BAB III LIMIT dan kekontinuan

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pandang suatu fungsi Fungsi ini tidak terdefinisi di x = 1. Tetapi kita masih dapat menanyakan “berapa nilai f(x), jika x mendekati 1 ?” Dengan bantuan kalkulator akan diperoleh nilai-nilai berikut : x 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,2 f(x) 2,6 2,8 2,98 2,998 3 3,002 3,02 3,2 3,4

Dari nilai di atas terlihat bahwa f(x) akan mendekati nilai 3 jika x dibuat mendekati 1, tetapi x ≠ 1. Secara matematis dapat ditulis Ini dibaca “ limit untuk x mendekati 1 adalah 3. “ Jadi secara intiusi kita punya definisi 3.1 berikut ; Definisi 3.1 berarti jika x dekat ke c, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

Contoh 3.1 Hitung nilai limit berikut :

Jawab 3.1 a) b) c)

Misalkan fungsi y = f(x) terdefinisi pada selang I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika f(x) dapat dibuat sebarang dekat dengan L dengan cara mengambil x yang cukup dekat dengan c tetapi x c, maka ini dapat ditulis , “ jika x mendekati c, maka f(x) mendekati L.

Informasi yang dapat diperoleh dari bentuk adalah f(x) dekat ke L jika x dekat ke c, tetapi x ≠ c. Atau f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke c, , tetapi x ≠ c. Jika untuk istilah dekat digunakan ukuran jarak nilai mutlak, maka dapat dikatakan |f(x)–L| dapat dibuat sebarang kecil dengan mengambil |x–c| yang cukup kecil, tetapi x ≠ c. Secara matematis, jika bilangan yang kecil dinyatakan dengan ε (baca: epsilon) dan δ (baca: delta), maka disimpulkan bahwa |f(x)–L| dapat dibuat kecil dari sebarang ε >0 dengan mengambil |x–c| yang lebih kecil dari δ >0 dan x ≠ c. Akhirnya kita sampai pada definisi limit fungsi secara formal, yaitu :

Definisi 3.2 Misal f(x) terdefinisi pada selang buka I yang memuat c, kecuali c itu sendiri. Limit fungsi f di c adalah L (ditulis ) jika Contoh 3.2 Buktikan dengan definisi limit bahwa

Solusi 3.2 Analisis Pendahuluan : Andaikan bilangan positif sebarang. Harus didapat suatu sehingga Untuk

Bukti formal : Ambil sembarang . Pilih , maka untuk berlaku Jadi atau (terbukti).

Contoh 3.3 Buktikan dengan definisi limit bahwa Solusi 3.3 Analisis pendahuluan ; cari sedemikian sehingga

Bukti formal : Ambil sebarang, pilih . Maka untuk berlaku Jadi, , sehingga untuk berlaku , artinya . Terbukti.

Soal Latihan 3.1 Tentukan nilai limit dari : 2. Buktikan limit berikut :

3.2 Limit Sepihak Cara x menuju c bisa dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c) atau dari kiri ( dari arah bilangan yang lebih kecil dari c). Jika x menuju c dari arah kanan diperoleh limit kanan, notasi , jika x menuju c dari arah kiri diperoleh limit kiri, notasi Definisi 3.3 Limit kiri Limit kanan

Teorema 3.1 Fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai limit di c atau ada jika limit kiri sama dengan limit kanan dan nilainya sama dengan limit kiri atau kanan tersebut, sebaliknya fungsi y = f(x) dikatakan tidak mempunyai limit di c. Hal ini ditulis dalam teorema berikut : Teorema 3.1

Contoh 3.4 1. Diketahui Tentukan jika ada. 2. Diketahui Tentukan nilai k sehingga ada

Perhatikan grafik berikut, mudah-mudahan menambah pemahaman anda.

Soal Latihan 3.2 1. Diketahui : a. Gambar grafik fungsi f b. Tentukan b. Tentukan limit berikut jika ada :