation given below Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan yang diberikan di bawah ini: Penyelesaian: Change the equation to general form Ubah persamaan ke dalam bentuk umum Obtained / didapat = a = 5 b = 7 c = 6 = = Home << < > >> End

Bentuk-bentuk lain (The other forms) Exercise / Latihan Determine the value of a, b, and c from the equation given below Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan yang diberikan di bawah ini: Home << < > >> End

Definisi Akar (definition of root) The most basic matter we ought to comprehend in the quadratic equation is definition of roots Hal yang paling mendasar yang perlu kita pahami dalam persamaan kuadrat adalah Akar-akar Roots or solutions are all value of x which obey the quadratic equation Akar-akar atau Penyelesaian adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat Memenuhi artinya jika nilai x disubstitusikan maka nilai ruas kiri = ruas kanan Home << < > >> End

Definisi Akar (definition of root) Example / Contoh Determine whether value of x given is root of the equation or not Tentukan apakah nilai x yang diberikan merupakan akar persamaannya atau bukan Penyelesaian: = = = = Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka x=2 adalah akar (penyelesaian) dari persamaan kuadrat Home << < > >> End

Definisi Akar (definition of root) Exercise / Latihan Determine whether value of x given is root of the equation or not Tentukan apakah nilai x yang diberikan merupakan akar persamaannya atau bukan Home << < > >> End

Kesimpulan Kesimpulan Summary Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Pada bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, nilai a ≠ 0 Karena jika a = 0 maka yang didapat adalah persamaan linier/garis Sesuai dengan nilai a, b, dan c pada ax2 + bx + c = 0, maka Persamaan Kuadarat dibagi menjadi 4 bentuk, yaitu: PK Rasional (jika a, b, dan c rasional) PK sempurna (jika hanya b = 0) PK tak sempurna (jika hanya c = 0) PK biasa (jika a = 1) Akar atau selesaian adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan kuadrat Sehingga ruas kiri dan ruas kanan persaaman kuadrat tersebut sama. Home << < > End

SOLVING QUADRATIC EQUATIONS MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT Home << < > End

Menyelesaikan Pers. Kuadrat (Solving Quadratic Equation ) Exercise / Latihan By trying, determine one root from equation below Dengan cara mencoba-coba, tentukan akar-akar persamaan di bawah ini

sub menu sub menu MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT / SOLVING QUADRATIC EQUATION There are three methods to solving quadratic equation Terdapat tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 1. Faktorisasi (Factorizing) 2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna (Completing the Square) 3. Rumus Kuadrat / abc (Quadratic / abc Formula) Home < > End

FAKTORISASI FAKTORISASI a . b = 0 Before we solve the equation with factorizing method, we prior consider the multiplication below Sebelum kita menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara faktorisasi, terlebih dahulu perhatikan perkalian berikut a . b = 0 Dari perkalian tersebut, syarat yang harus dipenuhi adalah a = 0 atau b = 0 1. Persamaan Kuadrat Sempurna 2. Persamaan Kuadrat tak Sempurna 3. Persamaan Kuadrat dengan 3 Suku Home << < > >> End

INGAT !!! Faktorisasi     Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Dengan a > 0, dan c ≥ 0 The method to factorize it by using formula Metode faktorisasi yang digunakan seperti rumus berikut: INGAT !!!  Jika tanda dari a sama dengan tanda c maka persamaan tersebut tidak memiliki akar real Sehingga HP = { }    AKARNYA SAMA, TAPI BERLAWANAN Home << < > >> End

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution:    atau  atau Jadi, Penyelesaiannya adalah atau Atau HP = Home << < > >> End

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

ax2+bx=0 ax2+bx=0 Faktorisasi x(ax+b)=0 x=0 atau ax+b=0 Untuk Persamaan Kuadrat Tidak Sempurna ax2+bx=0 The method to factorize it by using formula Metode faktorisasi yang digunakan seperti rumus berikut: ax2+bx=0 x(ax+b)=0 x=0 atau ax+b=0 x1 =0 atau x2=-b/a Home << < > >> End

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat Tidak Sempurna Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution:   atau  atau Jadi, Penyelesaiannya adalah atau Atau HP = Home << < > >> End

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat Tidak Sempurna Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

ax2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku ax2+bx+c=0 The method to factorize it by using formula Metode faktorisasi yang digunakan seperti rumus berikut: Ubahlah bentuk bx menjadi (p+q)x dengan syarat p.q = a.c ax2+bx+c=0 ax2 + (p+q)x + c = 0 Home << < > >> End

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku Example / Contoh: Home << < > >> End Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution: a.c = 1.8 = 8  artinya p.q = 8  INGAT!! b = p + q  maka harus dicari nilai p dan q Sehingga p + q = 6  atau  atau adc. faktor dari 8 p q Jadi, Penyelesaiannya adalah 1 8 atau 2 4 Atau HP = pilih p=2 dan q=4, krn 2.4=8 dan 2+4 = 6

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku Example / Contoh: Home << < > >> End Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku Example / Contoh: a.c = 3.(-8) = -24 Calculate the solution of the following equation artinya p.q = -24 Tentukan penyelesaian persamaan berikut: INGAT!! b = p + q maka harus dicari nilai p & q Sehingga p + q = -2 Penyelesaian/Solution:  adc. faktor dari -24 p q  1 -24 2 -12  3 -8  4 -6  atau -1 24 -2 12  atau -3 8 Jadi, Penyelesaiannya adalah -4 6 atau pilih p=4 dan q=-6, krn 4.(-6)=-24 dan 4+(-6) = -2 Atau HP =

Faktorisasi Untuk Persamaan Kuadrat dengan Tiga Suku Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

Kesimpulan Kesimpulan Summary Akar persamaan kuadrat sempurna pasti berlawanan tanda Persamaan kuadrat sempurna dengan tanda pada a dan c sama pasti tidak memiliki selesaian Akar persamaan kuadrat tidak sempurna salah satunya pasti nol Home << < > End

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Completing the square is changing the equation to Perfect Equation Form Melengkapkan Kuadrat sempurna artinya merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk persamaan kuadarat sempurna 1. Persamaan Kuadrat Sempurna 2. Persamaan Kuadrat dengan 3 Suku Home << < > >> End

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Change ax2 + c = 0 to x2 = -c/a then obtained x =(-c/a), with (-c/a)≥0 Ubahlah ax2 + c = 0 menjadi x2 = (-c/a), didapat x =(-c/a), dimana (-c/a)≥0 Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution:    atau   Jadi, HP = {-12, 12}  Home << < > >> End

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution: Akar bilangan negatif berupa bilangan imaginer atau bilangan yang tidak real, sehingga dapat dikatakan persamaan tersebut tidak memiliki akar real.   Jadi, HP = { } Home << < > >> End

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Sempurna Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Dengan 3 Suku Change ax2 + bx + c = 0 to perfect quadratic equation Ubahlah ax2 + bx + c = 0 menjadi persamaan kuadrat sempurna INGAT …. ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Home << < > >> End

ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Dengan 3 Suku Change ax2 + bx + c = 0 to perfect quadratic equation Ubahlah ax2 + bx + c = 0 menjadi persamaan kuadrat sempurna INGAT …. ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Home << < > >> End

ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat Dengan 3 Suku Change ax2 + bx + c = 0 to perfect quadratic equation Ubahlah ax2 + bx + c = 0 menjadi persamaan kuadrat sempurna INGAT …. ax2 + 2bx + b2= (ax+b)(ax+b) = (ax+b)2 Home << < > >> End

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat dengan 3 Suku Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution:  atau    atau    Jadi HP = {-6, -2}   atau Home << < > >> End

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Untuk Persamaan Kuadrat dengan 3 Suku Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

Kesimpulan Kesimpulan Summary Akar persamaan kuadrat sempurna pasti berlawanan tanda Persamaan kuadrat sempurna dengan tanda pada a dan c sama pasti tidak memiliki selesaian Persamaan Kuadrat dengan 3 suku dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna Home << < > End

RUMUS abc RUMUS abc Quadratic Formula or abc Formula is the Formula to calculate the solution of quadratic equation by substitution the value all of coefitions and constanta Rumus Kuadrat atau Rumus abc adalah rumus yang digunakan untuk mencari selesaian dari persamaan kuadarat yang mensubstitusi nilai koefisen dan konstanta. Home << < > >> End

` a = 1 b = 8 c = 12 Rumus abc Example / Contoh: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Penyelesaian/Solution:  a = 1 b = 8 c = 12  atau   atau   atau Jadi HP = {-6,-2}  Home << < > >> End

Rumus abc Exercise / Latihan: Calculate the solution of the following equation Tentukan penyelesaian persamaan berikut: Home << < > >> End

Kesimpulan Kesimpulan Summary Dengan mengetahui koefisien dan konstanta persamaan kuadrat maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan rumus abc Home << < > End

DISCRIMINANT OF QUADRATIC EQUATIONS DISKRIMINAN PERSAMAAN KUADRAT Home << < > End

Diskriminan (D) persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 adalah: Perhatikan rumus abc, nilai b2 – 4ac yang berada di bawah tanda akar akan sangat mempengaruhi akar persamaan kuadrat yang dicari. Sehingga nilai b2-4ac merupakan nilai yang dapat digunakana untuk membedakan (mendiskriminasikan) akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan (D) persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 adalah: D = b2 - 4ac Home << < > >> End

Diskriminan If D > 0, then the quadratic equation has two different real roots Jika D > 0: Maka Persamaan Kuadrat tersebut memiliki 2 akar real berbeda If D = 0, then the quadratic equation has two similar real roots (twin roots) Jika D = 0: Maka Persamaan Kuadrat tersebut memiliki 2 kembar If D < 0, then the quadratic equation has imaginary roots (unreal roots) Jika D < 0: Maka Persamaan Kuadrat tersebut memiliki 2 akar imaginer (tidak real) Home << < > >> End

Diskriminan For Imaginary root case Pada kasus akar imaginer Change / Ubahlah to / menjadi   Example / Contoh: = = = Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar Exercise / Latihan: Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – hx + 5 = 0, tentukan nilai h agar persamaan tersebut memiliki akar kembar Home << < > >> End

QUADRATIQ EQUATION ROOTS JUMLAH DAN HASIL KALI SUM AND PRODUCT OF QUADRATIQ EQUATION ROOTS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Home << < > End

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Misalkan persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka berlaku: BUKTI BUKTI Contoh Home << < > >> End

By abc Formula then obtained / Dengan Rumus abc didapat: Bukti Jumlah Dua Akar Misalkan persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka berlaku: By abc Formula then obtained / Dengan Rumus abc didapat: = + = + = + + = Proven / Terbukti = =

Bukti Hasil Kali Dua Akar Misalkan persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka berlaku: By abc Formula then obtained / Dengan Rumus abc didapat: = . = = = = Proven / Terbukti

a = 1 b = 4 c = -21 Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Example / Contoh: Calculate the sum and product of quadratic equations root below: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: Penyelesaian/Solution: = = a = 1 b = 4 c = -21 = = = = Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Example / Contoh: Calculate the sum and product of quadratic equations root below: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: Penyelesaian/Solution: = = a = 12 b = -1,5 c = 144 = = = = Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Exercise / Latihan: Calculate the sum and product of quadratic equations root below: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: Home << < > >> End

1 Jumlah dan Hasil Kali Akar Exercise / Latihan: Diketahui persamaan kuadrat 6x2 + 12x + 30 = 0 memiliki akar x1 atau x2, tentukan: Home << < > >> End

2 Jumlah dan Hasil Kali Akar Exercise / Latihan: Diketahui persamaan kuadrat x2 - kx + 18 = 0 memiliki akar x1 atau x2, tentukan nilai k agar akar yang satu dua kali akar yang lain Home << < > >> End

Kesimpulan Kesimpulan Summary Untuk persamaan kuadrat ax2+ bx+c=0 memiliki akar-akar x1 dan x2 maka berlaku: Home << < > End

ARRANGING QUADRATIQ EQUATION MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Home << > End

Menyusun Persamaan Kuadrat Untuk menyusun persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan dua cara yaitu: KEBALIKAN FAKTORISASI JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR Home << < > >> End

Cara ini digunakan apabila diketahui x1 dan x2 Kebalikan Faktorisasi Cara ini digunakan apabila diketahui x1 dan x2 Example / Contoh: Susunlah persamaan kuadrat jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1=3 atau x2=-5 Penyelesaian/Solution: atau  atau    Jadi persamaan kuadrat dengan akar x1=3 atau x2=-5 adalah X2+2x-15=0 Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar Cara ini digunakan apabila diketahui jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat    Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar Example / Contoh: Susunlah persamaan kuadrat jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1 + x2= -2 dan x1. x2= -15 Penyelesaian/Solution:   Jadi persamaan kuadrat dengan x1 + x2= -2 dan x1. x2= -15 adalah x2+2x-15=0 Home << < > >> End

Jumlah dan Hasil Kali Akar Example / Contoh: Diketahui persamaan dengan jumlah akar-akarnya 12 dan hasil kali akar-akarnya adalah 20. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya lebih besar 2 kali lipat Penyelesaian/Solution: Misal persamaan baru memiliki akar x1’ dan x2’ didapat x1’ = 2.x1 dan x2’ = 2.x2 sehingga x1’ + x2’ = 2(x1+x2) = 2.12 = 24 x1’ . x2’ = 4.x1x2 = 4.20 = 80   Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah x2-24x+80=0 Home << < > >> End

1 2 Jumlah dan Hasil Kali Akar Exercise / Latihan: Diketahui persamaan dengan jumlah akar-akarnya -5 dan hasil kali akar-akarnya adalah -20. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya lebih besar 3 kali lipat 1 Diketahui persamaan dengan jumlah akar-akarnya -8 dan hasil kali akar-akarnya adalah -6. Susunlah persamaan kuadrat baru yang memiliki masing-masing akar 3 lebihnya akar persamaan kuadrat pertama. 2 Home << < > >> End

3 4 Jumlah dan Hasil Kali Akar Exercise / Latihan: Diketahui persamaan kuadrat 3x2 – 12x + 21 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x12 dan x22 4 Diketahui persamaan kuadrat 5x2 + 10x - 15 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan akar persamaan kuadrat pertama. Home << < > >> End

Terima Kasih Thank You Tampi Asih Arigato Gozaimasu Syukron Katsir SEMOGA JUMPA LAGI DALAM KONDISI LEBIH BAIK SEMANGAT !!!