Kelompok 4 “Barisan dan Deret” Disusun Oleh: Raden Irfan A G M.Mulyana Dede s M. ikbaL PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG

Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri Pola Bilangan Notasi Sigma Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri Induksi Matematika Aplikasi Barisan dan Deret

Pola Bilangan Pola bilangan adalah himpunan bilangan – bilangan yang diurutkan dengan pola gambar ataupun pola bilangan. Macam – macam pola bilangan dengan pola – pola tertentu adalah sebagai berikut : Pola bilangan ganjil Pola bilangan genap Pola bilangan persegi Pola bilangan persegi panjang Pola bilangan segitiga Pola bilangan segitiga pascal

Pola Bilangan Ganjil 1 titik 3 titik 5 titik Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan suatu dengan banyak titik , yaitu 1 , 3 , 5 , 7 , 9 Bilangan 1 , 3 , 5 , 7 , 9 merupakan anggota dari himpunan bilangan ganjil , jadi pola titik – titik tersebut membentuk pola bilangan ganjil. Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n x n = n2 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ … + n = n2

Contoh soal : Tentukan jumlah 8 bilangan asli ganjil yang pertama Contoh soal : Tentukan jumlah 8 bilangan asli ganjil yang pertama ! Jawab : Jumlah n bilangan asli ganjil yang pertama = n2 n2 = 82 = 64

Pola Bilangan Genap 2 titik 4 titik 6 titik Gambar tersebut merupakan pola titik – titik yang menyatakan suatu bilangan yang ditunjukan dengan banyak titik , yaitu 2 , 4 , 6 , 8 , 10 . Bilangan 2 , 4 , 6 , 8 , 10 merupakan anggota dari himpunan bilangan genap , jadi pola titik – titik tersebut membentuk pola bilangan genap. Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = (n + 1 ) n = n ( n + 1 ). 2 + 4 + 6 +8 + 10 + … + n = n (n +1 )

Contoh soal : Tentukan jumlah 10 bilangan asli genap yang pertama Contoh soal : Tentukan jumlah 10 bilangan asli genap yang pertama ! Jawab : Jumlah n bilangan asli genap yang pertama = n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) = 10 ( 10 + 1 ) = 10 ( 11 ) = 110

Pola Bilangan Persegi Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan persegi. 1 4 9 Aturan dari pola bilangan persegi adalah sebagai berikut : Suku kesatu : 1 = 1 Suku kedua : 4 = 22 Suku Ketiga : 9 = 32 dan seterusnya

Pola Bilangan Persegi Panjang Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan . Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan persegi panjang. 2 6 12 Aturan dari pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut : Suku kesatu : 2 = 1 x 2 Suku kedua : 6 = 2 x 3 Suku Ketiga : 12 = 3 x 4 dan seterusnya

Pola Bilangan Segitiga Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan segitiga. 1 3 6 Aturan dari pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut : Suku kesatu : 1 = 1 Suku Kedua: 3 = 1 + 2 Suku ketiga : 6 = 1 + 2 + 3 dan seterusnya .

Pola Bilangan Segitiga Pascal Amatilah gambar berikut yang membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan tersebut dinamakan pola bilangan segitiga pascal.   1 1 1   1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Bilangan pada baris ke – n pada bilangan segitiga pascal , diperoleh dengan : Meletakan angka 1 pada setiap ujung baris ke – n Menjumlahkan 2 bilangan yang berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya ( baris ke ( n – 1 )) . Jumlah bilangan pada baris ke – n pada pola bilangan segitiga pascal adalah 2n-1

Notasi Sigma Perhatikan penjumlahan bilangan – bilangan di bawah ini . 1 + 2 + 3 + 4 + … + 50 Jika semua suku – sukunya ditulis , cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan semakin besar . Dengan menggunakan notasi sigma , penulisan tersebut dapat dipersingkat menjadi 𝑘=1 50 𝑘 ( dibaca : sigma k yang bergerak mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50 ). Huruf k digunakan sebagai variabel penjumlahan yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50 . Bilangan 1 disebut batas bawah ( nilai awal ) dan 50 disebut batas atas ( nilai akhir ) penjumlahan.

Secara Umum , notasi sigma dinyatakan sebagai berikut : 𝑘=1 𝑛 𝑈 𝑘 = 𝑈 1 + 𝑈 2 +…+ 𝑈 𝑛 Keterangan : l = batas bawah n = batas atas k = indeks Uk = suku umum

Sifat – Sifat Notasi Sigma Secara Umum sifat – sifat notasi sigma adalah sebagai berikut : 1. 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 = 𝑖=𝑝 𝑞 𝑈 𝑖 2. 𝑘=𝑝 𝑞 𝑐= 𝑞−𝑝+1 𝑐 ,𝑐∈𝑅,𝑐=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 3. 𝑝 𝑞 𝑐 𝑈 𝑘 =𝑐 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 4. 𝑘=𝑝 𝑞 ( 𝑈 𝑘 ± 𝑉 𝑘 )= 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 ± 𝑘=𝑝 𝑞 𝑉 𝑘 5. 𝑘=𝑝 𝑛 𝑈 𝑘 + 𝑘=𝑛+1 𝑞 𝑈 𝑘 = 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 6. 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 = 𝑘=𝑝+𝑎 𝑞+𝑎 𝑈 𝑘−𝑎 7. 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 = 𝑘=𝑝−𝑎 𝑞−𝑎 𝑈 𝑘+𝑎 8. 𝑘=𝑝 𝑝 𝑈 𝑘 = 𝑈 𝑝 9. 𝑘=𝑝 𝑞 ( 𝑈 𝑘 ± 𝑉 𝑘 ) 2 = 𝑘=𝑝 𝑞 ( 𝑈 𝑘 ) 2 ±2 𝑘=𝑝 𝑞 𝑈 𝑘 𝑉 𝑘 + 𝑘=𝑝 𝑞 ( 𝑉 𝑘 ) 2  

Contoh soal Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan notasi sigma berikut : a. 𝑘=3 7 5 b. 3 𝑘=2 5 𝑘 Jawab: a. 𝑘=3 7 5= 7−3+1 ×5 𝑘=3 7 5=5×5=25 b. 3 𝑘=2 5 𝑘=3(2+3+4+5 ) 3 𝑘=2 5 𝑘=3 14 =42

Barisan dan Deret a. Barisan bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Suku – suku barisan barisan bilangan ditulis dengan notasi Un maka bilangan pertama disebut dengan suku pertama dan ditulis U1.Bilangan kedua dengan suku kedua dan ditulis U2. Bilangan ke – n disebut dengan suku ke – n dan ditulis Un. Misalkan terdapat pola bilangan sebagai berikut : 1 ,3 , 5 , 7 Diketahui suku pertama dari barisan tersebut adalah 1 atau U1 . Suku kedua adalah 3 atau U2. Suku ketiga adalah 5 atau U3. Suku keempat adalah 7 atau U4 dan seterusnya. Jadi bentuk umum barisan bilangan adalah U1 , U2 ,U3 , … , Un

b. Deret Bilangan Deret Bilangan adalah jumlah suku – suku pada suatu barisan bilangan. Adapun bentuk umum deret bilangan adalah sebagai berikut : Sn = U1 +U2+U3+…+Un Ketrangan: Sn = Deret Bilangan Un = Suku pada bilangan.

Barisan dan Deret Aritmatika 2. Barisan dan Deret Geometri Barisan dan deret pada bilangan dibagi menjadi 2 bagian yaitu : Barisan dan Deret Aritmatika 2. Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Aritmatika Barisan Aritmatika Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah suatu bilangan tetap Adapun rumus umum suku ke – n barisan aritmatika adalah : Un = a + (n – 1 ) b Un = suku ke - n a = suku pertama b = beda ( b = Un - Un-1 ) n = banyaknya suku Deret Aritmatika Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku dari suatu barisan aritmatika. Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah : Sn = ½ n ( a + Un ) Sn = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b ) Keterangan : Sn = jumlah n suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyaknya suku

Contoh soal : Diketahui suatu barisan aritmatika -3 , 2 , 7 , 12 , … Tentukan : a. Suku ke – 8 b. Jumlah 8 suku pertama Jawab : Diketahui : a = -3 b = 2 – ( - 3 ) = 5 n = 8 Ditanyakan : a. U8 ? b. S8 ? Jawab : a. Un = a + ( n – 1 ) b U8 = -3 + ( 8 – 1 ) 5 U8 = -3 + ( 7 ) 5 U8 = -3 + 35 U8 = 32 b. Sn = ½ n ( a + Un ) S8 = ½ 8 ( -3 + 32 ) S8 = ½ 8 ( 29 ) S8 = ½ 232 S8 = 116

Barisan dan Deret Geometri Barisan Geometri Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan ). Adapun rumus umum suku ke – n barisan geometri adalah : Un = arn-1 Keterangan : Un = suku ke – n a = suku pertama r = rasio (𝑟= 𝑈 𝑛 𝑈 𝑛−1 ) n = banyaknya suku Deret Geometri Deret geometri adalah jumlah suku – suku dari suatu barisan geometri. Adapun rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah : 𝑆 𝑛 = 𝑎( 𝑟 𝑛 −1 ) 𝑟−1 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟>1 𝑆 𝑛 = 𝑎 1− 𝑟 𝑛 1−𝑟 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 <1

Contoh Soal Diketahui suatu barisan geometri 2 , 6 , 18 , 54 … Contoh Soal Diketahui suatu barisan geometri 2 , 6 , 18 , 54 ….. Tentukan : a. Suku ke – 7 b. Jumlah 7 suku pertama Jawab : Diketahui : a = 2 r = 6 2 =3 n = 7 Ditanyakan : a. U7 ? b.S7 ? Jawab : a. Un = arn-1 U7 = 2( 37-1 ) U7 = 2 ( 36 ) U7 = 2 (729) U7 =1458 b. 𝑆 𝑛 = 𝑎( 𝑟 𝑛 −1 ) 𝑟−1 𝑆 7 = 2 ( 3 7 −1 ) 3−1 𝑆 7 = 2( 2187−1 ) 2 𝑆 7 = 2 ( 2186 ) 2 𝑆 7 = 4372 2 𝑆 7 =2186

Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak berhingga adalah deret geometri yang tidak dapat dicacah banyak seluruh sukunya. Adapun rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah : 𝑆 ∞ = 𝑎 1−𝑟 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐼 𝑟 𝐼 <1

Contoh soal : Diketahui suatu barisan geometri tak berhingga 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret tersebut ! Jawab : 𝑆 ∞ = 𝑎 1−𝑟 𝑆 ∞ = 1 1− 1 2 𝑆 ∞ = 1 1 2 =2

Induksi Matematika Induksi Matematika adalah suatu cara pembuktian untuk membuktikan rumus yang memuat variabel n dan berlaku umntuk setiap n bilangan asli. Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut : Misalkan P ( n ) = suatu rumus , untuk bilangan asli n a. Misalkan P ( n ) benar untuk n = 1 b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k c. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = k + 1 Jika ketiga langkah tersebut sudah diakukan dan diuji kebenarannya maka dapat ditarik kesimpulan bahwa P ( n ) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh soal : Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n2 berlaku untuk setiap n ∈ A Jawab : Misalkan P ( n ) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n2 Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut : a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1 2n – 1 = n2 2 . 1 – 1 = 12 2 – 1 = 1 1 = 1Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1 b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 ) = k2 ( benar ) c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1 ) + ( 2 ( k+1 ) – 1 ) = ( k+1)2 ( benar ) Dari langkah kedua , diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … +( 2k – 1 ) = k2 Jika kedua ruas ditambah ( 2 ( k +1 ) – 1 ) , diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1 )+ ( 2 ( k +1 ) -1 ) = k2 + ( 2 ( k + 1 ) - 1 ) = k2 + ( 2k +2 – 1 ) = k2 + 2k + 1 = ( k+1 )2

Aplikasi Barisan dan Deret 1. Setiap minggu Agnes memasukkan uang ke celengan. Akhir minggu pertama , ia memasukkan Rp 1.000,00 . Akhir minggu kedua , ia memasukkan Rp 1.500,00 . Akhir minggu ketiga , ia memasukkan Rp 2.000,00 demikian seterusnya. Berapa besar uang yang dimasukkan Agnes pada akhir bulan ke- 20 ? Jawab : Diketahui : a = 1000 b = 1500 - 1000 = 500 n = 20 Ditanyakan : a. S20 ? Un = a + ( n – 1 ) b U20 = 1000 + ( 20 – 1 ) 500 U20 = 1000 + ( 19 ) 500 U20 = 1000 + 9500 U20 = 10500 Sn = ½ n ( a + Un ) S20 = ½ 20 ( 1000 + 10500 ) S20 = ½ 20 ( 11500 ) S20 = ½ 230000 S20 = 115000

Soal : 1. Diketahui suatu barisan aritmatika 2 , 9 , 16 , 23 , … Tentukan : a. Suku ke – 20 b. Jumlah 20 suku pertama 2. Buktikan bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) =3n2 berlaku untuk setiap n ∈ A

Jawab : Diketahui : a = 2 b = 9 - 2 = 7 n = 20 Ditanyakan : a. U20. b Jawab : Diketahui : a = 2 b = 9 - 2 = 7 n = 20 Ditanyakan : a. U20 ? b.S20 ? a. Un = a + ( n – 1 ) b U20 = 2 + ( 20 – 1 ) 7 U20 = 2 + ( 19 ) 7 U20 = 2 +133 U20 = 135 b. Sn = ½ n ( a + Un ) S20 = ½ 20 ( 2 + 135 ) S20 = ½ 20 ( 137 ) S20 = ½ 2740 S20 = 1370

Jawab : Misalkan P ( n ) adalah 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6n – 3 ) = 3n2 Langkah – langkah induksi matematika adalah sebagai berikut : a. Dibuktikan bahwa P ( n ) benar untuk n = 1 6n – 3 = 3n2 6 . 1 – 3 = 3 (1)2 6 – 3 = 3.1 3 = 3 Jadi , P ( n ) benar untuk n = 1 b. P ( n ) diasumsikan benar untuk n = k 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 ) = 3k2 ( benar ) c. Dibuktikan P ( n ) benar untuk n = k + 1 , berarti harus dibuktikan bahwa 3 + 9 + 15 + 21 + … + (6k – 3 ) + ( 6 ( k+1 ) – 3 ) = 3( k+1)2 ( benar ) Dari langkah kedua , diperoleh 3 + 9 + 15 + 21 + … +( 6k – 3 ) = 3k2 Jika kedua ruas ditambah ( 6 ( k +1 ) – 3 ) , diperoleh 3 + 9 + 15 + 21 + … + ( 6k – 3 )+ ( 6 ( k +1 ) -3 ) = 3k2 + ( 6 ( k + 1 ) - 3 ) = 3k2 + ( 6k +6 – 3 ) = 3k2 + 6k + 3 = 3( k+1 )2