Volume Bangun Ruang Bersisi Lurus

Balok merupakan sebuah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk dari tiga pasang persegi atau persegi panjang dimana satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Volume Balok

Bangun berbentuk balok dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar balok dibawah ini. Ket : p = panjang balok l = lebar balok t = tinggi balok Rumus: V = p x l x t

Pembuktian rumus volume balok Misalkan kubus di atas memiliki volume 1 satuan. Maka jika kita menyusun beberapa kubus yang mempunyai volume 1 satuan maka volumenya akan bertambah. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut : Gambar balok di atas memiliki volume 8 satuan karena memiliki 8 kubus.

Untuk lebih memperjelas lagi tentang volume balok, silahkan perhatikan gambar berikut: Balok di atas memiliki volume 24 satuan karena terdapat 24 kubus satuan volume yang menyusunnya.

Cara untuk mengetahui banyaknya balok tersebut, kita harus mengitung dengan dua tahap yaitu : Tahap pertama : menghitung jumlah kotak yang berada pada sisi depan (lihat gambar). Pada gambar di atas jumlah kotak yang berada disisi depan adalah 12 yang merupakan hasil perkalian dari p= 4 dan t= 3 Sisi depan

Tahap kedua : setelah mengetahui jumlah kotak sisi depan kemudian kita kalikan lagi dengan jumlah kolom pada sisi samping (kanan/kiri) dengan l = 2. Maka akan didapatkan hasil 24 yang tidak lain merupakan volume balok Sisi samping Dari tahapan di atas dapat diketahui dengan jelas bahwa untuk mencari volume balok dapat menggunakan rumus :  Rumus: V = p x l x t

Volume Kubus Contoh bangun ruang yang berbentuk kubus dalam kehidupan sehari-hari

Perhatikan gambar kubus berikut ini : Kubus merupakan keadaan khusus dari balok, yakni balok yang ukuran rusuk-rusuknya sama panjang Jika ukuran panjang dari rusuk-rusuknya adalah s, maka p = s, l= s, dan t = s.

V = p x l x t V = s x s x s V = s3 JADI Jadi khusus untuk kubus volumenya adalah V = s3 s = panjang rusuk kubus

Volume Prisma 1. Volume Prisma Tegak Siku-siku Prisma tegak segitiga siku-siku diperoleh dari membelah balok menjadi 2 bagian yang sama melalui salah satu bidang diagonal.

2 Prisma Tegak Segitiga siku-siku

Vprisma = 1 2 dari volume balok = 1 2 x p x l x t = ( 1 2 x p x l) x t = La x t Jadi t La Vprisma = La x t La = luas alas t = tinggi

2. Volume Prisma Tegak Segitiga Sembarang

Jika dua prisma tegak segitiga siku-siku di bawah dirangkai, maka akan menghasilkan sebuah prisma tegak segitiga sembarang t

Jika A1 dan A2 berturut-turut adalah luas alas prisma tegak segitiga siku-siku pertama dan kedua, sedang tinggi kedua prisma sama, maka volume dari prisma tegak segitiga sembarang yang dibentuknya yaitu t LA

Vprisma tegak segitiga sembarang = LA x t V = V1 + V2 = LA1 t + LA2 t = (LA1 + LA2) t = LA x t jadi Vprisma tegak segitiga sembarang = LA x t LA = luas alas, alasnya berbentuk segitiga siku-siku t = tinggi prisma

3. Volum Prisma Tegak Segi-n Prisma tegak segienam dapat disusun (dirangkai) dari 6 prisma tegak segitiga sembarang.

Vprisma tegak segi–n = A x t Jika A1, A2, A3, … , An berturut-turut menyatakan luas alas dari masing-masing prisma tegak segitiga yang dimaksud, sedangkan tinggi masing-masing prisma itu sama yakni t, maka volume prisma tegak segienam tersebut adalah: V = A1 x t + A2 x t + . . . + A6 x t = (A1 + A2 + . . . + A6) x t = A x t Vprisma tegak segi–n = A x t A = luas alas prisma t = tinggi prisma Dengan penalaran yang sama akan diperoleh : V = A1 x t + A2 x t + . . . + An x t = (A1 + A2 + . . . + An) x t = A x t

Volume limas Contoh bangun ruang berbentuk limas

Untuk menentukan rumus volume limas secara induktif dilakukan melalui peragaan menakar menggunakan limas (sembarang limas) dan sebuah prisma pasangannya. t t Yang dimaksud dengan prisma pasangannya adalah prisma yang alasnya kongruen dengan alas limas dan tingginya sama dengan tinggi limas.

t t t t La La La La Vprisma = Vlimas1 + Vlimas2 + Vlimas3

Vlimas = 𝟏 𝟑 x La x t La = luas alas limas t = tinggi limas Vprisma = 3 x Vlimas atau Vlimas = 1 3 x Vprisma = 1 3 x La x t Dari hasil praktek ternyata isi prisma sama dengan 3(tiga) takar limas, sehingga Vlimas = 𝟏 𝟑 x La x t La = luas alas limas t = tinggi limas JADI

Volume Bangun Ruang Bersisi Lengkung

Volume Tabung Contoh bangun ruang berbentuk tabung dalam kehidupan sehari-hari

Tabung dapat dipandang sebagai prisma tegak segi-n beraturan dengan n tak terhingga. Perhatikan gambar berikut : Prisma tegak segi 4 Prisma tegak segi 6 Tabung Prismategak segi 8

Vtabung =Vprisma tegak segi-n Oleh sebab itu Vtabung =Vprisma tegak segi-n = La x t =𝜋 𝑟 2 x t r t Vtabung = 𝝅 𝒓 𝟐 x t = 22 7 = 3,14 r = jari-jari tabung t =tinggi tabung

Volume Kerucut Contoh bangun ruang yang berbentuk kerucut yang bisa kita temui dalamkehidupan sehari-hari

Untuk mencari rumus volume kerucut secara induktif dilakukan melalui peragaan dengan menakar menggunakan alat takar berupa kerucut dan tabung pasangannya video

r t r t r t r Dari hasil praktek menakar ternyata isi tabung sama dengan 3 takar menggunakan takaran kerucut. Itu berarti volume tabung sama dengan 3 volume kerucut

Vtabung = 3 x Vkerucut, atau Vkerucut = 1 3 x Vtabung Vkerucut = 𝟏 𝟑 𝐱 𝝅 𝒓 𝟐 t Vkerucut = 𝟏 𝟑 𝐱 𝝅 𝒓 𝟐 t JADI 𝜋 = 22 7 atau 3,14 r = panjang jari-jari t = tinggi kerucut

Volume Bola Beberapa contoh bangun ruang berbentuk bola

Penurunan rumus volume bola secara induktif dilakukan melalui peragaan dengan cara menakar menggunakan setengah bola untuk ditakarkan ke tabung pasangannya

Vtabung = 𝜋 𝑟 2 𝑡 = 𝜋 𝑟 2 (2r) =2 𝜋 𝑟 3 = t = 2r r Vtabung Vsetengah lingkaran 1 Vsetengah lingkaran 2 Vsetengah lingkaran 2

Vbola = 𝟒 𝟑 𝝅r3 ; = 22 7 = 3,14 r = jari-jari bola Vtabung = 3 x Vsetengah bola atau Vsetengah bola = 1 3 x Vtabung = 1 3 x 𝜋 x r2 x (2𝑟) = 2 3 x 𝜋 x r3 = 2 3 𝜋 r3 V 1 2 bola = 2 3 𝜋r3, maka bila kedua ruas kita kalikan dua akan diperoleh Vbola = 𝟒 𝟑 𝝅r3 ; = 22 7 = 3,14 r = jari-jari bola

Beberapa Pembuktian Secara Deduktif 1. Teorema 1 Volume limas segitiga adalah sepertiga kali luas alas kali tinggi (limas), yaitu V= 1 3 .La.t Bukti Ambilah sebuah prisma tegak ABC.DEF. Irislah prisma itu ke dalam 3 bagian bangun yang masing-masing bagiannya berupa limas

C E F D A B Bukti Ambilah sebuah prisma tegak ABC.DEF. Irislah prisma itu ke dalam 3 bagian bangun yang masing-masing bagiannya berupa limas B A F C D E F D F A B B

Perhatikan bahwa Limas F.ABC dan limas B.DEF mempunyai luas alas dan tinggi yang sama, maka, volume kedua limas tersebut sama. Luas alas yang sama tersebut adalah L∆ABC=L∆DEF . Tinggi yang sama adalah CF = BE B D E F B A F C

Limas F. BDE dan limas F. ABD luas alasnya sama yaitu Limas F.BDE dan limas F.ABD luas alasnya sama yaitu L ∆BDE = L ∆ABD= 1 2 L persegi panjang ABED Tinggi masing-masing limas adalah jarak titik F ke bidang ABED. Karena ∆BDE dan ∆ABD masing-masing adalah bagian dari ABED maka jarak titik limas puncak F ke bidang BDE = jarak titik F ke bidang BDE = jarak titik F ke bidang ABD = jarak titik F ke bidang ABED B D E F D F A B C E F D A B

Vlimas segitiga = 𝟏 𝟑 Vprisma tegak segitiga = 𝟏 𝟑 x A X t Karena limas F.BDE dan limas F.ABD mempunyai luas alas dan tinggi yang sama maka, kedua limas mempunyai volume yang sama Dari pernyataan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa ketiga limas mempunyai volume yang sama. Sehingga Vlimas segitiga = 𝟏 𝟑 Vprisma tegak segitiga = 𝟏 𝟑 x A X t A = luas alas prisma/luas alas limas T = tinggi prisma/tinggi limas

2. Teorema 2 Volume sembarang limas adalah sepertiga kali luas alas kali tinggi C B A E V = 𝟏 𝟑 x A X t A = luas alas limas t = tinggi limas A5 A4 A3 A1 A2

Vlimas segitiga = 1 3 A1t + 1 3 A2t + 1 3 A3t + 1 3 A4t­ + 1 3 A5t Bukti Ambil limas segilima di atas sebagai contoh. Perhatikan bahwa limas segilima dapat dibagi menjadi 5 buah limas segitiga yang masing- masing tingginya t. Menurut teorema 3 volume dari masing-masing limas segitiga yang dibentuk adalah 1 3 A1t, 1 3 A2t, 1 3 A3t, 1 3 A4t, dan 1 3 A5t. Akibatnya T t D C B A E Vlimas segitiga = 1 3 A1t + 1 3 A2t + 1 3 A3t + 1 3 A4t­ + 1 3 A5t = 1 3 (A1t + A2t + A3t + A4t­ + A5t ) = 1 3 (A1+ A2 + ...... + A5 ) t = 1 3 At

Sejalan dengan itu maka untuk limas segi-n yang dibagi dalam n buah prisma tegak segitiga berlaku Vlimas segi-n = 𝟏 𝟑 (A1 + A2 + ......+ An)t = 𝟏 𝟑 At

3. teorema 3 Volume kerucut terpancung (ember) yang ukuran jari-jari lingkaran alasnya r, jari-jari lingkaran atasnya R dan tingginya t adalah R V = 𝟏 𝟑 πt (R2 + Rr + r­2) r

Bukti: Kerucut terpancung (ember) secara matematis diperoleh dari kerucut lingkran tegak yang dipancung (dipotong) bagian atasnya oleh sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas kerucut. Kerangka pemikirannya dapat dilihat pada gambar-gambar peragaan berikut

B N C M D R r T A R r t1 t R r t + t1 t

Perhatikan bahwa B N C M D R r T A

R r

Vkerucut terpancung = (𝑅 3− 𝑟 3 ) 𝑟 3 . 1 3 π 𝑟 2 𝑡 1 = (𝑅−𝑟)( 𝑅 2 +𝑟𝑅+ 𝑟 2 𝑟 3 . 1 3 π 𝑟 2 ( 𝑟𝑡 𝑅−𝑟 ) = 𝟏 𝟑 πt( 𝑹 𝟐 +𝒓𝑹+ 𝒓 𝟐 )

SOAL 1. Dari gambar kubus ABCD.EFGH diatas, tentukan : a. Panjang tusuk BC, b. Panjang diagonal bidang AC, c. Panjang diagonal ruang AF 2. Gambar dibawah menunjukkan prisma segi empat ABCD EFGH

a. Tentukan bidang alas dan bidang atasnya a. Tentukan bidang alas dan bidang atasnya. Apakah kedua bidang itu kongruen? Buktikan ! b. Tentukan rusuk-rusuk tegaknya. Apakah semua rusuk tegaknya sama panjang? 3. Tentukan volume bangun ruang di bawah ini! 4. Sebuah kerucut mempunyai ukuran jari-jari lingkaran alas yang sama dengan ukuran jari-jari dari sebuah bola. Tinggi kerucut adalah 2 kali jari-jari bola. Tentukan perbandingan volume antara kerucut dan bola itu!

5. Misalkan kita membeli sebuah ember 5. Misalkan kita membeli sebuah ember. Ember itu kemudian kita ukur diameter lingkaran alas dan lingkaran atasnya, sesudah itu kita ukur panjang garis pelukisnya. Jika hasil pengukuran kita untuk diameter lingkaran alas, lingkaran atas, dan garis pelukisnya masing-masing adalah 30 cm, 44 cm, dan 25 cm. Tentukan: a. volume air maksimum yang dapat ditampung oleh ember itu. b. Jika bak mandi di rumah mempunyai ukuran panjang, lebar, dan tinggi masing-masing 1,2 m, 80 cm, dan 1 m, berapa ember kira-kira isi bak mandi itu?

TERIMA KASIH 

Beberapa Pembuktian Secara Deduktif 1. Teorema 1 Jika dua buah limas segitiga mempunyai luas alas dan tinggi yang sama, maka volume kedua limas itu sama.

T P L1 L2 H’ C A F D H E B

Jika kedua limas terletak di bidang H, sedangkan H’ adalah bidang yang sejajar dengan bidang H dan memotong kedua limas (limas T.ABC dan limas P.DEF), maka garis-garis potong bidang irisannya yang bersesuaian tentu akan sejajar. Jika kedua limas yang dimaksud adalah T.ABC dan P.DEF dengan L ABC = L DEF = L dan tinggi kedua limas sama, maka:

Menurut teorema 1 Karena L1 = L2 dan H’// H, maka: Volume limas T.ABC = Volume limasn P.DEF