Relasi dan Fungsi Wahyu Dwi Lesmono, S.Si

Relasi dan Fungsi Relasi merupakan aturan yang memasangkan anggota himpunan yang satu dan anggota himpunan yang lain dengan aturan tertentu. Relasi R dari himpunan A kepada/terhadap himpunan B disimbolkan dengan A ↦ B. Anggota himpunan a yang dihubungkan dengan anggota himpunan b oleh relasi R dapat dituliskan dengan notasi himpunan sebagai (a,b) ∈ R. Fungsi (Pemetaan) merupakaan relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan yang satu dengan tepat satu anggota himpunan yang lain. Notasi suatu fungsi F yang memetakan dari himpunan A kepada himpunan B dituliskan sebagai F : A ↦ B.

Representasi Relasi Cara menyatakan suatu relasi dengan memberikan aturan-aturan tertentu pada kedua himpunan yang ingin dihubungkan dan direpresentasikan dengan menggunakan tiga cara: Diagram Pasangan Berurutan Diagram Panah Diagram Cartesius Tabel Matriks Graf

Bagan dalam Diagram Panah Domain = Himpunan Daerah Asal Kodomain = Himpunan Daerah Lawan Range = Himpunan hasil dari daerah asal terhadap daerah lawan. Domain Kodomain 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5 ● ● A ● B ● C ● D ● E Dari diagram panah disamping diperoleh: Domain = {1,2,3,4,5} Kodomain = {A,B,C,D,E} Range = {A,C,D,E}

Contoh Relasi (1) A = {becak, mobil, kapal, pesawat terbang, kereta api, perahu} B = {darat, laut, udara} Aturan relasi: alat transportasi. Maka representasi dari relasi (R) dari himpunan A dan B tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Diagram Pasangan Berurutan R = {(Becak, Darat), (Mobil, Darat), (Kapal, Laut), (Pesawat Terbang, Udara), (Kereta Api, Darat), (Perahu, Laut)} 2. Diagram Panah A B Alat Transportasi Becak ● Mobil ● Kapal ● Pesawat Terbang ● Kereta Api ● Perahu ● ● Darat ● Laut ● Udara

3. Diagram Cartesius 4. Tabel 5. Matriks A B Becak Darat Mobil Kapal Laut Pesawat Terbang Udara Kereta Api Perahu B Alat Transportasi Udara Darat Laut A 5. Matriks Pesawat Terbang Kereta Api Becak Mobil Kapal Perahu

Contoh Relasi (2) y = x + 2 1 ● 3 ● 5 ● A = {x | 0 < x < 6, x ∈ bilangan ganjil} B = {3,6,7,9} Aturan relasi: R = {(x,y) | y = x + 2}. Maka representasi dari relasi (R) dari himpunan A dan B tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Diagram Pasangan Berurutan R = {(1,3),(5,7)} 2. Diagram Panah A B y = x + 2 1 ● 3 ● 5 ● ● 3 ● 6 ● 7 ● 9

3. Diagram Cartesius 4. Tabel 5. Matriks A B 1 3 5 7 B Alat Transportasi 9 7 5. Matriks 6 3 A 1 3 5

Sifat Relasi Refleksif Suatu relasi bersifat refleksif apabila suatu anggota dari suatu himpunan berelasi dengan anggota dirinya sendiri dari himpunan yang lain. 2. Simetris Suatu relasi bersifat simetris apabila suatu anggota dari suatu himpunan berelasi dengan anggota yang lain dari himpunan yang lain maka anggota yang lain dari himpunan tersebut berelasi dengan anggota yang pertama. 3. Transitif Suatu relasi bersifat transitif apabila suatu anggota dari himpunan yang satu saling berhubungan dengan anggota yang lain pada himpunan yang lainnya. Antisimetris Suatu relasi bersifat antisimetris apabila suatu anggota dari himpunan berelasi dengan anggota yang lain dari himpunan yang lain maka anggota yang lain dari himpunan tersebut berelasi dengan anggota yang pertama dan anggota tersebut sama dengan anggota yang lainnya Irefleksif Suatu relasi bersifat irefleksif apabila suatu anggota dari himpunan tidak berelasi dengan anggota dirinya sendiri dari himpunan yang lainnya.

Contoh Sifat Relasi (1) Dengan menggunakan aturan relasi “=“, “<“, dan “≤” pada bilangan bulat, maka diperoleh: “=“ bersifat refleksif (2=2) “=“ bersifat simetris (jika x=2 maka 2=x) “<“ bersifat transitif (jika 2<3 dan 3<5 maka 2<5) “<“ bersifat irefleksif (jika 2<3 maka 2≠3) “≤” bersifat antisimetris (jika x ≤y dan y≤x maka x=y)

Contoh Sifat Relasi (2) Misalnya dalam suatu kelas Farmasi terdiri dari mahasiswa bernama Surya, Nugraha, dan Nurmala. Suatu kelas pastinya memiliki kelompok yang terdiri dari kelompok yang menyukai satu sama lainnya termasuk dirinya sendiri, kelompok narsis, kelompok cinta segitiga, kelompok sakit hati, dan kelompok bahagia. Kelompok menyukai satu sama lainnya termasuk dirinya sendiri: {(Surya,Surya),(Surya,Nugraha),(Surya,Nurmala),(Nugraha,Surya),(Nugraha,Nugraha),(Nugraha,Nurmala),(Nurmala,Surya),(Nurmala,Nugraha),(Nurmala,Nurmala)} Kelompok narsis: {(Surya,Surya),(Nugraha,Nugraha),(Nurmala,Nurmala)} Kelompok cinta segitiga: {(Nugraha,Nurmala),(Nurmala,Surya),(Surya,Nugraha)} Kelompok sakit hati: {(Nugraha,Nurmala),(Nurmala,Nugraha),(Surya,Surya)} Kelompok bahagia: {(Surya,Surya),(Surya,Nurmala),(Nurmala, Surya),(Nugraha,Nugraha)}

Dari kelompok tersebut diketahui bahwa: Kelompok menyukai satu sama lainnya termasuk dirinya sendiri bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Kelompok narsis bersifat refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif. Kelompok cinta segitiga bersifat irefleksif, dan antisimetris. Kelompok sakit hati bersifat simetris, dan transitif. Kelompok bahagia bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Fungsi dan Bukan Fungsi Relasi disamping tidak bisa disebut fungsi karena ada anggota himpunan P yaitu b yang dipasangkan lebih dari satu dengan anggota himpunan Q, yaitu b→1 dan b→2 Relasi disamping tidak bisa disebut fungsi karena ada anggota himpunan P yaitu c yang tidak mempunyai pasangan dengan anggota himpunan Q Relasi disamping disebut fungsi karena seluruh anggota pada himpunan P berelasi kepada anggota pada himpunan Q.

Notasi Fungsi dalam Aljabar Matematika Notasi Fungsi dalam Aljabar Matematika sering dituliskan sebagai berikut: f(x) = c Dibaca dengan “fungsi f bernilai x sama dengan c”. Jika diketahui f(x) = x+2 dan ditanya adalah f(a), f(z), atau f(udin). Maka f(a) = a+2, f(z) = z+2, dan f(udin) = udin+2. Sehingga jika f(2) dan f(-2), maka f(2) = 2+2 = 4 dan f(-2) = -2+2 = 0.

Sifat Fungsi Injektif (Satu-ke-Satu) Setiap anggota kodomain dipetakan paling banyak satu anggota dari domain. 2. Surjektif (Pada/Onto) Setiap anggota kodomain dipetakan paling sedikit satu anggota dari domain. Bijektif (Satu-ke-Satu dan Pada atau Korespondensi Satu-Satu) Setiap anggota kodomain dipetakan paling tepat satu anggota dari domain.

Fungsi Eksplisit dan Fungsi Implisit Fungsi eksplisit merupakan fungsi yang terdiri dari variabel bebas (x) dan variabel bergantung (y atau f(x)) yang keduanya berada pada ruas tersendiri. Contoh: y = x2 + x – 3 dan f(x) = x + 8 Fungsi implisit merupakan fungsi yang terdiri dari variabel bebas (x) dan variabel bergantung (y atau f(x)) yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda. Contoh: xy + 8x = y dan sin y + tan x = xy

Fungsi Sebagian (Piecewise Function) Fungsi sebagian (piecewise function) merupakan fungsi yang terdiri dari beberapa nilai fungsi berdasarkan syarat-syarat tertentu. Contoh misalkan t merupakan Waktu Pertumbuhan Amoeba (dalam menit) dan f(t) merupakan jumlah Amoeba setiap menitnya. Perkembangan Amoba bertambah 10 apabila berada dalam jangka waktu kurang dari 10 menit. Perkembangan Amoeba bertambah dua kali perubahan waktu apabila berada dalam jangka waktu lebih dari sama dengan 10 menit. Dari pemaparan tersebut dapat dimodelkan dengan fungsi sebagian sebagai berikut:

Komposisi Fungsi Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Komposisi fungsi satu dengan fungsi yang lain, sebagai contoh fungsi f(x) berkomposisi dengan fungsi g(x) dinotasikan dengan (f ○ g)(x). Penulisan (f ○ g)(x) diartikan sebagai f(g(x))

Komposisi Fungsi dengan Diagram Panah Contoh: f = {(1,1),(2,3),(3,1),(4,2)} g = {(1,2),(2,3),(3,1),(4,2)} Maka g ○ f = {(1,2),(2,1),(3,2),(4,3)} Penulisan komposisi dari suatu himpunan ke himpunan yang lain dimulai dari kanan.

Komposisi Fungsi dengan Diagram Panah

Contoh Penerapan Komposisi Fungsi Jika diketahui ketinggian pesawat terbang pada waktu ke-t didefinisikan oleh h(t) dan konsentrasi oksigen pada ketinggian x didefinisikan oleh c(x), maka (c ○ h)(t) menggambarkan konsentrasi oksigen disekitar pesawat terbang pada waktu ke-t. Gaji seorang apoteker pada hari ke-t didefinisikan oleh g(t) dan jumlah obat yang dibeli untuk setiap transaksi x didefinisikan oleh j(x), maka (j ○ g)(t) menggambarkan jumlah obat yang dibeli sebagai gaji apoteker pada hari ke-t serta (g ○ j)(x) menggambarkan gaji seorang apoteker berdasarkan jumlah obat yang dibeli untuk setiap transaksi x.

Contoh Komposisi Fungsi Matematika Diketahui: Maka:

Misalkan diketahui: Maka g(x) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

Misalkan diketahui: Maka f(x) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: Maka: Misalkan:

Misalkan diketahui: Maka f(x) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

Pengerjaan untuk (f ○ g ○ h)(x) dapat dilakukan sebagai berikut:

Fungsi Invers Fungsi Invers merupakan kebalikan dari suatu fungsi. Fungsi invers dinotasikan dengan f-1. Penulisan f-1(x) dan f(x)-1 berbeda makna. f-1(x) menunjukkan fungsi invers dari suatu fungsi, sementara itu f(x)-1 menunjukkan resiprokal (perkalian invers) dari suatu fungsi.

Contoh Perhitungan Fungsi Invers (1) Fungsi invers dari f(x) = 2x + 3 dapat dilakukan dengan memisalkan f(x) = y, diselesaikan ke bentuk x, dan dilakukan dengan melakukan konversi bentuk x ke bentuk f-1(x). Perhitungan sebagai berikut: Hasil disamping berbeda dengan f(x)-1 yang dihitung dengan cara sebagai berikut:

Contoh Perhitungan Fungsi Invers (2) Maka fungsi invers dihitung dengan cara sebagai berikut:

Contoh Perhitungan Invers (3) Maka fungsi invers dihitung dengan cara sebagai berikut: Dengan menggunakan rumus ABC maka diperoleh a = 1, b = 4 dan c = 8-y

Tugas Individu Soal Wajib 1-12:

Tugas Individu Soal Bonus 13-14:

Tugas Kelompok Buatlah suatu cerita atau kasus yang menggunakan relasi dan fungsi (boleh komposisi fungsi, fungsi sebagian, fungsi implisit-eksplisit, maupun fungsi invers) dalam kehidupan sehari-hari! (Lebih bagus jika menggunakan penerapan di bidang farmasi)