STATISTIK Penyajian Data By Kel 4 Mustafid Halim Rif’atin Aprilia Rini Sumarti STATISTIK Penyajian Data

Rata-rata Hitung (mean) Rata-rata Ukur Rata-Rata Harmonik Modus (Mode) Penyajian data Tabel Biasa Kontingensi Distribusi Frekuensi Grafik Histogram Poligon Frekuensi Ogive Diagram Batang Garis Lambang Lingkaran dan Pastel Peta Pencar Campuran Keadaan Kelompok Tendensi Sentral Rata-rata Hitung (mean) Rata-rata Ukur Rata-Rata Harmonik Modus (Mode) Ukuran Penempatan Median Kuartil Desil Persentil Pengukuran Penyimpangan Rentangan Rentangan antar kuartil Rentangan semi antar kuartil Simpangan rata-rata Simpangan baku Varians Koefisien Varians Angka Baku

Cara penyajian data statistik Tabel (daftar) Biasa Kontingensi Distribusi frekuensi b. Grafik Histogram Poligon Frekuensi Ogive c. Diagram Diagram batang Diagram garis Diagram lambang (simbul) Diagram lingkaran dan diagram pastel Diagram peta (kartogram) Diagram Pencar (titik) Diagram Campuran

TABEL

Tabel adalah daftar yang berisi ikhtisar sejumlah data-data informasi yang biasanya berupa huruf maupun angka. Jenis-Jenis tabel : Tabel Biasa Tabel Kontingensi Tabel Distribusi Frekuensi.

Tabel Biasa Skema garis besar untuk sebuah tabel dengan nama-nama bagiannya sbb: Judul Tabel Badan daftar Sumber : ............... Catatan : ............... Judul Kolom Judul Baris Sel-sel Sek-sel

Tabel kontingensi Digunakan untuk menyajikan data yang terdiri atas beberapa variabel (Kategori). Contoh Tabel “Distribusi Medali Kejuaraan Dunia Atletik 2001 Negara Emas Perak Perunggu Total AS 9 5 19 Siriya 1 Rusia 6 7 Jepang 2 3 Kenya Spanyol Jiran 4 Finlandia dst

Tabel Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi : penyusunan suatu data mulai dari terkecil sampai terbesar yang membagi banyaknya data ke dalam beberapa kelas. Interval kelas : sejumlah nilai variabel yang ada dalam suatu kelas Tepi kelas : nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas Kelas : nilai pembatas dalam suatu kelas. Titik tengah kelas : Nilai tengah interval kelas. ½ (Bbn – Ban+1) Distribusi frekuensi terdiri dari dua, yaitu : Distribusi frekuensi kategori Distribusi frekuensi numerik

Tabel Distribusi Frekuensi Teknik pembuatan Distribusi frekuensi Urutkan data dari terkecil sampai terbesar Hitung jarak atau rentangan (R)  R = data tertinggi – data terendah c. Hitung jumlah kelas (K) dengan sturger  K = 1 + 3,3 log n d. Hitung panjang kelas interval (P)  P = R/ K e. Tentukan batas data terendah (ujung data pertama) dan menentukan batas atas dan bawah kelas. Caranya Bake-i = Bbke-i + P – 1 f. Buat tabel sementara (tabulasi tabel) dengan cara dihitung satu demi satu yang sesuai dengan urutan interval kelas. g. Membuat tabel distribusi frekuensi dengan cara memindahkan semua angka frekuensi (f)

Tabel Distribusi Frekuensi Contoh Tabel sementara (tabulasi data) Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik Universitas islam Lamongan Tahun 2014 Contoh Tabel Distribusi frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik Universitas islam Lamongan Tahun 2014 Nilai Interval f 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 2 6 15 20 16 7 4 Jumlah 70 Nilai Interval Rincian f 60-64 65-69 70-74 75-79 80-85 85-89 90-94 II IIII I IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII I IIII II IIII 2 6 15 20 16 7 4 Jumlah 70

Tabel Distribusi Frekuensi Bentuk-bentuk Distribusi frekuensi, yaitu : Distribusi frekuensi Relatif Distribusi frekuensi Kumulatif - Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, dan - Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih c. Distribusi frekuensi Kumulatif relatif - Distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari, dan - Distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih

Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif: distrbusi frekuensi yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam bentuk angka mutlak (nilai mutlak), akan tetapi setiap kelasnya dinyatakan dalam bentuk angka persentase (%) atau angka relatif. Cara perhitungan Ex: 2/70 x 100% = 2,857 % Contoh Tabel Distribusi frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Ujian Statistik UNISLA Tahun 2014 Nilai Interval f 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 2,857 % 2,571 % 21,429 % 28,571 % 22,857 % 10,000 % 5,714 % Jumlah 100 % frelatif ke-i = fke-i x 100 % n

Distribusi Frek. Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif : distrbusi frekuensi yang nilai frekuensinya diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi (berdasarkan tabel distribusi frekuensi mutlak). Contoh Tabel Distribusi frekuensi Tabel Distribusi Kumulatif (Kurang dari) Nilai Ujian Statistik UNISLA Tahun 2014 Tabel Distribusi Kumulatif (atau Lebih) Nilai Ujian Statistik UNISLA Tahun 2014 Nilai Interval f Kurang dari 60 Kurang dari 65 Kurang dari 70 Kurang dari 75 Kurang dari 80 Kurang dari 85 Kurang dari 90 Kurang dari 95 2 8 23 43 59 66 70 Nilai Interval F 60 atau Lebih 65 atau Lebih 70 atau Lebih 75 atau Lebih 80 atau Lebih 85 atau Lebih 90 atau Lebih 95 atau Lebih 70 68 62 47 27 11 4

Dist. Frek. Relatif Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif : distrbusi frekuensi yang nilai frekuensi kumulatif diubah menjadi nilai frekuensi relatif atau dalam bentuk persentase (%) atau dengan rumus Ex: fkum(%) ke-1 = 0/70 x 100% = 0,000% fkum(%) ke-8 = 70/70 x 100% = 100 % fkum(%) ke-i = fkum ke-i x 100 % n Contoh Tabel Distribusi frekuensi Tabel Distribusi Kumulatif Relatif (Kurang dari) Nilai Ujian Statistik UNISLA Tahun 2014 Tabel Distribusi Kumulatif Relatif (atau Lebih) Nilai Ujian Statistik UNISLA Tahun 2014 Nilai Interval f Kurang dari 60 Kurang dari 65 .... Kurang dari 90 Kurang dari 95 0,000 % 2,857 % ... 94,286 % 100,00 % Nilai Interval F 60 atau Lebih 65 atau Lebih ... 90 atau Lebih 95 atau Lebih 100,00 % 97,143 % 5,714 % 0,000 %

GRAFIK

Grafik adalah lukisan pasang surutnya suatu keadaan dengan garis atau gambar (tentang turun naiknya hasil statistik) Apabila data yang disusun rapi berbentuk distribusi frekuensi dapat digambarkan dengan cara membuat grafik, yaitu: histogram, poligon frekuensi dan ogive.

Histogram Histogram ialah grafik yang menggambar suatu distribusi frekuensi dengan bentuk beberapa segi empat. Langkah-Langkah Buatlah absis dan ordinat Absis : sumbu mendatar (X) menyatakan nilai, dan Ordinat : sumbu tegak (Y) menyatakan frekuensi b. Berilah nama pada masing-masing sumbu dengan cara sumbu absis diberi nama nilai dan ordinat diberi nama frekuensi. c. Buatlah skala absis dan ordinat d. Buatlah batas kelas dengan cara: - ujung bawah interval kelas di kurangi 0,5 - ujung atas interval kelas ditambah 0,5 atau (Ub+Ua):2 Membuat tabel dist. frekuensi untuk membuat histogram Membuat grafik histogram

Nilai Ujian Statistik Unisla 2014 Histogram Contoh Grafik histogram 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 94,5 Histogram Nilai Ujian Statistik Unisla 2014

Poligon frekuensi Poligon frekuensi ialah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah tiap sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak masing-masing. Perbedaan antara histogram dan poligon Histogram menggunakan batas kelas sedangkan poligon menggunakan titik tengah. Grafik histogram berwujud segi empat sedang grafik poligon berwujud garis-garis atau kurva yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

Poligon frekuensi Contoh Grafik Poligon Frekuensi

Ogive Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan diagram-nya dalam sumbu tegak dan mendatar (eksponensial). Perbedaan antara poligon frekuensi dan Ogive Ogive menggunakan batas kelas dan poligon menggunkan titik tengah Grafik ogive menggambarkan dist. Frek. Kumulatif kurang dari dan dist. Frek. Kumulatif atau lebih, sedangkan grafik poligon mencantumkan nilai frekuensi tiap-tiap variabel. Grafik ogive berguna untuk : sensus penduduk, perancang mode, perkembangan dan penjualan saham dan lainnya. Cara membuat grafik ogive Grafik ogive diambil dari tabel dist. kumulatif kurang dari dan dist. Kum. atau lebih Grafik ogive diambil dari tabel distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi meningkat dengan menggunakan batas kelas

Ogive Gambar Ogive

DIAGRAM

Diagram adalah  gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu data yang akan disajikan.

DIAGRAM BATANG Digunakan untuk menyajikan data yang bersifat kategori atau data distribusi. Cara menggambar diagram batang yaitu diperlukan sumbu tegak (vertikal) dan sumbu mendatar (horizontal) yang berpotongan tegak lurus. Apabila diagram dibentuk berdiri (tegak lurus), maka sumbu mendatar digunakan untuk menyatakan atribut atau waktu, sedangkan nilai data (kuantum) ditunjukan dengan sumbu tegak. Adapun letak batang satu dengan lainnya harus terpisah dan serasi mengikuti tempat diagram yang ada. Penyajian data berbentuk dagram batang ni banyak variasinya, tergantung pada keahlian pembuat diagram.

DIAGRAM BATANG

DIAGRAM GARIS Digunakan untuk menggambarkan keadaan yang serba terus menerus (berkesinambungan). Misalnya: pergerakan indeks bursa saham, grafik kurs valuta, dll.

Diagram lambang (simbul) Diagram lambang adalah diagram yang menggambarkan simbul-simbul dari data sebagai alat visual untuk orang awam. Lambang yang digunakan harus sesuai dengan objek yang diteliti. Misalnya: data angkatan kerja digambarkan orang, hutan produksi digambarkan pohon, data listrik digambarkan bola lampu, dll.

Diagram lingkaran dan pastel Diagram lingkaran adalah diagram yang didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa bagian sesuai dengan macam data dan perbandingan frekuensi masing-masing data yang disajikan.  Langkah-langkah membuatnya Ubahlah setiap perubahan nilai data kedalam derajat Buatlah Lingkaran (360o), kemudian bagilah Lingkaran tersebut menjadi beberapa bidang Setiap bidang menggambarkan kategori data. Diagram pastel yaitu perubahan wujud dari model diagram lingkaran versi terpotong yang disajikan dalam bentuk tiga dimensi.

Diagram lingkaran dan pastel

Diagram peta Yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan yang dihubungkan dengan tempat kejadian tersebut. Teknik pembuatannya digunakan peta geografis sebagai dasar untuk menerangkan data dan fakta yang terjadi.

Diagram pencar Ialah diagram yang menunjukkan gugusan titik-titik setelah garis koordinat sebagai penghubung yang dihapus. Biasanya diagram ini digunakan untuk menggambarkan titik data korelasi atau regrasi yang terdiri dari variabel bebas dan variabel terikat.

Diagram campuran Diagram campuran ialah diagram yang disajikan dalam bentuk gabungan dari beberapa dimensi dalam satu penyajian data. Contoh: diagram pastel dengan diagram lambang, diagram pastel dengan diagram batang, diagram lambang dengan tabel, dan sebagainya.

KEADAAN KELOMPOK

Keadaan Kelompok mengetahui kondisi kelompok suatu data dengan cara mengetahui nilai sentral dan letak data Pembahasan Tendesi Sentral Ukuran Penempatan

Tendensi sentral Tendensi sentral merupakan upaya mengetahui kondisi kelompok sumber dengan mengetahui nilai sentral yang dimiliki. Nilai sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Jenis-Jenis tendensi Sentral: Rata-Rata Hitung (Mean) Rata-Rata Ukur (Geometrik) Rata-Rata Harmonik Modus

Tendensi sentral Rata-Rata Hitung (mean) Adalah nilai rata-rata dari suatu data. Data Tunggal Ket: n = banyaknya data d = (𝑥i - x s) x s = rata-rata sementara P = Panjang Interval kelas k = kode (.., -2, -1, 0, 1, 2, ..) Data berkelompok 𝑥 = Σ (fi x 𝑥i) Σ f 𝑥 = Σ 𝑥i n 𝑥 = 𝑥 s + Σ (fi x di ) Σ f 𝑥 = 𝑥 s + Σ (fi x k i) x P Σ f

Tendensi sentral Rata-Rata Ukur (geometrik) Rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan jumlah data sampel tersebut. G = 𝑛 𝑥1 x 𝑥2 x 𝑥3 x…𝑥𝑛 atau diringkas G = 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 Ket : G = Rata-rata ukur xi = Data ke-i n = banyaknya data

Tendensi sentral Rata-Rata Harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan sebagai berikut. 𝑅𝐻 = n Σ ( 1 𝑥i )

Tendensi sentral Modus (Mode) Modus adalah data yang paling sering muncul atau yang memiliki frekuensi terbanyak. Data Tunggal Dilihat data yang mempunyai frekuensi paling tinggi. Data berkelompok Tb = Tepi bawah kelas Modus Δ1 = Selisih frekuensi kelas Modus dengan kelas sebelumnya Δ2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Mo = tb + Δ1 x P Δ1 + Δ2

Ukuran penempatan Ukuran letak data atau ukuran penempatan adalah suatu nilai tunggal yang mengukur letak nilai-nilai pada suatu data, atau biasanya juga disebut dengan ukuran yang didasarkan pada letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Dalam ukuran letak data kita mengenal adanya Median Kuartil Desil Persentil

Ukuran penempatan Σf 2 – 𝑓𝑘𝑠𝑚 Median Median didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi dua bagian yang sama (nilai Tengah). Me = tb + Σf 2 – 𝑓𝑘𝑠𝑚 x P fm

Ukuran penempatan Σf 4 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑞 Quartil Kuartil didefinisikan sebagai nilai yang membagi seluruh rentang nilai menjadi empat bagian yang sama. Jadi kita akan jumpai tiga buah kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Qi = tb + Σf 4 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑞 x P fQ

Ukuran penempatan Quartil Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut: Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal. Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri (juling positif). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan (juling negatif).

Ukuran penempatan Σf 10 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑑 Desil Kumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka diperoleh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil. Di = tb + Σf 10 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑑 x P fd

Ukuran penempatan Σf 100 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑝 Persentil Nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Pi = tb + Σf 100 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑝 x P fp

Ingat Σf 2 – 𝑓𝑘𝑠𝑚 Σf 10 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑑 Σf 100 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑝 Σf 4 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑞 Median Quartil Desil Persentil Me = tb + Σf 2 – 𝑓𝑘𝑠𝑚 x P fm Di = tb + Σf 10 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑑 x P fd Pi = tb + Σf 100 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑝 x P fp Qi = tb + Σf 4 𝑖 – 𝑓𝑘𝑠𝑞 x P fQ

Hubungan antara kuartil, desil, dan persentil. Tambahan Hubungan antara kuartil, desil, dan persentil. P90 = D9 P80 = D8 P75 = Q3 P50 = D5 = Q2

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Penyebaran atau dispersi adalah pergerakan dari nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya. Makin besar variasi nilai , makin kurang representatif rata-rata distribusinya. Untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Contoh: Hasil Tes Mahasiswa A  60 65 50 60 65 60 B  30 90 50 70 60 60 Mahasiswa A : variasi nilai dari 50 sampai 65. (rata-rata = 60) Mahasiswa B : variasi nilai dari 30 sampai 90. (rata-rata = 60)

Range / jangkauan Penentuan jangkauan atau rentang sebuah distribusi merupakan pengukuran dispersi yang paling sederhana. R = xmaks – xmin NB: - Untuk data berkelompok, jangkauan distribusi dirumuskan sebagai beda antara pengukuran nilai titik tengah kelas pertama dan nilai titik tengah kelas terakhir. - Semakin kecil ukuran jangkauan menunjukkan karakter yang lebih baik.

Rentangan antar kuartil Hamparan = Rentangan (jangkauan/kisaran) antar kuartil. H = Q3-Q1

Rent. semi antar kuartil Simpangan Kuartil = Jangkauan (rentangan) semi antar kuartil Sq = ½ H = ½ (Q3 –Q1)

Simpangan rata-rata Σ |𝑥i – 𝑥| Σ fi |𝑥i – 𝑥| Σ fi |xi – μ| Σ fi Σ fi Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Data Tunggal SR = Σ |𝑥i – 𝑥| (untuk Sample) n – 1 SR= Σ |𝑥𝑖 –μ | (untuk populasi) n Data Berkelompok SR = Σ fi |𝑥i – 𝑥| (untuk Sample) Σ fi SR= Σ fi |xi – μ| (untuk populasi) Σ fi

Simpangan varian Σ ( xi – x )2 Σ fi ( xi – x )2 Σ fi Σ fi ( xi – μ )2 Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.. Data Tunggal S2 = Σ ( xi – x )2 (untuk Sample) n - 1 σ2 = Σ ( xi – μ )2 (untuk populasi) n Data Berkelompok S2 = Σ fi ( xi – x )2 (untuk Sample) Σ fi σ2 = Σ fi ( xi – μ )2 (untuk populasi) Σ fi

Simpangan baku Dapat diartikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif. Data Tunggal S = Σ (𝑥i – 𝑥 )2 𝑛−1 (untuk Sample) σ = Σ (𝑥i – μ )2 𝑛 (untuk Populasi) Data Berkelompok S = Σ fi(𝑥i – 𝑥 )2 Σ fi (untuk Sample) σ = Σ fi(𝑥i – μ )2 Σ fi (untuk populasi)

Koefisien varians SB x 100 % Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dalam persentase. Semakin Kecil Koefisien variasinya, maka data tersebut semakin Homogen. KV = SB x 100 % (untuk Sampel) x KV = σ x 100 % (untuk populasi) μ

Angka baku (Z-score) xi – x Angka Baku atau nilai standar adalah suatu perubahan yang digunakan untuk membandingkan dua keadaan atau lebih. Semakin besar angka bakunya semakin baik nilai tersebut dibandingkan dengan nilai lain yang memiliki angka baku lebih kecil. Z = xi – x SB

SOAL h. Hamparan i. Simpangan kuartil j. Simpangan rata-rata k. Simpangan Varians l. Simpangan baku m. Rata-Rata Ukur n. Rata-Rata geometrik Tentukan Mean Median Modus Quartil 1, 2 dan 3 Desil 7 Persentil 75 Jangkauan Nilai f 6-8 2 9-11 8 12-14 6 15-17 4 jumlah 20

JAWABAN SOAL Mean = 11,8 h. Hamparan = 4,375 Median = 11,5 Modus = 10,75 Quartil 1, 2 dan 3 = 9,625 ; 11,5 ; 14 Desil 7 = 13,5 Persentil 75 = 14 Jangkauan = 9 h. Hamparan = 4,375 i. Simpangan kuartil = 2,1875 j. Simpangan rata-rata = 2,4 k. Simpangan Varians = 7,56 l. Simpangan baku = 2, 749 m. Rata-Rata Ukur =528,727 n. Rata-Rata geometrik =

END ND END END END END E END END END END END ND END END END END E