IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI Author-Tim Dosen KK Pemodelan dan Simulasi Pemodelan dengan PD Orde 1 Linear 9/19/2018

Model Linear dan Non-Linear Pertumbuhan populasi Peluruhan zat radioaktif Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan Penyebaran penyakit Pencampuran cairan dalam tangki Rangkaian listrik Model Nonlinear Dinamika populasi Persamaan logistik 9/19/2018

Proses Pemodelan Matematika Real –world Situation Mathematical Model Analysis Result Formulation Interpretation 9/19/2018

Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Zat radioaktif Pertumbuhan populasi dan peluruhan zat radio aktif dapat diformulasikan kedalam masalah nilai awal: Dengan x adalah jumlah populasi atau jumlah zat pada saat t, k adalah konstanta kesebandingan. 9/19/2018

Contoh Pertumbuhan Populasi Sebuah kultur pada awalnya mempunyai sejumlah P0 bakteri. Pada saat t = 1 jam jumlah bakteri dihitung yaitu menjadi 3/2 P0. Jika laju pertumbuhan bakteri sebanding dengan jumlah bakteri P(t) saat waktu t, maka berapa lama waktu yg dibutuhkan sehingga jumlah bakteri tiga kali lipatnya. 9/19/2018

Bakteri menjadi 3 kali lipat jumlah semula setelah 2.71 jam. 9/19/2018

Hukum Newton untuk Pendinginan dan Pemanasan Hukum Newton untuk pendinginan atau pemanasan dapat dituliskan kedalam bentuk PD orde satu berikut: dengan T adalah temperatur dari objek pada saat, Tm adalah temperatur lingkungan, dan k adalah konstanta kesebandingan. 9/19/2018

Contoh Masalah Pendinginan Kue: Ketika sebuah kue diambil dari dalam oven temperaturnya adalah 300 oF. Tiga menit kemudian temperaturnya menjadi 200 oF. Berapa lama kue tersebut temperaturnya menjadi sama dengan temperatur ruangan yaitu 70 oF. 9/19/2018

Kue menjadi dingin dengan temperatur sama dengan temperatur ruangan setelah 1.5 jam. 9/19/2018

Rangkaian RLC Rangkaian RLC: Resistor dengan hambatan R ohm Induktor dengan induktansi L henry Kapasitor dengan kapasitansi C farad 9/19/2018

Rangkaian RLC disusun seri dengan sumber tegangan E(t) volt. Jika saklar ditutup maka akan menghasilkan arus sebesar I(t) ampere dalam rangkaian dan muatan Q(t) coulomb pada kapasitor pada saat t. Hubungan antara fungsi Q dan I adalah 9/19/2018

Elemen dalam rangkaian Voltage drop Induktor Resistor Kapasitor 9/19/2018

Penjumlahan dari voltage drop yang melewati elemen-elemen Hukum Kirchoff kedua: Penjumlahan dari voltage drop yang melewati elemen-elemen dalam loop sederhana dari sebuah rangkaian listrik sama dengan voltage (tegangan) yang digunakan. Untuk rangkaian RLC seri, secara matematika dapat dituliskan sebagai Karena dQ/dt = I maka 9/19/2018

Persamaan diferensial linear untuk arus i(t) pada rangkaian RL adalah Rangkaian seri RL Persamaan diferensial linear untuk arus i(t) pada rangkaian RL adalah dengan L dan R konstanta yaitu induktansi dan resistensi. Arus i(t) disebut juga respon dari sistem. 9/19/2018

Persamaan diferensial linear untuk arus i(t) pada rangkaian RC adalah Rangkaian seri RC Persamaan diferensial linear untuk arus i(t) pada rangkaian RC adalah dengan C adalah kapasistansi dan q adalah muatan pada kapasitor. Karena i = dq/dt maka 9/19/2018

Sebuah baterai 12 volt dihubungkan ke suatu rangkaian RL seri Contoh: Sebuah baterai 12 volt dihubungkan ke suatu rangkaian RL seri dengan induktansi ½ henry dan resistensi 10 ohm. Tentukan arus i(t) jika arus awal adalah nol. Jawab: Persamaan diferensial: dengan i(0) = 0. Masing-masing ruas dibagi dengan ½ diperoleh 9/19/2018

Setelah diintegralkan didapat Faktor integral: Maka kita peroleh Setelah diintegralkan didapat Karena i(0) = 0 maka diperoleh c = -6/5 sehingga respon dari sistem adalah 9/19/2018

Persamaan diferensial: mempunyai solusi umum: Jika E(t) = E0 adalah konstan maka Ketika t  ∞ maka suku kedua menuju nol. Suku kedua ini disebut Sebagai suku transien atau arus transien. Sedangkan suku E0/R disebut sebagai suku steady-state atau arus steady-state. 9/19/2018

2. Persamaan diferensial untuk rangkaian RL adalah Selesaikan persamaan diferensial tersebut jika 1. Sebuah electromotive force (emf) digunakan pada rangkaian seri RL dengan induktansi 20 henry dan resistensi 2 ohm. Tentukan arus i(t) jika i(0) = 0. dengan i(0) = i0. 9/19/2018

9/19/2018