CCM110 MATEMATIKA DISKRIT Pertemuan-9, Metode Pembuktian Drs.Holder Simorangkir, M.Kom Prodi Teknik Informatika Fakultas Ilmu Komputer

KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN Mahasiswa dapat mengaplikasi bentuk-bentuk pembuktian dalam menyelesaikan permasalahan.

Metode Pembuktian Dalam Matematik. Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu : a. Bukti Langsung b. Bukti tidak langsung c. Metode Kontradiksi d. Bukti Langsung. Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk teorema, implikasi, biimplikasi dll.

Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga bilangan ganjil. Contoh : Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga bilangan ganjil. Jawab : x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat. akibatnya x2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 2n2 = bulat 2n = bulat jadi 2n2 + 2n = bulat jadi 2(2n2 + 2n) + 1 = ganjil, x2 ganjil.

Bukti Tak Langsung p  q Ξ ~ q  ~ p Suatu implikasi dapat dibuktikan secara tak langsung dari kontra positip, karena implikasi ekivalen dengan kontrapositipnya. p  q Ξ ~ q  ~ p

Contoh : Jwb : Implikasi : x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil maka kedua bilangan tersebut ganjil. Jwb : Implikasi : x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil Kontra positip : x genap atau y genap  x.y genap x = 2n = genap, n bilangan asli Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2 Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga Implikasinya juga benar.

Bukti dengan Kontradiksi : Digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan tak langsung tidak dapat digunakan.  q a. Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan sesuatu yang kita anggap benar. Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah sehingga ~ (~ q) benar.

Contoh : Jika x2 = 2 maka x bukan bilangan rasional. x2 = 2  x bukan rasional Misalkan x bilangan rasional maka x = m/n, m = bilangan bulat, relatif prima n = bilangan asli, relatif prima Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ ) x2 = 2 = m2/n2 2n2 = m2, 2n2 genap maka m2 genap sehingga m genap Karena m dan n relatif prima maka n harus ganjil (1).

m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat m2 = 4k2 juga genap, padahal 2n2 = m2 , jadi 2n2 = 4k2 atau n2 = 2k2 berarti n2 genap sehingga n genap (2). Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh pengandaian bahwa x bilangan rasional. Jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 2 ( terbukti )

Bukti Dengan Induksi Matematika Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n. Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa : 1. P(1) benar. 2. Andaikan P(n) benar maka P(n+1) , juga benar.

Buktikan ! P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y CONTOH : Buktikan ! P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y jwb : untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y  P(1) benar Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar. P(n+1) = x2(n+1)-1 + y2(n+1)-1 = x2n+1 + y2n+1 = x2 x2n-1 + y2 y2n-1 = x2 x2n-1 + x2 y2n-1 - x2 y2n-1 + y2 y2n-1 = x2 (x2n-1 + y2n-1) - y2n-1(x2 - y2)

 P(n+1) habis dibagi x+y Karena P(n) benar maka suku pertama habis dibagi x+y Karena x2 - y2 = (x+y)(x-y) maka suku kedua juga habis dibagi x+y  P(n+1) habis dibagi x+y

Tugas perseorangan : Kumpulkan masing-masing 2 soal dan penyelesaiannya tentang pembuktian langsung, tak langsung dan induksi matematik Tugas kelompok : Presentasikan pada pertemuan ke 6 sebuah persoalan dan penyelesaiannya “pembuktian dengan kontradiksi” ====== T E R I M A K A S I H ======