Distribusi Peluang Kontinu Hanifah M Azzahra, S.Sn., M.Ds. Pertemuan 12 A

Variabel Acak Kontinyu Suatu variabel yang memiliki nilai pecahan didalam range tertentu Distribusi variabel acak kontinu tidak dapat disusun dalam tabel distribusi nilai probabilitas Nilai distribusi kontinu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis, dihitung menggunakan integral dan digambarkan dalam bentuk kurva kata kunci: fungsi rapat / density / PDF

Distribusi Seragam (Kontinu)

Variabel Distribusi Seragam (Kontinu) Distribusi Seragam kontinu adalah distribusi peluang kontinu yang paling sederhana. Fungsi rapat probabilitas dari distribusi variabel random X yang bersifat uniform dan kontinu dalam interval [a,b] diberikan oleh : f(x) 1/(B-A) A B x

Variabel Distribusi Seragam (Kontinu) Rata-rata dan variansi distribusi probabilitas seragam (var. acak kontinu) adalah: Fungsi kumulatif: 𝐹 𝑥 = 0, untuk 𝑥<𝐴 & 𝑥−𝐴 𝐵−𝐴 , untuk 𝐴≤𝑥<𝐵 1, untuk 𝑥≥𝐵 Kasus khusus: jika A = 0 dan B = 1, maka distribusinya disebut distribusi seragam baku (standard uniform distribution), dilambangkan dengan U(0,1)

Variabel Distribusi Seragam (Kontinu) CONTOH Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tersebut untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tersebut. Bentuklah fungsi rapat probabilitasnya? Berapa probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut akan berlangsung paling lama 3 jam? Berapakah lama rata-rata rapat di ruang tersebut?

Variabel Distribusi Seragam (Kontinu) Jawab Fungsi rapat probabilitas B = 4 dan A=0, maka (B-A) = 4 dan fungsi rapat probabilitasnya adalah: f(x) = ¼ untuk 0 ≤ x ≤ 4 dan f(x)=0 untuk x di luar itu Probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut akan berlangsung paling lama 3 jam ( P(x≤3) ) Rata - rata

Distribusi Normal (Gauss)

Distribusi Normal (Gauss) Distribusi normal / Distribusi Gauss merupakan persamaan yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang simetrik Kurva distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya Dua parameter yang menentukan suatu bentuk kurva normal adalah rata-rata dan standar deviasi Probabilitas peristiwa yang berdistribusi normal ditunjukkan oleh daerah dibawah kurva normal.

Bentuk-Bentuk Distribusi Normal (1) Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ Kurva normal

Distribusi Normal (Gauss) Sifat Distribusi Normal Bentuk kurva distribusi normal dipengaruhi oleh rata-rata (μ) dan standar deviasi (σ) Nilai mean=median=modus, hanya mempunyai satu nilai modus Grafik simetri terhadap garis tegak x = μ Grafik selalu berada di atas sumbu x atau f(x)>0 Total luas daerah di bawah kurva = 1

Distribusi Normal (Gauss) Fungsi rapat probabilitas variabel random X dengan mean (μ) dan variansi (σ2) yang memiliki distribusi normal adalah : 𝑛(𝑥;𝜇,𝜎)= 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 (𝑥−𝜇) 𝜎 2 , −∞<𝑥<∞ X dapat bernilai -∞ sampai +∞, dengan demikian nilai distribusi normal tak terbatas dengan : x = nilai dari distribusi variabel μ = mean (rata-rata)dari nilai-nilai distribusi variabel σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel Nilai π = 3,14 Nilai e = 2,718

𝑃 𝑥1<𝑥<𝑥2 = 𝑥1 𝑥2 𝑛(𝑥;𝜇,𝜎)ⅆ𝑥 = 𝑥1 𝑥2 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 (𝑥−𝜇) 𝜎 2 ⅆ𝑥 Luas Daerah di bawah Kurva Normal P(x1< x < x2) = peluang variabel random x memiliki nilai antara x1 dan x2 P(x1< x < x2) = luas di bawah kurva normal antara x = x1 dan x = x2 𝑃 𝑥1<𝑥<𝑥2 = 𝑥1 𝑥2 𝑛(𝑥;𝜇,𝜎)ⅆ𝑥 = 𝑥1 𝑥2 1 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 (𝑥−𝜇) 𝜎 2 ⅆ𝑥

Luas Daerah di bawah Kurva Normal Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal, maka dibuat tabel luas kurva normal. Tetapi, tidak mungkin membuat tabel berbeda untuk setiap nilai μ dan σ . Untuk memudahkan perhitungan, maka seluruh pengamatan setiap peubah acak normal X dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru peubah acak normal Z (Distribusi Normal Baku – dibahas pada subbab selanjutnya) dengan rataan 0 dan variansi 1.

Distribusi Normal Baku

Distribusi Normal Baku Distribusi normal baku (standard normal distribution) adalah distribusi normal dengan mean μ = 0 dan standard deviasi σ =1. Transformasi memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal baku. Transformasi ini mempertahankan luas dibawah kurvanya. Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 Luas dibawah kurva distribusi normal baku antara z1 dan z2 =

Distribusi Normal Baku Bila X bernilai antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z bernilai antara z1= (x1 – μ) σ dan z2 = (x2 – μ) σ

Distribusi Normal Baku Bila X bernilai antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z bernilai antara z1= (x1 – μ) σ dan z2 = (x2 – μ) σ

Fungsi Distribusi Normal Kumulatif Perhitungan distribusi probabilitas normal baku variabel acak Z lebih mudah dilakukan dengan memakai fungsi kumulatif distribusi peluang normal baku sbb: P(z1<Z<z2) = P(Z<z2) ‒ P(Z<z1) = F(z2)‒F(z1)

CONTOH Diberikan distribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang x terletak antara 45 dan 62. Jawab: Transformasikan ke distrisbusi normal baku dgn rumus: sehingga diketahui z1 dan z2 Berikan gambaran kurva Hitung P(z1<Z<z2) = P(Z<z2) ‒ P(<Z<z1) = F(z2)‒F(z1) dengan tabel kumulatif distribusi peluang normal baku

Diberikan distribusi normal dengan μ = 50 dan σ = 10, hitunglah peluang x terletak antara 45 dan 62. Nilai z yang bersesuaian dengan x tersebut adalah: Jawab 30

Dari kurva kita dapat menghitung nilai P (45 < X < 62) Jawab 31